数学第八章 立体几何初步 第8课时 立体几何中的向量方法(二)——求空间角 北师大版

第第8节节立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(一一)求空间角求空间角0101020203030404考点三考点三考点一考点一考点二考点二例例1 训练训练1用空间向量求异面直用空间向量求异面直线所成的角线所成的角用空间向量求线面角用空间向量求线面角用空间向量求二面角用空间向量求二面角(多维探究多维探究)诊断自测诊断自测例例2 训练训练2例例3-1 例例3-2 训练训练3利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线求出两直线的方向向量的方向向量v1，v2；(3)代入公式求解代入公式求解.图图(1)图图(2)图图(2)图图(3)解析解析(2)设等边三角形的边长为设等边三角形的边长为2.取取BC的中点的中点O，连接，连接OA，OD，等边三角形等边三角形ABC和和BCD所在平面互相垂直，所在平面互相垂直，OA，OC，OD两两垂直，以两两垂直，以O为坐标原点，为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系.考点一用空间向量求异面直线所成的角GG考点二用空间向量求线面角(1)证明证明BAPCDP90，PAAB，PDCD，又又ABCD，PDAB，又又PDPAP，PD，PA平面平面PAD，AB平面平面PAD，又，又AB平面平面PAB，平面平面PAB平面平面PAD.(2)解解取取AD中点中点O，BC中点中点E，连接，连接PO，OE，由由(1)知，知，AB平面平面PAD，OE平面平面PAD，又又PO，AD平面平面PAD，OEPO，OEAD，又又PAPD，POAD，PO，OE，AD两两垂直，两两垂直，以以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设设n(x，y，z)为平面为平面PBC的法向量，的法向量，APD90，PDPA，又知又知AB平面平面PAD，PD平面平面PAD，PDAB，又又PAABA，PA，AB平面平面PAB，PD平面平面PAB，因为四边形因为四边形ADNM是矩形，是矩形，MAAD，平面平面ADNM平面平面ABCD且交线为且交线为AD，所以所以MA平面平面ABCD，又，又DE 平面平面ABCD，所以，所以DEAM.又又AMABA，AM，AB 平面平面ABM，所以，所以DE平面平面ABM，又又DE 平面平面DEM，所以，所以平面平面DEM平面平面ABM.(2)解解在线段在线段AM存在点存在点P，理由如下：，理由如下：由由DEAB，ABCD，得，得DECD，因为四边形因为四边形ADNM是矩形，是矩形，平面平面ADNM平面平面ABCD且交线为且交线为AD，所以所以ND平面平面ABCD.以以D为原点，为原点，DE，DC，DN所在直线分别为所在直线分别为x轴、轴、y轴、轴、z轴建立如图所示的坐标系轴建立如图所示的坐标系.考点三用空间向量求二面角(多维探究)解解(1)因为因为APBE，ABBE，AB，AP 平面平面ABP，ABAPA，所以所以BE平面平面ABP，又又BP 平面平面ABP，所以所以BEBP，又又EBC120，因此因此CBP30.图图1图图2