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5.3正弦、余弦定理及解三角形考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计201320142015201620171.正弦、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.掌握16,4分18(1)(文),7分17,4分20(2),7分16(1),7分16(文),14分14,3分2.解三角形及其综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.掌握7,5分18(2)(文),7分18(2),7分18(文),6分16,14分16(2)(文),7分16(2),7分11,4分14,3分分析解读1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形.2.高考命题仍会以三角形为载体,以正弦定理和余弦定理为框架综合考查三角知识.3.预计2019年高考中,仍会对解三角形进行重点考查,复习时应引起高度重视.五年高考考点一正弦、余弦定理 1.(2017课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.答案B2.(2017山东理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A3.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC=() A.1B.2C.3D.4答案A4.(2013浙江,16,4分)在ABC中,C=90,M是BC的中点.若sinBAM=,则sinBAC=.答案5.(2017课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.答案606.(2016课标全国,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案7.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为.答案88.(2014课标,16,5分)已知a,b,c分别为ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC面积的最大值为.答案9.(2017山东文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.解析本题考查向量数量积的运算及解三角形.因为=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=.所以sin A=.由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4.教师用书专用(1127)11.(2013湖南,3,5分)在锐角ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于() A.B.C.D.答案D12.(2013陕西,7,5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案B13.(2013辽宁,6,5分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且ab,则B=()A.B.C.D.答案A14.(2013天津,6,5分)在ABC中,ABC=,AB=,BC=3,则sinBAC=()A.B.C.D.答案C15.(2015福建,12,4分)若锐角ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案716.(2014江苏,14,5分)若ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是.答案17.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.答案18.(2015广东,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.答案119.(2014天津,12,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.答案-20.(2014广东,12,5分)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=.答案221.(2014福建,12,4分)在ABC中,A=60,AC=4,BC=2,则ABC的面积等于.答案222.(2013安徽,12,5分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.答案23.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.解析(1)因为cos B=,0B,所以sin B=.由正弦定理知=,所以AB=5.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin Bsin,又cos B=,sin B=,故cos A=-+=-.因为0A,所以sin A=.因此,cos=cos Acos+sin Asin=-+=.24.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解析(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.25.(2013山东,17,12分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在ABC中,sin B=,由正弦定理得sin A=.因为a=c,所以A为锐角,所以cos A=.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.26.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的长.解析(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理,得=,故BC=3.27.(2013北京,15,13分)在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值.解析(1)因为a=3,b=2,B=2A,所以在ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cos A=.(2)由(1)知cos A=,所以sin A=.又因为B=2A,所以cos B=2cos2A-1=.所以sin B=.在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.所以c=5.考点二解三角形及其综合应用1.(2014课标,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1答案B2.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.答案 3.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案;4.(2017课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A=.答案755.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.答案16.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=,求角A的大小.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.又B,C(0,),所以C=B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.7.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.8.(2014浙江,18,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面积.解析(1)由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由ac,得AC.从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以,ABC的面积为S=acsin B=.9.(2013浙江文,18,14分)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B=b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面积.解析(1)由2asin B=b及=,得sin A=.因为A是锐角,所以A=.(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.由S=bcsin A,得ABC的面积为.10.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解析本题考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式及其综合应用.(1)由题设得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周长为3+.11.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.12.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解析本题考查解三角形.(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),或c=4.(2)由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.13.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在ABC中,因为A=60,c=a,所以由正弦定理得sin C=.(2)因为a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=bcsin A=83=6.14.(2016课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周长为5+.(12分)15.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=.又因为0B,所以B=.(6分)(2)由(1)知A+C=.cos A+cos C=cos A+cos=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因为0A8B.ab(a+b)16C.6abc12D.12abc24答案A20.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案(-,+)21.(2014山东,12,5分)在ABC中,已知=tan A,当A=时,ABC的面积为.答案22.(2013福建,13,4分)如图,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为.答案23.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求ABC的面积.解析(1)由tan=2,得tan A=,所以=.(2)由tan A=,A(0,),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.设ABC的面积为S,则S=absin C=9.24.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32 cm,容器的底面对角线AC的长为10 cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC=30,从而sinMAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足,则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=24,从而GG1=40.设EGG1=,ENG=,则sin =sin=cosKGG1=.因为,所以cos =-.在ENG中,由正弦定理可得=,解得sin =.因为00,所以A.于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因为0A,所以0sin A,因此-2+.由此可知sin A+sin C的取值范围是.26.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面积.解析(1)因为mn,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,从而tan A=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由ab,知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC的面积为absin C=.27.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan=;(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)证明:tan=.(2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+=+.连接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A.则cos A=.于是sin A=.连接AC.同理可得cos B=,于是sin B=.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.28.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=,由题设知0B,所以cos B=.在ABD中,由正弦定理得AD=.29.(2014北京,15,13分)如图,在ABC中,B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在ADC中,因为cosADC=,所以sinADC=.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcos B-cosADCsin B=-=.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-285=49.所以AC=7.30.(2014安徽,16,12分)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0A,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=+=.31.(2014大纲全国,17,10分)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135.(10分)32.(2013江苏,18,16分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解析(1)在ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=.由=,得AB=sin C=1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d m,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50),因0t,即0t8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由=,得BC=sin A=500(m).乙从B出发时,甲已走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3-3,解得v,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内.33.(2013江西,16,12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范围.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0,因为sin A0,所以sin B-cos B=0,又cos B0,所以tan B=,又0B,所以B=.(2)因为a+c=1,cos B=,有b2=3+.又0a1,于是有b21,即有b1.34.(2013湖北,17,12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.解析(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去).因为0A,所以A=.(2)由S=bcsin A=bc=bc=5,得bc=20.又b=5,知c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=.又由正弦定理得sin Bsin C=sin Asin A=sin2A=.35.(2013课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.解析(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由,和C(0,)得sin B=cos B.又B(0,),所以B=.(2)ABC的面积S=acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c22ac,故ac,当且仅当a=c时,等号成立.因此ABC面积的最大值为+1.三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一正弦、余弦定理 1.(2017浙江台州4月调研(一模),6)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b-c=2acos C,sin C=,则ABC的面积为()A. B.C.或 D.或答案C2.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,4)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a,b,c成等差数列,B=30,ABC 的面积为,则b=()A.B.1+C.D.2+答案B3.(2018浙江高考模拟卷,16)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,BC边上的高为,则的最大值为.答案+14.(2017浙江稽阳联谊学校联考4月,13)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin A=acos C,则C=;若c=,ABC的面积为,则a+b=.答案;75.(2018浙江镇海中学期中,18)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ctan C=(acos B+bcos A).(1)求角C;(2)若c=2,求ABC面积的最大值.解析(1)ctan C=(acos B+bcos A),sin Ctan C=(sin Acos B+sin Bcos A),(2分)sin Ctan C=sin(A+B)=sin C.(4分)0C,sin C0,(5分)tan C=,C=60.(7分)(2)c=2,C=60,c2=a2+b2-2abcos C,12=a2+b2-ab2ab-ab,(10分)ab12,SABC=absin C3,(12分)当且仅当a=b=2时,ABC的面积取到最大值3.(14分)考点二解三角形及其综合应用6.(2018浙江萧山九中12月月考,16)设a,b,c分别为ABC三内角A,B,C的对边,面积S=c2,若ab=,则a2+b2+c2的最大值为.答案47.(2018浙江重点中学12月联考,18)ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知2bcos C=2a-c.(1)求B的大小;(2)若+=2,且|=1,求ABC面积的最大值.解析(1)2bcos C=2a-c,2sin Bcos C=2sin A-sin C,(1分)2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C,(2分)2sin Ccos B=sin C,(4分)cos B=,(5分)0B0),则tanBAC=2t,所以tanMAC=,当且仅当t=时取等号,所以tanMAC的最大值为.(14分)B组20162018年模拟提升题组一、选择题 1.(2018浙江镇海中学期中,10)若ABC沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥,则称这样的ABC为“和谐三角形”,设ABC的三个内角分别为A,B,C,则由下列条件不能够确定ABC为“和谐三角形”的是()A.ABC=72025B.sin Asin Bsin C=72025C.cos Acos Bcos C=72025D.tan Atan Btan C=72025答案B2.(2016浙江宁波二模,7)已知ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+=tan Atan B,则ABC的面积为() A.B.3C.D.3答案C二、填空题3.(2018浙江重点中学12月联考,14)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为ABC的面积,若c=2acos B,S=a2-c2,则ABC的形状为,C的大小为.答案等腰三角形;454.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,15)等腰三角形ABC中,AB=AC,D为AC的中点,BD=1,则ABC面积的最大值为.答案5.(2017浙江绍兴质量调测(3月),14)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,b=,ABC的面积为,则c=,B=.答案1+;6.(2017浙江杭州二模(4月),16)设a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,且SABC=c2.若ab=,则a2+b2+c2的最大值是.答案4三、解答题7.(2018浙江杭州二中期中,18)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tan C=.(1)求角C的大小;(2)若ABC的外接圆直径为1,求a2+b2的取值范围.解析(1)tan C=,即=,sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C,即sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B,即sin(C-A)=sin(B-C),C-A=B-C或C-A=-(B-C)(舍去),2C=A+B,C=.(2)由(1)知C=,故设A=+,B=-+,其中-,a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B.故a2+b2=sin2A+sin2B=(1-cos 2A)+(1-cos 2B)=1+cos 2.-,-2,-cos 21,a2+b2.8.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,18)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知(a-c)(sin A+sin C)+(b-a)sin B=0.(1)求ABC的内角C的值;(2)若c=2,2sin 2A+sin(2B+C)=sin C,求ABC的面积.解析(1)由(a-c)(sin A+sin C)+(b-a)sin B=0,可得(a-c)(a+c)+(b-a)b=0,整理得a2-c2+b2=ab.由余弦定理可得,cos C=.又C(0,),所以C=.(2)由2sin 2A+sin(2B+C)=sin C可得,4sin Acos A+sin(B+-A)=sin(B+A).整理得,4sin Acos A=sin(B+A)+sin(B-A)=2sin Bcos A.当cos A=0,即A=时,b=,所以ABC的面积为bc=.当cos A0时,sin B=2sin A.由正弦定理可得b=2a,又a2+b2-ab=4,解得a=,b=,所以SABC=absin C=.综上所述,ABC的面积为.C组20162018年模拟方法题组方法1利用正、余弦定理解三角形 1.(2017浙江衢州质量检测(1月),17)已知ABC的面积为1,A的平分线交对边BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,kR,则当k=时,边BC的长度最短.答案方法2利用正、余弦定理解决实际问题2.如图,一栋建筑物AB的高为(30-10)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15和60,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30,则通信塔CD的高为m.答案603.某观察站C在A城的南偏西20方向上,由A城出发有一条公路,走向是南偏东40,距C处31千米的公路上的B处有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C、D的距离为21千米,问此人还需走多少千米才能到达A城?解析设AD=x千米,AC=y千米,BAC=20+40=60,在ACD中,由余弦定理得x2+y2-2xycos 60=212,即x2+y2-xy=441.而在ABC中,由余弦定理得(x+20)2+y2-2(x+20)ycos 60=312,即x2+y2-xy+40x-20y=561.-得y=2x-6,代入得x2-6x-135=0,解得x=15或x=-9(舍去),故此人还需走15千米才能到达A城.29
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