（鲁京辽）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球学案 新人教B版必修2

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球学习目标1.认识组成我们生活世界的各种各样的旋转体.2.认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征知识点一圆柱、圆锥、圆台圆柱、圆锥、圆台的定义及结构特征(1)定义分别看作以所在的直线为旋转轴，将分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体这类几何体叫旋转体(2)相关概念高：在轴上的这条边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：绕轴旋转的边(3)图形表示知识点二球1定义：一个球面可以看作半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体叫做球2相关概念(1)球心：形成球的半圆的圆心；球的半径：连接球心和球面上一点的线段(2)球的直径：连接球面上两点并且通过球心的线段(3)球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆(4)球的小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆(5)两点的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，把这个弧长叫做两点的球面距离3球形表示特别提醒：球与球面是完全不同的两个概念，球指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分知识点三旋转体1定义：由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体2轴：这条直线叫做旋转体的轴知识点四组合体思考组合体是由简单几何体堆砌(或叠加)而成的吗？答案不是，组合体的组合方式有多种，可以堆砌，可以挖空等梳理由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体1圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台()2夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是一圆柱()3半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球()类型一旋转体的结构特征例1下列命题正确的是_(填序号)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面答案解析以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；它们的底面为圆面；正确反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法明确由哪个平面图形旋转而成明确旋转轴是哪条直线(2)简单旋转体的轴截面及其应用简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想跟踪训练1下列命题：圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；球的半径是球面上任意一点与球心的连线段其中正确的个数为()A0 B1 C2 D3答案C解析错误，截面可能是一个三角形；错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；正确故选C.类型二简单组合体的结构特征例2如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰分别以AB，CD，AD为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征解(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥如图(2)所示(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥如图(3)所示反思与感悟(1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成(2)必要时作模型，培养动手能力跟踪训练2如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？解图(1)、图(2)旋转后的图形如图所示分别是图、图.其中图是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的类型三旋转体中的有关计算命题角度1有关圆柱、圆锥、圆台的计算例3一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2，求：(1)圆台的高；(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长解(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)由已知可得O1A2 cm，OB5 cm.又由题意知，腰长为12 cm，所以高AM3(cm)(2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由SAO1SBO，可得，解得l20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.反思与感悟用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解跟踪训练3如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的底面半径解设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，得，即1，解得r1.即圆柱的底面半径为1.命题角度2球的截面的有关计算例4在球内有相距9 cm的两个平行截面面积分别为49 cm2和400 cm2，求此球的半径解若两截面位于球心的同侧，如图(1)所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R cm，截面圆的半径分别为r cm，r1 cm.由r49，得r17(r17舍去)，由r2400，得r20(r20舍去)在RtOB1C1中，OC1，在RtOBC中，OC.由题意可知OC1OC9，即9，解此方程，取正值得R25.若球心在两截面之间，如图(2)所示，OC1，OC.由题意可知OC1OC9，即9.整理，得15，此方程无解，这说明第二种情况不存在综上所述，此球的半径为25 cm.引申探究若将把本例的条件改为“球的半径为5，两个平行截面的周长分别为6和8”，则两平行截面间的距离是_答案1或7解析画出球的截面图，如图所示两平行直线是球的两个平行截面的直径，有两种情形：两个平行截面在球心的两侧，两个平行截面在球心的同侧对于，m4，n3，两平行截面间的距离是mn7；对于，两平行截面间的距离是mn1.反思与感悟设球的截面圆上一点A，球心为O，截面圆心为O1，则AO1O是以O1为直角顶点的直角三角形，解答球的截面问题时，常用该直角三角形或者用过球心和截面圆心的轴截面求解跟踪训练4设地球半径为R，在北纬45圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于R.求A，B两地间的球面距离解如图所示，A，B是北纬45圈上的两点，AO为它的半径，O为地球的球心，OO AO，OOBO.OAOOBO45，AOBOOAcos 45R.设AOB的度数为，则AORR，90.AB R.在AOB中，AOBOABR，则AOB为正三角形，AOB60.A，B两地间的球面距离为R.1下列几何体是台体的是()考点圆台的结构特征题点圆台的概念的应用答案D解析台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确2下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如下图中的几何体的是()答案B解析由题意知，所得几何体是组合体，上、下各一圆锥，显然B正确3下面几何体的截面一定是圆面的是()A圆台 B球 C圆柱 D棱柱答案B解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球4若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为_考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为ABC的边长，且SABCAB2，AB2，AB2.故圆锥的母线长为2.5湖面上浮着一个球，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为_ cm.答案13解析设球的半径为R cm，由题意知，截面圆的半径r12 cm，球心距d(R8)cm，由R2r2d2，得R2144(R8)2，即20816R0，解得R13 cm.1圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示2处理台体问题常采用还台为锥的补体思想3处理组合体问题常采用分割思想4重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.一、选择题1下列几何体中不是旋转体的是()答案D2下列说法正确的是()A到定点的距离等于定长的点的集合是球B球面上不同的三点可能在同一条直线上C用一个平面截球，其截面是一个圆D球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面考点球的结构特征题点球的概念的应用答案D解析对于A，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故A错；对于B，球面上不同的三点一定不共线，故B错；对于C，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故C错，故选D.3一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面积为()A10 B20 C40 D15答案B4一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30，则圆锥的高为()A10 cm B20 cm C20 cm D10 cm答案A解析如图所示，在RtABO中，AB20 cm，A30，所以AOABcos 302010(cm)5如果圆台两底面的半径分别是7和1，则与两底面平行且等距离的截面面积是()A24 B16 C8 D4答案B解析截面圆的半径为4，面积为r216.6.如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A该几何体是由两个同底的四棱锥组成的B该几何体有12条棱、6个顶点C该几何体有8个面，并且各面均为三角形D该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形答案D解析其中ABCD不是面，该几何体有8个面7用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A2 B2C.或 D.或答案C解析如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8为卷成圆柱底面的周长，则2r8，所以r；同理，若矩形的宽4为卷成圆柱的底面周长，则2r4，所以r，故选C.8.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A一个球体B一个球体中间挖去一个圆柱C一个圆柱D一个球体中间挖去一个长方体答案B解析圆面绕着直径所在的轴，旋转而形成球，矩形绕着轴旋转而形成圆柱. 故选B. 二、填空题9正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是_答案两个圆锥解析连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥10若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是_答案2解析设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h，由题意可知2rhr8，r28，h2.11若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的高为_考点圆锥的结构特征题点与圆锥有关的运算答案解析由题意知一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，因为4l2，所以母线长为l2，又半圆的弧长为2，圆锥的底面的周长为2r2，所以底面圆半径为r1，所以该圆锥的高为h .三、解答题12A，B，C是球面上三点，已知弦(连接球面上两点的线段)AB18 cm，BC24 cm，AC30 cm，平面ABC与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球的半径解如图所示，因为AB2BC2AC2，所以ABC是直角三角形所以ABC的外接圆圆心O1是AC的中点过A，B，C三点的平面截球O得圆O1的半径为r15 cm.在RtOO1C中，R22r2.所以R2152，所以R2300，所以R10(cm)即球的半径为10 cm.13圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍求两底面的半径与两底面面积之和解设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，圆台上底面面积为S1，下底面面积为S2，两底面面积之和为S.如图所示，ASO30，在RtSOA中，sin 30，SA2r.在RtSOA中，sin 30，SA4r.又SASAAA，即4r2r2a，ra.SS1S2r2(2r)25r25a2.圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5a2.四、探究与拓展14一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的()答案B解析由组合体的结构特征知，球与正方体各面相切，与各棱相离，故选B.15圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：(1)绳子的最短长度；(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离考点圆台的结构特征题点与圆台有关的运算解(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中AM的长度，设OBl，则l25，(l20)210，解得，l20 cm.OA40 cm，OM30 cm.AM50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作OQAM于点Q，交弧BB于点P，则PQ为所求的最短距离OAOMAMOQ，OQ24 cm.故PQOQOP24204(cm)，即在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.14