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第七节n次独立重复试验与二项分布总纲目录教材研读1.条件概率及其性质考点突破2.相互独立事件3.独立重复试验与二项分布考点二相互独立事件的概率考点二相互独立事件的概率考点一条件概率考点三考点三n次独立重复试验与二项分布次独立重复试验与二项分布教材研读教材研读1.条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)=(P(A)0).在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的个数,则P(B|A)=.(2)条件概率具有的性质:(i)0P(B|A)1;(ii)如果B和C是两个互斥事件,那么P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).()( )P ABP A()( )n ABn A2.相互独立事件(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相是相互独立事件互独立事件.(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与与B相互独立相互独立.BAAB3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n),此时称随机变量X服从二项分布二项分布,记为XB(n,p),并称p为成功概率.Ckn1.已知P(B|A)=,P(AB)=,则P(A)等于()A.B.C.D.123831613163414答案答案C由P(AB)=P(A)P(B|A),可得P(A)=.34CB2.若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=,则P(EF)的值等于()A.0B.C.D.141161412B答案答案BEF代表E与F同时发生,P(EF)=P(E)P(F)=.故选B.1163.设随机变量XB,则P(X=3)等于()A.B.C.D.16,25163165838A答案答案AXB,P(X=3)=.16,236C3123112516B4.某人射击,一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为.81125答案答案81125解析解析可看作3次独立重复试验,则P=0.620.4+0.63=.23C81125B5.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为.170169168370答案答案370解析解析依题意得,加工出来的零件的正品率是=,因此加工出来的零件的次品率是1-=.11701169116867706770370B考点一条件概率考点突破考点突破典例典例1某盒中装有10只乒乓球,其中6只新球,4只旧球,不放回地依次摸出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也摸出新球的概率为()A.B.C.D.355911025B答案答案B解析解析“第一次摸出新球”记为事件A,则P(A)=,“第二次摸出新球”记为事件B,则P(AB)=,P(B|A)=,故选B.3526210CC13()( )P ABP A133559方法技巧方法技巧条件概率的求法:(1)利用条件概率公式,分别求P(A)和P(AB),再利用P(B|A)=求解,这是通用的求条件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.()( )P ABP A()( )n ABn A1-1甲、乙两地都位于长江下游,根据天气预报的记录知,一年中下雨天甲市占20%,乙市占18%,两市同时下雨占12%.则在甲市为雨天的条件下,乙市也为雨天的概率为()A.0.6B.0.7C.0.8D.0.66A答案答案A将“甲市为雨天”记为事件A,“乙市为雨天”记为事件B,则P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,故P(B|A)=0.6.()( )P ABP A0.120.2考点二相互独立事件的概率典例典例2在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求“X2”的概率.解析解析(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”,B表示事件“观众乙选中3号歌手”,则P(A)=,P(B)=.事件A与B相互独立,观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)=P(A)P()=P(A)1-P(B)=.(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”,则P(C)=,1223CC232435CC35BB232541513242335CC4()CC15P AB或2435CC35依题意,A,B,C相互独立,相互独立,且AB,AC,BC,ABC彼此互斥.P(X=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=+=,P(X=3)=P(ABC)=,P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=+=.A BCCBACBA233525232535133535112523353562511256251725方法技巧方法技巧求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解;(2)正面计算较复杂或难以入手时,可从对立事件入手计算.2-1(2014北京,16,13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率.场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512解析解析(1)根据投篮统计数据知,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以随机选择一场比赛,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)记事件A为“随机选择一个主场比赛,李明的投篮命中率超过0.6”;事件B为“随机选择一个客场比赛,李明的投篮命中率超过0.6”;事件C为“随机选择一个主场和一个客场比赛,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”,则C=AB(A,B独立).根据投篮统计数据,知P(A)=,P(B)=,P(C)=P(A)+P(B)=+=.所以在随机选择的一个主场和一个客场比赛中,李明的投篮命中率一场BA3525BA353525251325超过0.6,一场不超过0.6的概率为.1325考点三n次独立重复试验与二项分布典例典例3(2017北京丰台二模,16)某社区超市购进了A,B,C,D四种新产品,为了解新产品的销售情况,该超市随机调查了15位顾客(记为ai,i=1,2,3,15)购买这四种新产品的情况,记录如下: 顾客产品a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15A11111B11111111C1111111D111111(1)若该超市每天的客流量约为300人次,一个月按30天计算,试估计产品A的月销售量(单位:件);(2)为推广新产品,超市向购买两种以上(含两种)新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物,记他们获得的电子红包的总金额为X(元),求随机变量X的分布列和数学期望;(3)若某顾客已选中产品B,为提高超市销售业绩,应该向其推荐哪种新产品?(结果不需要证明)解析解析(1)30030=3000(件).答:产品A的月销售量约为3000件.(2)顾客购买两种(含两种)以上新产品的概率P=.X的所有可能取值为0,2,4,6,则P(X=0)=,P(X=2)=,P(X=4)=,P(X=6)=,所以X的分布列为51591535325812513C225353612523C235255412533527125X0246P8125361255412527125所以E(X)=0+2+4+6=.(3)产品D.8125361255412527125450125185易错警示易错警示利用n次独立重复试验的概率公式P(X=k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,n)可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足两个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的.另外,要注意利用公式求得的是n次试验中事件A恰好发生了k次(X=k)的概率.Ckn3-1某地区有800名学员参加交通法规考试,考试成绩的频率分布直方图如图所示.其中成绩的分组区间是75,80),80,85),85,90),90,95),95,100.规定90分及以上为合格.(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率;(3)若三个人参加交通法规考试,用X表示这三人中考试合格的人数,求X的分布列.解析解析(1)由直方图知(0.01+0.02+0.06+0.07+a)5=1,解得a=0.04.(2)记事件A为“某个学员交通法规考试合格”.由直方图知P(A)=(0.06+0.02)5=0.4.(3)依题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=(1-0.4)3=0.216,P(X=1)=0.4(1-0.4)2=0.432,13CP(X=2)=0.42(1-0.4)=0.288,P(X=3)=0.43=0.064.所以X的分布列为23CX0123P0.2160.4320.2880.064
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