（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 第5讲 推理与证明学案 文 苏教版

第5讲推理与证明 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171合情推理近年江苏高考的“推理与证明”没有单独设题，主要和其他知识结合在一起，属于综合题，可以综合在诸如数列、函数、不等式等内容中，既有计算又有证明“合情推理”是一种重要的归纳，明年在客观题中考查的可能性较大2演绎推理第19题第20题第15题必记的概念与定理1归纳推理：主要应用于先由已知条件归纳出一个结论，并加以证明或以推理作为题目的已知条件给出猜测的结论，并要求考生会应用或加以证明2类比推理：通过两类事物的相似性或一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论常见的有结论类比和方法类比3演绎推理：演绎推理是从一般到个别的推理，推理的主要形式是三段论三段论中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生第三个判断结论为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式对于复杂的论证，总是采用一连串的三段论，把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提合情推理典型例题 (1)(2019湖北八校联考)观察下列等式：121，12223，1222326，1222324210，由以上等式推测出一个一般性的结论：对于nN*，12223242(1)n1n2_(2)(2019苏州五校联考)对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现，任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数f(x)x3x23x，请你根据这一发现，计算ffff_【解析】(1)由于1(1)11，3(1)21，6(1)31，10(1)41，则12223242(1)n1n2(1)n1(2)f(x)x2x3，由f(x)2x10，得x，则点为yf(x)的图象的对称中心，所以f(x)图象上任一点M(x，f(x)关于点的对称点N(1x，2f(x)也在f(x)图象上，即f(1x)2f(x)，所以f(x)f(1x)2，故ffff2，故ffff2 016【答案】(1)(1)n1(2)2 016归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比；也可以由解题方法上的类似引起，当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等对点训练1131，2335，337911，4313151719 ，若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有2 013这个数，则n_解析 观察等式规律可知n3等于连续n个奇数的和，又131，2335，337911，4313151719，所以前n个式子右边的奇数的个数的和为：1234n，又2 013是第1 007个奇数，且当n44时，990，当n45时，1 035，所以发现等式右边含有2 013这个数，则n45答案 452在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则_解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以答案 演绎推理典型例题 (2019南京、盐城模拟)已知数列an满足：a1，anan10 (nN*)；数列bn满足：bnaa (nN*)(1)求数列an，bn的通项公式；(2)证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列【解】(1)已知化为，而1a，所以数列1a是首项为，公比为的等比数列，则1a，则a1由anan10，知数列an的项是正负相间出现的，因此an(1)n1，bnaa(2)证明：假设存在数列bn中的某三项成等差数列，不妨设为bm、bs、bp，其中m、s、p是互不相等的正整数，可设msb0)，F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线1(a0，b0)，F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作F1PF2的_的垂线，垂足为M，则OM的长为定值_解析 对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q由对称性知，M为F2Q的中点，且PF2PQ，从而OMF1Q且OMF1Q而F1QF1PPQF1PPF22a，所以OMa对于双曲线，过F2作F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OMa因为OMF1Q(PF1PF2)2aa答案 内角平分线a7设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r类比这个结论可知：四面体ABCD的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体ABCD的体积为V，则R_解析 设四面体ABCD的内切球的球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将其分割成四个四面体，由分割法可得VS1RS2RS3RS4R，所以R答案 8(2019江苏省高考命题研究专家原创卷(八)已知下列等式：22422426224224262821026022426282102122142112观察上述等式的规律，发现第n(nN*)个等式的右边可以表示为an2bnc(a，b，c为实常数)的形式，则c_解析 法一：每个等式的左边有(2n1)个偶数的平方相加减，第一个偶数为2，最后一个偶数为2(2n1)，正负相间，所以第n个等式的左边为224262822(2n2)22(2n1)2，即424682(2n2)2(2n1)4(123452n22n1)8n24n，所以a8，b4，c0，所以c2法二：令n1，2，3，得解得，所以c2答案 29(2019无锡质量检测)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了”甲接着说：“哦，现在我也知道了”则张老师的生日是_解析 根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日答案 8月4日10(2019武汉调研)如图(1)所示，在平面几何中，设O是等腰直角三角形ABC的底边BC的中点，AB1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为R，Q，则有2类比以上结论，将其拓展到空间中，如图(2)所示，设O是正三棱锥ABCD的底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有_解析 设O到正三棱锥ABCD三个侧面的距离为d，易知V三棱锥RAQPSAQPARAQAPARAQAPAR又因为V三棱锥RAQPV三棱锥OAQPV三棱锥OARPV三棱锥OAQRSAQPdSARPdSAQRd(AQAPARAPAQAR)d，所以AQAPAR(AQAPARAPAQAR)d，即而V三棱锥ABDC111，所以V三棱锥OABDV三棱锥ABDC，即SABDdd，所以d，所以3答案 311(2019苏州期末)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数asin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55(1)从上述五个式子中选择一个，求出常数a；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论解 (1)选择式计算：asin215cos215sin 15cos 151sin 30(2)猜想的三角恒等式为：sin2cos2(30)sin cos(30)证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos212(2019徐州模拟)已知函数f(x)x1，设g1(x)f(x)，gn(x)f(gn1(x)(n1，nN*)，(1)求g2(x)，g3(x)的表达式，并猜想gn(x)(nN*)的表达式(直接写出猜想结果)；(2)若关于x的函数yx2i(x) (nN*)在区间，1上的最小值为6，求n的值(符号“”表示求和，例如：i123n)解 (1)因为g1(x)f(x)x1，所以g2(x)f(g1(x)f(x1)(x1)1x2，g3(x)f(g2(x)f(x2)(x2)1x3，所以猜想gn(x)xn(2)因为gn(x)xn，所以i(x)g1(x)g2(x)gn(x)nx，所以yx2i(x)x2nx当1，即n2时，函数y在区间(，1上是减函数，所以当x1时，ymin6，即n2n100，该方程没有整数解当2时，ymin6，解得n4，综上所述，n413由部分自然数构成如图所示的数表，用aij(ij)表示第i行第j个数(i，jN*)，使ai1aiii，每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的和设第n(nN*)行中各数的和为bn(1)用bn表示bn1；(2)试问：数列bn中是否存在不同的三项bp，bq，br(p，q，rN*)恰好成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由解 (1)bnan1an2ann，bn1a(n1)1a(n1)2a(n1)(n1)n1(an1an2)(an(n1)ann)n12(an1an2ann)22bn2(2)因为bn12bn2，所以bn122(bn2)，所以bn2是以b123为首项，2为公比的等比数列， 则bn232n1bn32n12若数列bn中存在不同的三项bp，bq，br(p，q，rN*)恰好成等差数列，不妨设pqr，显然bn是递增数列，则2bqbpbr，即2(32q12)(32p12)(32r12)，化简得：22qr2pr1，(*)由于p，q，rN*，且pqr，知qr1，pr2，所以(*)式左边为偶数，右边为奇数， 故数列bn中不存在不同的三项bp，bq，br(p，q，rN*)恰好成等差数列14已知函数f(x)(axax)，其中a0且a1(1)分别判断f(x)在(，)上的单调性；(2)比较f(1)1与f(2)2、f(2)2与f(3)3的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明；(3)比较与、与的大小，由此归纳出一个更一般的结论，并证明解 (1)f(x)(axax)ln a，若0a1，则0，ln a0，若a1，则0，ln a0，所以f(x)0；因此，对任意a0且a1，都有f(x)0，f(x)在(，)上单调递增(2)直接计算知f(1)10，f(2)2aa12，f(3)3a2a22，根据基本不等式aa120，所以f(2)2f(1)1，又因为(a2a22)(aa12)(aa1)2()2()2(aa11)(a1)2(aa11)0，所以f(3)3f(2)2一般性结论：x0，f(x1)(x1)f(x)x证明：记g(x)f(x1)(x1)f(x)x(ax1ax1)(axax)11，g(x)ln a与(1)类似地讨论知，对x0和a0且a1都有g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增，g(0)0，所以g(x)g(0)0，即x0，f(x1)(x1)f(x)x(3)1，(aa1)，根据基本不等式(aa1)1，0，所以一般性结论：x0，证明：记g(x)，x0，g(x)，设h(x)，则h(0)0且h(x)，类似(1)的讨论知对x0和a0且a1，h(x)0，从而h(x)h(0)0，g(x)0，g(x)在(0，)上单调递增，所以x0，- 13 -