（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第六章 数列与数学归纳法 1 第1讲 数列的概念与简单表示法教学案

第六章 数列与数学归纳法知识点最新考纲数列的概念和简单表示法了解数列的概念和表示方法(列表、图象、公式).等差数列 理解等差数列的概念 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式及其应用 了解等差数列与一次函数的关系 会用数列的等差关系解决实际问题.等比数列 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用 了解等比数列与指数函数的关系 会用数列的等比关系解决实际问题.数学归纳法会用数学归纳法证明一些简单数学问题.第1讲数列的概念与简单表示法1数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项与序号n之间的关系式前n项和数列an中，Sna1a2an2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an与an1的关系式或a1，a2和an1，an，an1的关系式等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，则an4数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1an按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)所有数列的第n项都能使用通项公式表示()(3)数列an和集合a1，a2，a3，an是一回事()(4)若数列用图象表示，则从图象上看都是一群孤立的点()(5)一个确定的数列，它的通项公式只有一个()(6)若数列an的前n项和为Sn，则对nN*，都有anSnSn1.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化1(必修5P33A组T4改编)在数列an中，a11，an1(n2)，则a5_解析：a212，a31，a413，a51.答案：2(必修5P33A组T5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_答案：5n4易错纠偏(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集或其子集1，2，n；(2)求数列前n项和Sn的最值时忽视项为零的情况；(3)根据Sn求an时忽视对n1的验证1在数列1，0，中，0.08是它的第_项解析：依题意得，解得n10或n(舍)答案：102在数列an中，ann26n7，当其前n项和Sn取最大值时，n_解析：由题可知nN*，令ann26n70，得1n7(nN*)，所以该数列的第7项为零，且从第8项开始anf(6)，故f(n)的最小值为.3(2020金丽衢十二校联考)已知函数f(x)由下表定义：x12345f(x)41352若a15，an1f(an)(nN*)，则a2 018_解析：依题意得a15，a2f(a1)2，a3f(a2)1，a4f(a3)4，a5f(a4)5，a6f(a5)2，易知数列an是以4为周期的数列，注意到2 01845042，因此a2 018a22.答案：2基础题组练1已知数列1，2，则2在这个数列中的项数是()A16 B24C26 D28解析：选C.因为a11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，解得n26.2在数列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，则的值是()A. B.C. D.解析：选C.由已知得a21(1)22，所以2a32(1)3，a3，所以a4(1)4，a43，所以3a53(1)5，所以a5，所以.3(2020杭州模拟)数列an定义如下：a11，当n2时，an若an，则n的值为()A7 B8C9 D10解析：选C.因为a11，所以a21a12，a3，a41a23，a5，a61a3，a7，a81a44，a9，所以n9，故选C.4(2020温州瑞安七中高考模拟)数列an的前n项和为Sn，若a11，an13Sn(n1)，则a6()A344 B3441C44 D441解析：选A.由an13Sn，得到an3Sn1(n2)，两式相减得：an1an3(SnSn1)3an，则an14an(n2)，又a11，a23S13a13，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以ana2qn234n2(n2)，a6344，故选A.5一给定函数yf(x)的图象在下列各图中，并且对任意a1(0，1)，由关系式an1f(an)得到的数列an满足an1an(nN*)，则该函数的图象是()解析：选A.由an1f(an)，an1an知f(an)an，可以知道x(0，1)时f(x)x，即f(x)的图象在yx图象的上方，由选项中所给的图象可以看出，A符合条件6已知数列an的首项a1a，其前n项和为Sn，且满足SnSn13n22n4(n2)若对任意的nN*，anan1恒成立，则a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C.由SnSn13n22n4(n2)，可得Sn1Sn3(n1)22(n1)4，两式相减，得an1an6n5，故an2an16n11，两式相减，得an2an6.由n2，得a1a2a120，则a2202a，故数列an的偶数项为以202a为首项，6为公差的等差数列，从而a2n6n142a；由n3，得a1a2a3a1a237，则a32a3，故当n3时，奇数项是以2a3为首项，6为公差的等差数列，从而a2n16n92a.由条件得解得a，故选C.7(2020宁波诺丁汉大学附中高三期中检测)已知数列an的前n项和Snn22n1(nN*)，则a1_；数列an的通项公式为an_解析：因为Snn22n1，当n1时，a11212，当n2时，所以anSnSn1n22n1(n1)22(n1)12n1，因为当n1时，a12132，所以an答案：28若数列an满足a1a2a3ann23n2，则数列an的通项公式为_解析：a1a2a3an(n1)(n2)，当n1时，a16；当n2时，故当n2时，an，所以an答案：an9(2020宁波效实中学模拟)已知数列an满足a11，anan1(nN*)，则an_解析：由anan1得2，则由累加法得2，又因为a11，所以21，所以an.答案：10(2020金华市东阳二中高三调研)已知数列an的通项公式为ann212n32，其前n项和为Sn，则对任意m，nN*(m8时，数列中的项均为负数在mn的情况下，SnSm的最大值为S7S4a5a6a752125326212632721273210.答案：1011已知数列an的前n项和Sn2n12.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnanan1，求数列bn的通项公式解：(1)当n1时，a1S12222；当n2时，anSnSn12n12(2n2)2n12n2n.因为a1也适合此等式，所以an2n(nN*)(2)因为bnanan1，且an2n，an12n1，所以bn2n2n132n.12已知数列an满足前n项和Snn21，数列bn满足bn且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性解：(1)a12，anSnSn12n1(n2)所以bn(2)因为cnbn1bn2b2n1，所以cn1cn0，所以cn1cn，所以数列cn为递减数列综合题组练1设数列an满足：an1，a2 0183，那么a1()A B.C D.解析：选B.设a1x，由an1，得a2，a3，a4，a5xa1，所以数列an是周期为4的周期数列所以a2 018a50442a23.解得x.2下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是_解析：从题图中可观察星星的构成规律，n1时，有1个，n2时，有3个；n3时，有6个；n4时，有10个；，所以an1234n.答案：an3已知数列an，bn，若b10，an，当n2时，有bnbn1an1，则b2 017_解析：由bnbn1an1得bnbn1an1，所以b2b1a1，b3b2a2，bnbn1an1，所以b2b1b3b2bnbn1a1a2an1，即bnb1a1a2an11，因为b10，所以bn，所以b2 017.答案：4已知数列an满足a11，a213，an22an1an2n6.(1)设bnan1an，求数列bn的通项公式；(2)求n为何值时，an最小解：(1)由得bn1bn2n6，b1a2a114.当n2时，bnb1(b2b1)(b3b2)(b4b3)(bnbn1)14(216)(226)(236)2(n1)61426(n1)n27n8，当n1时，上式也成立所以数列bn的通项公式为bnn27n8.(2)由(1)可知an1ann27n8(n1)(n8)，当n8时，an1a2a3a8，当n8时，a9a8，当n8时，an1an，即a9a10a11所以当n8或n9时，an的值最小5设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN*.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN*，求a的取值范围解：(1)依题意得Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，即bn12bn，又b1S13a3，因此，所求通项公式为bn(a3)2n1，nN*.(2)由(1)可知Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n2，所以，当n2时，an1an12a30a9，又a2a13a1，a3.所以，所求的a的取值范围是9，3)(3，)16