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第6章 数列全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2道小题或1道解答题，分值占1012分.2.考查内容高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算、性质及数列的递推公式等为主解答题一般考查数列的通项公式、前n项和公式、等差、等比数列的判定及计算、错位相减法、裂项相消法、公式法求和.3.备考策略(1)熟练掌握以下内容及方法根据数列的递推公式求通项公式的常用方法；等差、等比数列的通项公式、前n项和公式；等差、等比数列的性质；等差、等比数列的判定方法；数列求和方法：分组转化法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和.(2)重视分类讨论、转化与化归思想在数列中的应用.第一节数列的概念与简单表示法最新考纲1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数(对应学生用书第93页)1数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项(2)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法2数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限单调性递增数列an1an其中nN*递减数列an1an常数列an1anc(常数)摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式4数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是数列的一种表示方法5an与Sn的关系若数列an的前n项和为Sn，通项公式为an，则an1数列an是递增数列an1an恒成立2数列an是递减数列an1an恒成立一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达()(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个()(3)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意nN*，都有an1Sn1Sn.()(4)若已知数列an的递推公式为an1，且a21，则可以写出数列an的任何一项()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1数列1，的一个通项公式为()AanBan(1)nCan(1)n1DanB由a11，代入检验可知选B.2在数列an中，已知a1，an11，则a3()A3B.C5D.Da215，a311.3把3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)则第6个三角形数是()A27B28 C29D30B由题图可知，第6个三角形数是123456728.4已知数列an中，a11，a22，以后各项由anan1an2(n2)给出，则a5_.8a3a2a13，a4a3a25，a5a4a38.(对应学生用书第94页)考点1由数列的前n项归纳数列的通项公式解答具体策略：相邻项的变化规律；各项的符号规律和其绝对值的变化规律；分式中分子、分母的变化规律，分子与分母之间的关系；合理拆项；结构不同的项，化异为同根据下面各数列前n项的值，写出数列的一个通项公式(1)，；(2)，2，8，；(3)5,55,555,5555，；(4)1,3,1,3，；(5)，；(6)1,1，2,2，3,3，.解(1)数列中各项的符号可通过(1)n1表示每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，所以an(1)n1.(2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察即，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an.(3)将原数列改写为9，99，999，易知数列9,99,999，的通项为10n1，故所求的数列的一个通项公式为an(10n1)(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是3，所以数列的一个通项公式为an2(1)n.(5)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为13,35,57,79,911，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，相邻的偶数故所求数列的一个通项公式为an.(6)数列的奇数项为1，2，3，可用表示，数列的偶数项为1,2,3，可用表示因此an(1)记住常见数列的通项公式，有些数列可用常见数列表示，如T(3)(2)对于奇数项和偶数项不能用同一表达式表示的数列，可用分段函数表示，如T(6)考点2由an与Sn的关系求通项公式已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1S1，求出a1；(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；(3)注意检验n1时的表达式是否可以与n2的表达式合并(1)若数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an_.(2)(2018全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.(3)已知数列an满足a12a23a3nan2n，则an_.(1)(2)63(3)(1)当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an(2)由Sn2an1得S12a11，即a12a11，解得a11.又Sn12an11(n2)，所以an2an2an1，即an2an1.所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，所以S612663.(3)当n1时，由已知，可得a1212，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12n1(n2)，由得nan2n2n12n1，an(n2)显然当n1时不满足上式，ananSnSn1只适用于n2的情形，易忽略求a1，造成错解，如T(1)，T(3)1.(2019郑州模拟)已知Sn为数列an的前n项和，且log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式为_an由log2(Sn1)n1得Sn12n1，即Sn2n11.当n1时，a1S121113.当n2时，anSnSn1(2n11)(2n1)2n，显然a13不满足上式，所以an2已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意nN*，均有2Snaan，则an_.n由2Snaan得2Sn1aan1，2anaaanan1，即aaanan1，又an0，anan11，又2S1aa1，解得a11，数列an是首项为1，公差为1的等差数列an1(n1)1n.考点3由递推公式求数列的通项公式由数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)形如an1anf(n)，可用累加法求an.(2)形如an1anf(n)，可用累乘法求an.(3)形如an1AanB(A0且A1)，可构造等比数列求an.(4)形如an1，可通过两边同时取倒数，构造新数列求解形如an1anf(n)，求an在数列an中，a12，an1an3n2(nN*)，求数列an的通项公式解an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(3n1)(3n4)852，ann2.求解时，易错误地认为an(anan1)(an1an2)(a2a1)造成错解形如an1anf(n)，求an已知数列an满足a14，an1an，求数列an的通项公式解由an1an得，(n2)，ana14214，即an.求解时易错误地认为an，造成错解形如an1AanB(A0且A1)，求an已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式解an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，an123n1，因此an23n11.an1AanB可转化为an1kA(ank)的形式，其中k可用待定系数法求出1.(2019泰安模拟)已知数列an满足a12，an1an2n11，则an_.2n1n由an1an2n11得an1an2n11，anan12n21(n2)，an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a12n22n321(n1)2n12n1n，即an2n1n.2已知数列an满足a11，an12nan，则an_.2an12nan，2n，2n1(n2)，ana12n12n2212123(n1)2，即an2.3已知数列an满足a11，an12an3，则an_.2n13由an12an3得an132(an3)又a11，a134.故数列an3是首项为4，公比为2的等比数列，an342n12n1，an2n13.考点4数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值(1)数列an满足an1a1，则数列的第2 020项为_(2)在数列an中，a10，an1，则S2 020_.(1)(2)0(1)因为a1，故a22a11，a32a2，a42a3，a52a41，a62a51，a72a6，故数列an是周期数列且周期为4，故a2 020a5054a4.(2)a10，an1，a2，a3，a40，即数列an是周期为3的周期数列，且a1a2a30，则S2 020S36731a10.求解时，易算错数列的周期，可计算数列的前几项，直至找到和a1相同的项ak，则数列的周期为k1.教师备选例题已知数列an满足an1，若a1，则a2 020()A1B.C1D2B由a1，an1，得a22，a31，a4，a52，于是可知数列an是以3为周期的周期数列，因此a2 020a36731a1.1.已知数列an满足a11，an1a2an1(nN*)，则a2 020_.0a11，an1a2an1(an1)2，a2(a11)20，a3(a21)21，a4(a31)20，可知数列an是以2为周期的周期数列，a2 020a20.2(2019青岛模拟)已知数列2 008,2 009,1，2 008，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 020项之和S2 020_.2 010由题意知a12 008，a22 009，a31，a42 008，a52 009，a61，a72 008，a82 009，因此数列是以6为周期的周期数列，且a1a2a60，S2 020S633643360a1a2a3a42 010.- 9 -
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