（鲁京辽）2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征学案 新人教B版必修2

1.1.2棱柱、棱锥和棱台的结构特征学习目标1.认识组成我们生活世界的各种各样的多面体.2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征.3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别知识点一多面体多面体的有关概念(1)多面体：由若干个平面多边形所围成的几何体(2)多面体的相关概念面：围成多面体的各个多边形棱：相邻的两个面的公共边顶点：棱和棱的公共点对角线：连接不在同一个面上的两个顶点的线段截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)(3)凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体知识点二棱柱1棱柱的定义及表示名称棱柱特征性质或定义条件：有两个互相平行的面；夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行图形表示及相关名称棱柱ABCDEABCDE(或棱柱AC)2.棱柱的分类(1)按底面多边形的边数棱柱(2)按侧棱与底面是否垂直棱柱(3)特殊的四棱柱知识点三棱锥1棱锥的定义及表示名称棱锥特征性质或定义条件：有一个面是多边形；其余各面都是有一个公共顶点的三角形图形表示及相关名称棱锥SABCD(或棱锥SAC)2.棱锥的分类(1)按底面多边形的边数棱锥(2)特殊的棱锥正棱锥知识点四棱台1棱台的结构特征及分类名称定义图形及表示相关概念分类棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCABC上底面：原棱锥的截面下底面：原棱锥的底面侧面：其他各面侧棱：相邻两侧面的公共边高：两底面间的距离由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台2.特殊的棱台正棱台：由正棱锥截得的棱台1棱柱的侧面都是平行四边形()2有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥()3夹在两个平行的平面之间，其余面都是梯形，这样的几何体一定是棱台()类型一棱柱、棱锥、棱台的有关概念例1(1)下列命题中正确的是()A棱柱的面中，至少有两个面互相平行B棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面D棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形(2)下列说法正确的序号是_棱锥的侧面不一定是三角形；棱锥的各侧棱长一定相等；棱台的各侧棱的延长线交于一点；有两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台答案(1)A(2)解析(1)正四棱柱中两个相对侧面互相平行，故B错；平行六面体的任意两个相对面可作底面，故C错；棱柱的底面可以是平行四边形，故D错(2)棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，正确；棱台的各条侧棱必须交于一点，故不正确反思与感悟棱柱、棱锥、棱台的结构特征(1)棱柱有两个主要结构特征：一是有两个面互相平行，二是各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形(2)棱锥有两个主要结构特征：一是有一个面是多边形，二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形(3)棱台的上、下底面平行且相似，各侧棱延长交于一点跟踪训练1(1)下列命题：各侧面为矩形的棱柱是长方体；直四棱柱是长方体；侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱；各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱柱其中正确的是_(填序号)答案解析中一定为直棱柱但不一定是长方体；直四棱柱的底面可以是任意的四边形，不一定是矩形；符合直棱柱的定义；中的棱柱为一般直棱柱，它的底面不一定为正方形(2)下列命题：各个侧面是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；底面是正多边形的棱锥是正棱锥；棱锥的所有侧面可以都是直角三角形；四棱锥的侧面中最多有四个直角三角形；棱台的侧棱长都相等其中正确的命题有_(填序号)答案解析在四棱锥PABCD中，PAPBPCPD，底面ABCD为矩形，但不一定是正方形，这样的棱锥就不是正四棱锥，因此错误；底面是正多边形，但侧棱长不一定都相等，这样的棱锥也不一定是正棱锥，故错误；在三棱锥PABC中，PA垂直于平面ABC，ABC90，则此三棱锥的所有侧面都是直角三角形，故正确；在四棱锥PABCD中，PA垂直于平面ABCD，四边形ABCD为矩形，故正确；棱台的侧棱长不一定都相等，故错误类型二简单几何体中的计算问题例2正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高解作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作ODAB于点D，则点D为AB的中点在RtADO中，AD，OAD30，故AO.在RtSAO中，SA2，AO，故SO3，故三棱锥的高为3.引申探究1若本例条件不变，求正三棱锥的斜高解作出正三棱锥如图，取AB的中点E，连接SE，则SE为该正三棱锥的斜高，在SAE中，SA2，AE，所以SE.2若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高解如图，在正四棱锥SABCD中，ABBCCDDA3，AC3，所以OC.在RtSOC中，SC2，所以SO.即正四棱锥的高为.反思与感悟(1)正棱锥中直角三角形的应用已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高为PO，底面为正方形，作PECD于点E，则PE为斜高斜高、侧棱构成直角三角形，如图中RtPEC；斜高、高构成直角三角形，如图中RtPOE；侧棱、高构成直角三角形，如图中RtPOC.(2)正棱台中直角梯形的应用已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上，下底面中心，作O1E1B1C1于点E1，OEBC于点E，则E1E为斜高斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1；斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO；高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.跟踪训练2已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长解如图，设O，O分别为上、下底面的中心，即OO为正四棱台的高，E，F分别为BC，BC的中点，EFBC，即EF为斜高由上底面面积为4，上底面为正方形，可得 BC2；同理，BC4.四边形BCCB的面积为12, (24)EF12，EF4.过B作BHBC交BC于H，则BHBFBE211，BHEF4.在RtBBH中，BB.同理，在直角梯形OOFE中，计算出OO.综上，该正四棱台的侧棱长为，斜高为4，高为.类型三多面体的展开图例3如图，在侧棱长为2的正三棱锥VABC中，AVBBVCCVA40，过点A作截面AEF，求截面AEF周长的最小值解沿着侧棱VA把正三棱锥VABC展开在一个平面内，如图则AA的长即为截面AEF周长的最小值，且AVA340120.在VAA中，AA226，故截面AEF周长的最小值为6.反思与感悟求几何体表面上两点间的最小距离(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题(3)结合已知条件求得结果跟踪训练3如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，AA12，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为()A2 B2 C4 D4答案B解析沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1B(如图)由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经过M到达C1的路线最短所以最短路线长为BC12.1观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是()A是棱柱 B不是棱锥C不是棱锥 D是棱台考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案B解析结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知是棱柱，是棱锥，是棱台，不是棱锥，故B错误2下列说法中，正确的是()A有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形答案A解析B错，截面与底面平行时才能得棱台；C错，棱柱底面可能是平行四边形；D错，棱柱侧面的平行四边形不一定全等，如长方体3下列说法错误的是()A多面体至少有四个面B九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C长方体、正方体都是棱柱D三棱柱的侧面为三角形答案D解析由于三棱柱的侧面为平行四边形，故D错4正四棱锥SABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为_答案a2解析ACa，由SASCa，则有SA2SC2AC2，ASC90.所以SSACaaa2.5对棱柱而言，下列说法正确的是_(填序号)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；所有的棱长都相等；棱柱中至少有2个面的形状完全相同；相邻两个面的交线叫做侧棱答案解析正确，根据棱柱的定义可知；错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱1在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状2(1)各种棱柱之间的关系棱柱的分类棱柱常见的几种四棱柱之间的转化关系(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：名称底面侧面侧棱高平行于底面的截面棱柱斜棱柱平行且全等的两个多边形平行四边形平行且相等与底面全等直棱柱平行且全等的两个多边形矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等正棱柱平行且全等的两个正多边形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等棱锥正棱锥一个正多边形全等的等腰三角形有一个公共顶点且相等过底面中心与底面相似其他棱锥一个多边形三角形有一个公共顶点与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形全等的等腰梯形相等且延长后交于一点与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形延长后交于一点与底面相似一、选择题1下面几何体中是棱柱的有()A3个 B4个 C5个 D6个答案C解析棱柱有三个特征：(1)有两个面互相平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行本题所给几何体中，不符合棱柱的三个特征，而符合，故选C.2下面多面体中有12条棱的是()A四棱柱 B四棱锥C五棱锥 D五棱柱考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案A解析n棱柱共有3n条棱，n棱锥共有2n条棱，四棱柱共有12条棱；四棱锥共有8条棱；五棱锥共有10条棱；五棱柱共有15条棱故选A.3一棱柱有10个顶点，且所有侧棱长之和为100，则其侧棱长为()A10 B20 C5 D15答案B解析易知该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长相等，故其侧棱长为20.4有两个面平行的多面体不可能是()A棱柱 B棱锥C棱台 D以上都错考点空间几何体题点空间几何体结构判断答案B解析由棱锥的结构特征可得5下列说法正确的是()A棱柱的底面一定是平行四边形B棱锥的底面一定是三角形C棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱答案D解析棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确；过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确6如图所示，在三棱台ABCABC中，截去三棱锥AABC，则剩余部分是()A三棱锥 B四棱锥C三棱柱 D三棱台考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用答案B解析由题图知剩余的部分是四棱锥ABCCB.7已知集合A正方体，B长方体，C正四棱柱，D直平行六面体，则()AABCD BCABDCACBD D它们无确切包含关系答案C解析在这4种图形中，包含元素最多的是直平行六面体，其次是长方体，最少的是正方体，其次是正四棱柱二、填空题8下图中不可能围成正方体的是_(填序号)答案9以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成_个三棱锥答案3解析如图，分割为A1ABC，BA1CC1，C1A1B1B，3个棱锥10若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角线长为9，则该棱台的高为_答案3解析由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为5，下底长为7，对角线长为9，则高为3.11.如图所示，对几何体的说法正确的是_(填序号)这是一个六面体；这是一个四棱台；这是一个四棱柱；此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到答案解析正确，因为有六个面，属于六面体错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱都正确，如图所示三、解答题12.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？(3)每个面的三角形面积为多少？解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥(2)这个几何体共有4个面，其中DEF为等腰三角形，PEF为等腰直角三角形，DPE和DPF均为直角三角形(3)SPEFa2，SDPFSDPE2aaa2，SDEFS正方形ABCDSPEFSDPFSDPE(2a)2a2a2a2a2.13试从正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱解(1)如图所示，三棱锥A1AB1D1(答案不唯一)(2)如图所示，三棱锥B1ACD1(答案不唯一)(3)如图所示，三棱柱A1B1D1ABD(答案不唯一)四、探究与拓展14.如图，已知正三棱锥PABC的侧棱长为，底面边长为，Q是侧棱PA的中点，一条折线从A点出发，绕侧面一周到Q点，则这条折线长度的最小值为_答案解析沿着棱PA把三棱锥展开成平面图形，所求的折线长度的最小值就是线段AQ的长度，令PAB，则60，在展开图中，AQ.15给出两块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱锥模型，另一块剪拼成一个底面是正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图中，并作简要说明考点棱锥的结构特征题点棱锥的结构特征的应用解如图(1)所示，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个底面为正三角形的三棱锥如图(2)所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底.17