2022年高考数学二轮复习 限时训练20 直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题 文

2022年高考数学二轮复习 限时训练20 直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题 文1.已知圆E：x22经过椭圆C：1(ab0)的左、右焦点F1，F2，且与椭圆C在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线直线l交椭圆C于M，N两点，且 (0)(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积取到最大值时，求直线l的方程解：(1)F1，E，A三点共线，F1A为圆E的直径，AF2F1F2.由x22，得x，c，|AF2|2|AF1|2|F1F2|2981，2a|AF1|AF2|4，a2.a2b2c2，b，椭圆C的方程为1.(2)由题知，点A的坐标为(，1)， (0)，直线的斜率为，故设直线l的方程为yxm，联立得，x2mxm220，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2m，x1x2m22，2m24m280，2m2.又|MN| |x2x1| ，点A到直线l的距离d，SAMN|MN|d |m| ，当且仅当4m2m2，即m时等号成立，此时直线l的方程为yx.2(xx石家庄市模拟)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点且与直线x相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，PBC的内切圆的方程为(x1)2y21，求PBC面积的最小值解：(1)由题意可知圆心到的距离等于到直线x的距离，由抛物线的定义可知，曲线E的方程为y22x.(2)法一：设P(x0，y0)，B(0，b)，C(0，c)，直线PB的方程为：(y0b)xx0yx0b0，又圆心(1,0)到PB的距离为1，所以1，整理得：(x02)b22y0bx00，同理可得：(x02)c22y0cx00，所以b，c是方程(x02)x22y0xx00的两根，所以bc，bc，依题意bc2，则(bc)2，因为y2x0，所以|bc|，所以S|bc|x0(x02)48，当x04时上式取得等号，所以PBC面积的最小值为8.法二：设P(x0，y0)，直线PB：yy0k(xx0)，由题知PB与圆(x1)2y21相切，则1，整理得：(x2x0)k22(1x0)y0ky10，k1k2，k1k2，依题意x02，则|yByC|(y0k1x0)(y)k2x0|k1k2|x0，又|k1k2|，则|yByC|，所以S|yByC|x0|(x02)48，当且仅当x04时上式取得等号，所以 PBC面积的最小值为8.3(xx长春市高三模拟)在ABC中，顶点B(1,0)，C(1,0)，G，I分别是ABC的重心和内心，且.(1)求顶点A的轨迹M的方程；(2)过点C的直线交曲线M于P，Q两点，H是直线x4上一点，设直线CH，PH，QH的斜率分别为k1，k2，k3，试比较2k1与k2k3的大小，并加以证明解：(1)由题意知SABC(|AB|AC|BC|)r|BC|yA|，且|BC|2，|yA|3r，其中r为内切圆半径， 化简得：|AB|AC|4，顶点A的轨迹是以B，C为焦点，4为长轴长的椭圆(去掉长轴端点)，其中a2，c1，b，所以轨迹M的方程为1(y0)(2)2k1k2k3，以下进行证明：当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ：yk(x1)且P(x1，y1)，Q(x2，y2)，H(4，m)，联立可得x1x2，x1x2.由题意：k1，k2，k3.k2k32k1.当直线PQ的斜率不存在时，不妨取P，Q，则k2k32k1.综上可得2k1k2k3.4(洛阳市xx届高三模拟)设M是焦距为2的椭圆E：1(ab0)上一点，A，B是其左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2.(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：1(ab0)上点N(x0，y0)处切线方程为1，若与椭圆E相切于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点的切线相交于P点，且0.求证：点P到原点的距离为定值(1)解：由题意，2c2，c1，A(a,0)，B(a,0)，设M(x，y)，k1k2，即.M(x，y)在椭圆上，1.，a22b2.又a2b2c21，a22，b21.椭圆E的方程为y21.(2)证明：依题意，切线PC，PD的方程分别为y1y1，y2y1，即x1x2y1y2，x2x2y2y2.由，得P，0，PCPD，1，即x1x24y1y2.C，D在椭圆E上，x2y2，x2y2.x22y，x22y.|PO|2.x1x24y1y2，xx16yy.即(22y)(22y)16yy，(1y)(1y)4yy，得yy.|OP|23.|PO|，P到原点的距离为定值.