2022年高中数学向量数量积的物理背景与定义

2022年高中数学向量数量积的物理背景与定义教学目标：掌握平面向量的数量积的定义及其物理意义 教学重点：平面向量的数量积的定义 教学过程一、复习引入：1 向量共线定理 2平面向量基本定理： 3平面向量的坐标表示4平面向量的坐标运算二、讲解新课：1、力做的功：W = |F|s|cosq，q是F与s的夹角2、两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作，则（）叫与的夹角说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q180C3、向量在轴上的正射影：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时正射影为正值；当q为钝角时正射影为负值；当q为直角时正射影为0；当q = 0时正射影为|b|；当q = 180时正射影为-|b|4、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）并规定0与任何向量的数量积为0注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“ ”在向量运算中既不能省略，也不能用“”代替（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cosq有可能为0（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc 但a c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线5、两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量1ea = ae =|a|cosq2ab ab = 03 aa = |a|2或4cosq =5|ab| |a|b|6、例子例1 判断正误，并简要说明理由 00；0；0；若0，则对任一非零有；，则与中至少有一个为0；对任意向量，都有（）（）；与是两个单位向量，则例2 已知，当，与的夹角是60时，分别求小结：平面向量的数量积的定义及其物理意义课堂练习：第116页练习A、B课后作业：第123页A 1、2、3