2021版高考数学一轮复习 第六章 数列 第1讲 数列的概念与简单表示法教学案 理 北师大版

第1讲数列的概念与简单表示法一、知识梳理1数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义数列：按照一定次序排列的一列数；数列的项：数列中的每一个数(2)数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1an其中，nN+递减数列an1an常数列an1an(3)数列的通项公式如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示或anf(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式2数列的递推公式如果已知数列an的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(n2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公式常用结论常用结论若数列的前n项和为Sn，通项公式为an，则an即anSnSn1的应用前提是n2，nN.2在数列an中，若an最大，则若an最小，则3数列与函数的关系数列可以看成一类特殊的函数anf(n)，它的定义域是正整数集N或正整数集N的有限子集，所以它的图像是一系列孤立的点，而不是连续的曲线二、教材衍化1在数列an中，a11，an1(n2)，则a5_解析：a212，a31，a413，a51.答案：2根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an_答案：5n4一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个()(4)1，1，1，1，不能构成一个数列()(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列()(6)如果数列an的前n项和为Sn，则对任意的nN+，都有an1Sn1Sn.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏(1)忽视数列是特殊的函数，其自变量为正整数集或其子集1，2，n；(2)求数列前n项和Sn的最值时忽视项为零的情况；(3)根据Sn求an时忽视对n1的验证1在数列1，0，中，0.08是它的第_项解析：依题意得，解得n10或n(舍)答案：102在数列an中，ann26n7，当其前n项和Sn取最大值时，n_解析：由题可知nN+，令ann26n70，得1n7(nN+)，所以该数列的第7项为零，且从第8项开始an0，则S6S7且最大答案：6或73已知Sn2n3，则an_解析：因为Sn2n3，那么当n1时，a1S12135；当n2时，anSnSn12n3(2n13)2n1(*)由于a15不满足(*)式，所以an答案：由数列的前几项求数列的通项公式(自主练透)1数列1，3，6，10，的一个通项公式是()Aann2(n1)Bann21Can Dan解析：选C.观察数列1，3，6，10，可以发现第n项为1234n.所以an.2数列an的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是an_解析：数列an的前4项可变形为，故an.答案：3根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1，7，13，19，；(2)0.8，0.88，0.888，；(3)，.解：(1)数列中各项的符号可通过(1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)(2)数列可变为，故an.(3)各项的分母分别为21，22，23，24，易看出第2，3，4项的绝对值的分子分别比分母小3.原数列化为，故an(1)n.由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)k或(1)k1，kN+处理 an与Sn关系的应用(多维探究)角度一利用an与Sn的关系求通项公式an 已知数列的前n项和Snan，则的通项公式为an_【解析】当n1时，a1S1a1，所以a11.当n2时，anSnSn1anan1，所以，所以数列为首项a11，公比q的等比数列，故an1.【答案】1【迁移探究】(变条件)若将本例中的“Snan”改为“Snn22n2”，结论如何？解：当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn12n3.由于n1时，a11213，所以an的通项公式为an角度二利用an与Sn的关系求Sn 设Sn是数列an的前n项和，Sn0，且a11，an1SnSn1，则Sn_【解析】因为 an1Sn1Sn，an1SnSn1，所以 Sn1SnSnSn1.因为 Sn0，所以 1，即1.又1，所以 是首项为1，公差为1的等差数列所以 1(n1)(1)n，所以 Sn.【答案】(1)已知Sn求an的三个步骤先利用a1S1求出a1；用n1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式；注意检验n1时的表达式是否可以与n2的表达式合并(2)Sn与an关系问题的求解思路根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化利用anSnSn1(n2)转化为只含Sn，Sn1的关系式，再求解；利用SnSn1an(n2)转化为只含an，an1的关系式，再求解 1已知数列an的前n项和Sn2n3，则数列an的通项公式an_解析：当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1(2n3)(2n13)2n2n12n1，a1不适合此等式所以an答案：2已知数列an中，a11，Sn为数列an的前n项和，Sn0，且当n2时，有1成立，则S2 017_解析：当n2时，由1，得2(SnSn1)(SnSn1)SnSSnSn1，所以1，又2，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以n1，故Sn，则S2 017.答案：3已知数列an满足a12a23a34a4nan3n22n1，求an.解：设a12a23a34a4nanTn，当n1时，a1T13122112，当n2时，nanTnTn13n22n13(n1)22(n1)16n5，因此an，显然当n1时，不满足上式故数列an的通项公式为an由数列的递推关系求通项公式(多维探究)角度一形如an1anf(n)，求an 在数列an中，a11，anan1(n2)，求数列an的通项公式【解】因为anan1(n2)，所以an1an2，an2an3，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时，a11，上式也成立所以an(nN+)根据形如an1anf(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时，常用累乘法求出与n的关系式，进而得到an的通项公式 角度二形如an1anf(n)，求an 设数列an满足a11，且an1ann1(nN+)，求数列an的通项公式【解】由题意有a2a12，a3a23，anan1n(n2)以上各式相加，得ana123n.又因为a11，所以an(n2)因为当n1时也满足上式，所以an(nN+)根据形如an1anf(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时，常用累加法求出ana1与n的关系式，进而得到an的通项公式 角度三形如an1panq(p0且p1)，求an 已知数列an满足a11，an13an2，求数列an的通项公式【解】因为an13an2，所以an113(an1)，所以3，所以数列an1为等比数列且公比q3，又a112，所以an123n1，所以an23n11(nN+)根据形如an1panq的递推关系式求通项公式时，一般先构造公比为p的等比数列anx，即将原递推关系式化为an1xp(anx)的形式，再求出数列anx的通项公式，最后求an的通项公式 角度四形如an1(A，B，C为常数)，求an 已知数列an中，a11，an1，求数列an的通项公式【解】因为an1，a11，所以an0，所以，即.又a11，则1，所以是以1为首项，为公差的等差数列所以(n1).所以an(nN+)根据形如an1(A，B，C为常数)的递推关系式求通项公式时，一般对递推式两边同时取倒数，当AC时，化为x的形式，可构造公比为的等比数列，其中用待定系数法求x是关键，当AC时，可构成一个等差数列 1已知数列an中，a12，an1anln，则数列an的通项公式an_解析：因为an1anln，所以anan1lnln(n2)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1lnlnlnln 222ln2ln n(n2)又a12适合上式，故an2ln n(nN+)答案：2ln n2已知数列an中，a13，且点Pn(an，an1)(nN+)在直线4xy10上，则数列an的通项公式为_解析：因为点Pn(an，an1)(nN*)在直线4xy10上，所以4anan110.所以an14.因为a13，所以a1.故数列是首项为，公比为4的等比数列所以an4n1，故数列的通项公式为an4n1.答案：an4n1数列的函数特征(多维探究)角度一数列的单调性 (一题多解)已知an是递增数列，且对于任意的nN+，ann2n恒成立，则实数的取值范围是_【解析】法一(定义法)：因为an是递增数列，所以对任意的nN+，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n1)(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.法二(函数法)：设f(n)ann2n，其图象的对称轴为直线n，要使数列an为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f(n)为增函数，故只需满足f(1)f(2)，即3.【答案】(3，)判断数列的单调性的方法(1)作差比较法：an1an0数列an是递增数列；an1an0数列an是递减数列；an1an0数列an是常数列(2)作商比较法：.当an0时，则1数列an是递增数列；1数列an是递减数列；1数列an是常数列；.当an0时，则1数列an是递减数列；1数列an是递增数列；1数列an是常数列(3)结合相应函数的图象直观判断 角度二求最大(小)项 (一题多解)已知数列an的通项公式为an，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最大，最大项是多少？若没有，说明理由【解】法一：an1an，当n8时，an1an0，即an1an；当n8时，an1an0，即an1an；当n8时，an1an0，即an1an.则a1a2a3a8a9a10a11，故数列an有最大项，为第8项和第9项，且a8a9.法二：设数列an的第n项最大，则即解得8n9，又nN*，则n8或n9.故数列an有最大项，为第8项和第9项，且a8a9.求数列最大(小)项的方法(1)构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项(2)利用求数列中的最大项an；利用求数列中的最小项an.当解不唯一时，比较各解大小即可确定 角度三数列的周期性 已知数列an满足a12，an1(nN+)，则该数列的前2 021项的乘积a1a2a3a2 021_【解析】由题意可得，a23，a3，a4，a52a1，所以数列an是以4为周期的周期数列，而2 02145051，且a1a2a3a42(3)1.故该数列前2 021项的乘积为a12.【答案】2【迁移探究】(变问法)其他条件不变，该数列前2 021项的和为_解析：a1a2a2 021505(a1a2a3a4)a2 021505(23)2.答案：解决数列周期性的方法先根据数列的前几项确定数列的周期，再根据周期求值 1等差数列an的公差d0，且aa，则数列an的前n项和Sn取得最大值时的项数n的值为()A5B6C5或6D6或7解析：选C.由aa，可得(a1a11)(a1a11)0，因为d0，所以a1a110，所以a1a110，又2a6a1a11，所以a60.因为d0，所以an是递减数列，所以a1a2a5a60a7a8，显然前5项和或前6项和最大，故选C.2已知an满足an(n)2n(nN+)，若an是递增数列，则实数的取值范围是_解析：因为an是递增数列，所以an1an，所以(n1)2n1(n)2n，化简得n2，对任意的nN+都成立所以3.答案：(，3)基础题组练1已知数列，则5是它的()A第19项B第20项C第21项 D第22项解析：选C.数列，中的各项可变形为，所以通项公式为an，令5，得n21.2已知数列an满足：m，nN+，都有anamanm，且a1，那么a5()A.BC.D解析：选A.因为数列an满足：对任意的m，nN+，都有anamanm，且a1，所以a2a1a1，a3a1a2.那么a5a3a2.故选A.3在数列an中，a1，an1(n2，nN+)，则a2 020的值为()A B5 C. D解析：选A.在数列an中，a1，an1(n2，nN+)，所以a215，a31，a41，所以an是以3为周期的周期数列，所以a2 020a67331a1.4(2020山西太原模拟(一)已知数列an的前n项和Sn满足Snan2n(nN+)，则a7()A. B C. D解析：选B.当n2时，Sn1an12n2，又Snan2n，所以2anan12，所以2(an2)an12，故an2是首项为a12，公比为的等比数列，又S1a12，故a11，所以an2，故a72，故选B.5(2020广东广州天河毕业班综合测试(一)数列an满足a11，对任意nN+，都有an11ann，则()A. B2 C. D解析：选C.由an11ann，得an1ann1，则an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)1，则，则22.故选C.6已知数列an的前n项和Sn3n1，则an_解析：当n1时，a1S1314；当n2时，anSnSn1(3n1)(3n11)23n1.当n1时，23112a1，所以an答案：7记数列an的前n项和为Sn，若对任意的nN+，2Snan1，则a2 018_解析：因为2Snan1，所以2Sn1an11(n2)，所以2Sn2Sn12ananan1(n2)，即anan1(n2)，所以数列an是以2为周期的周期数列又2S12a1a11，所以a11，所以a2 018a2a11.答案：18(2020河南焦作第四次模拟)已知数列an的通项公式为an2n，记数列anbn的前n项和为Sn，若1n，则数列bn的通项公式为bn_解析：因为1n，所以Sn(n1)2n12.所以当n2时，Sn1(n2)2n2，两式相减，得anbnn2n，所以bnn；当n1时，a1b12，所以b11.综上所述，bnn，nN+.故答案为n.答案：n9已知数列an中，a11，前n项和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解：(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n2时，有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an.显然，当n1时也满足上式综上可知，an的通项公式an.10设数列an的前n项和为Sn.已知a1a(a3)，an1Sn3n，nN+.(1)设bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若an1an，nN+，求a的取值范围解：(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即Sn12Sn3n，由此得Sn13n12(Sn3n)，即bn12bn，又b1S13a3，所以数列bn的通项公式为bn(a3)2n1，nN+.(2)由(1)知Sn3n(a3)2n1，nN+，于是，当n2时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n2，当n2时，an1an12a30a9.又a2a13a1.综上，a的取值范围是9，3)(3，)综合题组练1(2020安徽江淮十校第三次联考)已知数列an满足2，a120，则的最小值为()A4 B41 C8 D9解析：选C.由an1an2n知a2a121，a3a222，anan12(n1)，n2，以上各式相加得ana1n2n，n2，所以ann2n20，n2，当n1时，a120符合上式，所以n1，nN*，所以n4时递减，n5时递增，因为，所以的最小值为8，故选C.2若数列an满足a1a2a3ann23n2，则数列an的通项公式为_解析：a1a2a3an(n1)(n2)，当n1时，a16；当n2时，故当n2时，an，所以an答案：an3已知数列an中，a1a，a22a，an2an2，若数列an单调递增，则实数a的取值范围为_解析：由an2an2可知数列an的奇数项、偶数项分别递增，若数列an递增，则必有a2a1(2a)a0且a2a1(2a)aan2an2，可得0a1，故实数a的取值范围为(0，1)答案：(0，1)4(2020广东湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个整数为a，当a2，2 019时，符合条件的a共有_个解析：由题设a3m25n3，m，nN，则3m5n1，m，nN，当m5k，n不存在；当m5k1，n不存在；当m5k2，n3k1，满足题意；当m5k3，n不存在；当m5k4，n不存在其中kN.故2a15k82 019，解k，则k0，1，2，134，共135个，即符合条件的a共有135个故答案为135.答案：1355已知二次函数f(x)x2axa(a0，xR)，有且只有一个零点，数列an的前n项和Snf(n)(nN+)(1)求数列an的通项公式；(2)设cn1(nN+)，定义所有满足cmcm10的正整数m的个数，称为这个数列cn的变号数，求数列的变号数解：(1)依题意，a24a0，所以a0或a4.又由a0得a4，所以f(x)x24x4.所以Snn24n4.当n1时，a1S11441；当n2时，anSnSn12n5.所以an(2)由题意得cn由cn1可知，当n5时，恒有cn0.又c13，c25，c33，c4，c5，c6，即c1c20，c2c30，c4c50.所以数列cn的变号数为3.17