（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第5讲 导数及其应用学案 文 苏教版

第5讲导数及其应用 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171导数的几何意义第11题导数在江苏高考中主要考查：一是导数的运算法则和导数的几何意义，是中档题；二是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等，一般在压轴题位置；三是应用导数解决实际问题，试题难度中等2利用导数研究函数的性质第11题第11题3导数的实际运用第17题4导数的综合运用第19题第19题第20题1必记的概念与定理(1)导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数值就是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)(2)函数的单调性函数f(x)在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数(3)函数的极值函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值(4)函数的最值在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值，要注意端点值与极值比较若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值2记住几个常用的公式与结论四个易误导数公式及两个常用的运算法则(1)(sin x)cos x(2)(cos x)sin x(3)(ax)axln a(a0，且a1)(4)(logax)(a0，且a1)(5)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(6)(g(x)0)3需要关注的易错易混点(1)导数与函数单调性的关系f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性(2)函数的极值与最值函数的极值是局部范围内讨论的问题，函数的最值是对整个定义域而言的，是在整个范围内讨论的问题函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值导数的几何意义典型例题 (1)(2019高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_(2)(2019南通市高三第一次调研测试)已知两曲线f(x)2sin x，g(x)acos x，x相交于点P若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为_【解析】(1)设A(x0，ln x0)，又y，则曲线yln x在点A处的切线方程为yln x0(xx0)，将(e，1)代入得，1ln x0(ex0)，化简得ln x0，解得x0e，则点A的坐标是(e，1)(2)设点P的横坐标为x0，则2sin x0acos x0，(2cos x0)(asin x0)1，所以4sin2x01因为x0，所以sin x0，cos x0，所以a【答案】(1)1(2)导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解对点训练1(2019江苏省四星级学校联考)已知函数f(x)ex(aR，e为自然对数的底数)的导函数f(x)是奇函数，若曲线yf(x)在(x0，f(x0)处的切线与直线xy10垂直，则x0_解析 由题意知f(x)exaex，因为f(x)为奇函数，所以f(0)1a0，所以a1，故f(x)exex因为曲线yf(x)在(x0，f(x0)处的切线与直线xy10垂直，所以f(x0)ex0ex0，解得ex0，所以x0ln 答案 2直线l与曲线yex及yx2都相切，则直线l的方程为_解析 设直线l与曲线yex的切点为(x0，ex0)，直线l与曲线yx2的切点为，因为yex在点(x0，e x0)处的切线的斜率为y|xx0ex0，y在点处的切线的斜率为y|xx1，则直线l的方程可表示为yex0xx0ex0ex0或yx1xx，所以所以e x01x0，解得x00所以直线l的方程为yx1答案 yx1利用导数研究函数的性质典型例题 (2019江苏省名校高三入学摸底卷)已知函数h(x)bxln x的图象经过点(e，2e)，函数f(x)x(a，bR)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1x2，证明：f(x2)x21【解】(1)因为函数h(x)bxln x的图象经过点(e，2e)，所以b2，所以函数h(x)2xln x，故函数f(x)x2ln x，f(x)1，令f(x)0，得x22xa0，其判别式44a，当0，即a1时，x22xa0，f(x)0，此时f(x)在(0，)上单调递增当0，即a1时，方程x22xa0的两根为x11，x211，若a0，则x10，则当x(0，x2)时，f(x)0，当x(x2，)时，f(x)0，此时f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增；若0a1，则x10，则当x(0，x1)时，f(x)0，当x(x1，x2)时，f(x)0，当x(x2，)时，f(x)0，此时f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增综上所述，当a0时，函数f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增；当0a1时，函数f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增；当a1时，函数f(x)在(0，)上单调递增(2)证明：由(1)可知，函数f(x)有两个极值点x1，x2，等价于方程x22xa0在(0，)上有两个不相等的实根，故0a1由(1)得当0a1时，x21，则1x22，ax2x2f(x2)x21x22ln x2x21x22ln x21令g(t)t2ln t1，则g(t)1，当1t2时，g(t)0，故g(t)在(1，2)上单调递减故g(t)g(1)12ln 110所以f(x2)x21g(x2)0，即f(x2)x21利用导数研究函数性质的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导函数f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0时，若f(x)在区间1，e上的最小值为2，求a的取值范围解 (1)当a1时，f(x)x23xln x(x0)，所以f(x)2x3，所以f(1)2，f(1)0所以切线方程为y2(2)函数f(x)ax2(a2)xln x的定义域为(0，)，当a0时，f(x)2ax(a2)，令f(x)0，解得x或x当01，即a1时，f(x)在1，e上单调递增所以f(x)在1，e上的最小值为f(1)2，符合题意；当1e，即a1时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在1，e上的最小值为ff(1)2，不合题意；当e，即0a时，f(x)在1，e上单调递减，所以f(x)在1，e上的最小值为f(e)f(1)2，不合题意综上，实数a的取值范围是1，)导数的实际运用典型例题 (2019江苏省高考名校联考)某制药厂生产一种颗粒状粉剂，由医药代表负责推销，若每包药品的生产成本为6元，推销费用为t(1t3)元，预计当每包药品的售价为x元时，一年的市场销售量为(20x)2万包，若从民生角度考虑，每包药品的售价不得高于生产成本的250%，但为了鼓励药品研发，每包药品的售价又不得低于生产成本的200%(1)写出该种药品一年的利润W(万元)与每包药品的售价x的函数关系式W(x)；(2)当每包药品的售价为多少元时，一年的利润W最大，并求出W的最大值【解】(1)W(x)(x6t)(20x)2，x12，15(2)由(1)得W(x)(20x)(322t3x)，令W(x)0得x20或x，又1t3，所以，故当x时，W(x)0，W(x)单调递增；当x20时，W(x)0，W(x)单调递减；当x20时，W(x)0，W(x)单调递增又x12，15，所以当12，即1t2时，W(x)在12，15上单调递减，所以当x12时，W(x)取得最大值38464t；当12，即2t3时，又x12，15，所以当x时，W(x)取得最大值(14t)3综上所述，若1t2，当每包药品的售价为12元时，一年的利润W最大，最大利润为38464t万元；若2t3，当每包药品的售价为元时，一年的利润W最大，最大利润为(14t)3万元利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式yf(x)；(2)求出函数的导函数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点处的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值对点训练4现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？解 (1)由PO12知O1O4PO18因为A1B1AB6，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥A1BPO162224(m3)正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)(2)设A1B1a m，PO1h m，则0h6，O1O4h如图，连结O1B1因为在RtPO1B1中，O1BPOPB，所以h236，即a22(36h2)于是仓库的容积VV柱V锥a24ha2ha2h(36hh3)，0h6，从而V(363h2)26(12h2)令V0，得h2或h2(舍)当0h0，V是单调递增函数；当2h6时，V0，V是单调递减函数故h2时，V取得极大值，也是最大值因此，当PO12 m时，仓库的容积最大导数的综合运用典型例题 (2019高考江苏卷)设函数f(x)(xa)(xb)(xc)，a，b，cR，f(x)为f(x)的导函数(1)若abc，f(4)8，求a的值；(2)若ab，bc，且f(x)和f(x)的零点均在集合3，1，3中，求f(x)的极小值；(3)若a0，00，则f(x)有2个不同的零点，设为x1，x2(x1x2)由f(x)0，得x1，x2列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值Mf(x1)法一：Mf(x1)x(b1)xbx13x2(b1)x1bx1()33因此M法二：因为00，判断是否存在b0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，)内存在“S点”，并说明理由解 (1)证明：函数f(x)x，g(x)x22x2，则f(x)1，g(x)2x2由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得此方程组无解，因此，f(x)与g(x)不存在“S点”(2)函数f(x)ax21，g(x)ln x，则f(x)2ax，g(x)设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得即(*)得ln x0，即x0e，则a当a时，x0e满足方程组(*)，即x0为f(x)与g(x)的“S点”因此，a的值为(3)对任意a0，设h(x)x33x2axa因为h(0)a0，h(1)13aa20函数f(x)x2a，g(x)，则f(x)2x，g(x)由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得即(*)此时，x0满足方程组(*)，即x0是函数f(x)与g(x)在区间(0，1)内的一个“S点”因此，对任意a0，存在b0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，)内存在“S点”1(2019宁波模拟)曲线y在点(1，1)处的切线方程为_解析 由题意可得：y，所以在点(1，1)处的切线斜率为2，所以在点(1，1)处的切线方程为y2x1答案 y2x12(2019江苏省高考名校联考信息卷(一)若函数f(x)x33x2的单调递减区间为a，b，则ab_解析 因为f(x)x33x2，所以f(x)3x26x令f(x)0，得0x2，所以函数f(x)的单调递减区间为0，2，所以a0，b2所以ab2答案 23(2019江苏省名校高三入学摸底卷)已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)为其导函数，f(x)f(x2)4，当x0，2时，f(x)x2，则f(2 019)_解析 因为f(x)f(x2)4，所以f(x2)f(x4)4，所以f(x4)f(x)，所以f(x)的周期为4当x2，4时，x20，2，f(x2)(x2)2，因为f(x)f(x2)4，所以f(x2)f(x)4，所以f(x)4f(x2)4(x2)24xx2，所以f(x)2x4，根据周期性知，f(2 019)f(3)2答案 24已知函数f(x)x22ln x，g(x)x，若函数f(x)与g(x)有相同的极值点，则实数a的值为_解析 因为f(x)x22ln x，所以f(x)2x(x0)，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，又当0x0；当x1时，f(x)0在(0，)上恒成立，则f(x)在(0，)上单调递增，又f(0)1，所以此时f(x)在(0，)内无零点，不满足题意当a0时，由f(x)0得x，由f(x)0得0x0，f(x)单调递增，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递减，则f(x)maxf(0)1，f(1)4，f(1)0，则f(x)min4，所以f(x)在1，1上的最大值与最小值的和为3答案 37(2019江苏省高考名校联考信息卷(八)已知函数f(x)xln xx23x在区间内有极值，则整数n的值为_解析 由题意知，f(x)ln x1x3ln xx2，令g(x)ln xx2，因为g()ln 2ln 0，所以函数g(x)ln xx2在(，2)内有零点又g(x)10恒成立，所以函数g(x)ln xx2在(0，)上单调递增，所以函数g(x)ln xx2有唯一的零点x0(，2)，则当x(0，x0)时，f(x)0，则x0是函数f(x)唯一的极值点，且x0(，2)，结合题意可知n2答案 28(2019高三第二学期四校联考)函数f(x)aexex的图象在x0处的切线与直线y2x3平行，则不等式f(x21)f(1x)0，所以f(x)在R上单调递增不等式f(x21)f(1x)0可化为f(x21)f(x1)，由f(x)单调递增可得x21x1，解得0x1，所以不等式的解集为x|0x1答案 x|0x19(2019南京四校第一学期联考)已知函数f(x)x24x的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，若曲线yf(x)在点A，B处的切线互相垂直，则3x12x2的最大值是_解析 由题意得f(x)2x4，因为曲线yf(x)在点A，B处的切线互相垂直，所以x12，x22，(2x14)(2x24)1又x1x2，所以2x140，2x240，x12，则3x12x232x22x262222，当且仅当(4x28)时，上式取等号，因此3x12x2的最大值为2答案 210(2018江苏名校高三入学摸底)已知函数f(x)x2aln x的图象在x2处的切线与直线x3y0垂直，g(x)，若存在正实数m，n，使得f(m)f(x)，g(n)g(x)对任意的x(0，)恒成立，则函数h(x)mf(x)ng(x)的零点个数是_解析 由题意可得函数f(x)x2aln x的图象在x2处的切线斜率为3，f(x)2x，f(2)43，a2，f(x)2x，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(m)f(1)，m1g(x)x2(x0)，g(x)1，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增，所以g(n)g(1)，n1则h(x)f(x)g(x)x22ln xx2，易知当0x1时，h(x)单调递增，且h(1)0，所以函数h(x)有1个零点答案 111(2019江苏省名校高三入学摸底卷)已知函数f(x)x2ln xa(x2x)(a0)，g(x)(1)若函数g(x)的图象在x2处的切线在y轴上的截距为4ln 2，求a的值；(2)判断函数g(x)在x(0，1)上的单调性，并说明理由；(3)若方程f(x)m有两个不相等的实数根x1，x2，求证：x1x21解 (1)g(x)a(a0)，则g(x)g(2)2ln 2a，g(2)1ln 2，函数g(x)的图象在x2处的切线方程为y(2ln 2a)(1ln 2)(x2)，将点(0，4ln 2)代入，解得a2(2)令h(x)xln x1，则h(x)1，当x(0，1)时，h(x)0，h(x)单调递减，h(x)h(1)0，则当x(0，1)时，g(x)0，所以函数g(x)在x(0，1)上单调递增(3)证明：f(x)2xln xxa(2x1)，令(x)2xln xxa(2x1)(a0)，则(x)2ln x32a，易知(x)在x(0，)上单调递增，又(ea2)10，(1)32a0，则存在x0(0，1)，使得(x0)0，即2ln x032a0，则f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，又f(x0)2x0ln x0x02ax0aa2x00，f(1)1a0，又当0xx0时，函数f(x)的图象均在y轴下方，所以可设f(x3)0，则x3(x0，1)，所以f(x)在(0，x3)上单调递减，在(x3，)上单调递增，又f(1)0，不妨设x1x2，则数形结合可知0x1x3x21由(2)知，g(x1)g(x3)g(x2)，即则g(x3)(xx2)f(x2)f(x1)g(x3)(xx1)，所以(xx2)(xx1)(x2x1)(x2x11)0，故x1x2112(2019江苏名校高三入学摸底)已知函数f(x)1(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设m0，求函数f(x)在区间m，2m上的最大值解 (1)因为函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)，由得0xe所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)(2)当，即0m时，m，2m(0，e)，函数f(x)在区间m，2m上单调递增，所以f(x)maxf(2m)1；当me2m，即me时，(m，e)(0，e)，(e，2m)(e，)，函数f(x)在区间(m，e)上单调递增，在(e，2m)上单调递减，所以f(x)maxf(e)11；当me时，(m，2m)(e，)，函数f(x)在区间m，2m上单调递减，所以f(x)maxf(m)1综上所述，当0m时，f(x)max1；当m0)，f(x)x3，令f(x)0得，x1或x2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示x(0，1)1(1，2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的极大值f(1)，极小值为f(2)2ln 24(2)依题意，知切线方程为yf(x0)(xx0)f(x0)(x00)，从而g(x)f(x0)(xx0)f(x0)(x00)，记p(x)f(x)g(x)，则p(x)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)在(0，)上为增函数，所以p(x)f(x)f(x0)0在(0，)上恒成立，即p(x)xx00在(0，)上恒成立，即xx0在(0，)上恒成立，因为x22(当且仅当x时，等号成立)，所以2x0，从而(x0)20，所以x0(3)假设存在一条直线与函数f(x)的图象有两个不同的切点T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，不妨设0x1x2，则函数f(x)的图象在点T1处的切线l1的方程为yf(x1)f(x1)(xx1)，在点T2处的切线l2的方程为yf(x2)f(x2)(xx2)因为l1，l2为同一条直线，所以f(x1)f(x2)，f(x1)x1f(x1)f(x2)x2f(x2)，即x1ax2a，2ln x1xax1x12ln x2xax2x2，整理得2ln0令t，由0x1x2与x1x22，得t(0，1)记p(t)2ln tt，则p(t)1p(1)0从而式不可能成立，所以假设不成立，即不存在一条直线与函数f(x)的图象相切于两个不同的点14已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若bca(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(，3)(1，)(，)，求c的值解 (1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2当a0时，因为f(x)3x20，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(，)(0，)时，f(x)0，x(，0)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，)，(0，)上单调递增，在(，0)上单调递减；当a0，x(0，)时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，(，)上单调递增，在(0，)上单调递减(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，f()a3b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)f()b(a3b)0时，a3ac0或当a0时，a3ac0设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(，3)(1，)(，)，则在(，3)上g(a)0均恒成立，从而g(3)c10，且g()c10，因此c1此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因为函数有三个零点，则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3)(1，)(，)综上c1- 19 -