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第2讲递推数列及数列求和的综合问题 考点1由递推关系式求通项公式(1)累加法：形如an1anf(n)，利用ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)，求其通项公式(2)累积法：形如f(n)0，利用ana1，求其通项公式(3)待定系数法：形如an1panq(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an1tp(ant)，其中t，再转化为等比数列求解(4)构造法：形如an1panqn(其中p，q均为常数，pq(p1)0)，先在原递推公式两边同除以qn1，得，构造新数列bn，得bn1bn，接下来用待定系数法求解例1根据下列条件，确定数列an的通项公式：(1)a12，an1ann1；(2)a11，anan1(n2)；(3)a11，an13an2.【解析】(1)由题意得，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)anan1(n2)，an1an2，a2a1.以上(n1)个式子相乘得ana1.当n1时，a11，上式也成立an.(3)an13an2，an113(an1)，3，数列an1为等比数列，公比q3，又a112，an123n1，an23n11.由数列递推式求通项公式的常用方法对接训练1根据下列条件，确定数列an的通项公式：(1)a11，an1an2n；(2)a11，an12nan；(3)a11，an1.解析：(1)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)2n，21，22，2n1，将这n1个等式叠乘，得212(n1)2，an2.(3)an1，取倒数得：，a11，1，是以1为首项，为公差的等差数列，1(n1)，an.考点2错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列例22019天津卷设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0.已知a1b13，b2a3，b34a23.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列cn满足cn求a1c1a2c2a2nc2n(nN*)【解析】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.依题意，得解得或(舍)故an33(n1)3n，bn33n13n.所以an的通项公式为an3n，bn的通项公式为bn3n.(2)a1c1a2c2a2nc2n(a1a3a5a2n1)(a2b1a4b2a6b3a2nbn)(631123218336n3n)3n26(131232n3n)记Tn131232n3n，则3Tn132233n3n1，得，2Tn332333nn3n1n3n1.所以a1c1a2c2a2nc2n3n26Tn3n23(nN*).所谓“错位”，就是要找“同类项”相减要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数为保证结果正确，可对得到的和取n1,2进行验证.对接训练22019山东青岛一模已知公比为q的等比数列an满足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中项(1)求q的值；(2)若bnanlog2an，求数列bn的前n项和Sn.解析：(1)设等比数列an的公比为q，依题意，有即由得q23q20，解得q2或q1.代入知q1不成立，故舍去，所以q2.(2)由(1)知a12，所以an2n，bnanlog2an2nlog22nn2n，所以Sn2222323n2n，所以2Sn22223324(n1)2nn2n1，两式相减得Sn2222nn2n1(1n)2n12，所以Sn(n1)2n12. 考点3裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于或(其中an为等差数列)等形式的数列求和例32019湖南省湘东六校联考已知数列an的前n项和Sn满足1(n2，nN*)，且a11.(1)求数列an的通项公式an；(2)记bn，Tn为bn的前n项和，求使Tn成立的n的最小值【解析】(1)由已知有1(n2，nN*)，数列为等差数列，又1，n，即Snn2.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1.又a11也满足上式，an2n1.(2)由(1)知，bn，Tn.由Tn得n24n2，即(n2)26，n5，n的最小值为5.利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等如：若an是等差数列，则，.对接训练32019安徽池州期末已知数列an的前n项和为Sn，anSn(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn.解析：(1)由anSn，可得Snan，当n2时，Sn1an1，则anSnSn1anan1，整理得an3an1(n2)，而a1S1a1，即a11，所以数列an是首项为1，公比为3的等比数列，则an13n13n1.故数列an的通项公式为an3n1.(2)由(1)得bn，所以Tnb1b2b3bn(1)()()()1. 考点4分组转化求和分组求和法一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分即能分别求和，然后再合并例42019天津南开附中期中已知数列an是等比数列，满足a13，a424，数列bn是等差数列，满足b24，b4a3.(1)求数列an和bn的通项公式(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和【解析】(1)设等比数列an的公比为q，由题意，得q38，解得q2，an的通项公式为ana1qn132n1，a312.设等差数列bn的公差为d，b24，b4a312，b4b22d，1242d，解得d4.bnb2(n2)d4(n2)44n4.故bn的通项公式为bn4n4.(2)由(1)知an32n1，bn4n4，cnanbn32n1(4n4)从而数列cn的前n项和Sn32032132n1048(4n4)332n3n(2n2)32n2n22n3.1若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减形如an(1)nf(n)类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和2分组求和中的分组策略(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.对接训练42016高考全国卷Sn为等差数列an的前n项和，且a11，S728.记bnlgan，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，lg 991.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列bn的前1 000项和解析：(1)设an的公差为d，据已知有721d28，解得d1.所以an的通项公式为ann.b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)因为bn所以数列bn的前1 000项和为1902900311 893.课时作业10递推数列及数列求和的综合问题12019湖北华中师大一附中期中已知数列an满足a12，n(an1n1)(n1)(ann)(nN*)(1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式；(2)设bn15，求数列bn的前n项和Sn.解析：(1)证明：n(an1n1)(n1)(ann)(nN*)，nan1(n1)an2n(n1)，2，数列是等差数列，其公差为2，首项为2，22(n1)2n.(2)由(1)知an2n2，bn152n15，则数列bn的前n项和Snn214n.22019重庆市七校联合考试已知等差数列an的公差为d，且关于x的不等式a1x2dx30的解集为(1,3)(1)求数列an的通项公式；(2)若bn2an，求数列bn的前n项和Sn.解析：(1)由题意知，方程a1x2dx30的两个根分别为1和3.则，解得.故数列an的通项公式为ana1(n1)d1(n1)22n1.(2)由(1)知an2n1，所以bn2an2n(2n1)，所以Sn(222232n)(1352n1)2n1n22.32019江西七校第一次联考设数列an满足：a11,3a2a11，且(n2)(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，且b1，4bnan1an(n2)，求Tn.解析：(1)(n2)，(n2)又a11,3a2a11，1，是首项为1，公差为的等差数列1(n1)(n1)，即an.(2)4bnan1an(n2)，bn(n2)，Tnb1b2bn142019昆明市诊断测试已知数列an是等比数列，公比q1，前n项和为Sn，若a22，S37.(1)求an的通项公式；(2)设mZ，若Snm恒成立，求m的最小值解析：(1)由a22，S37得解得或(舍去)所以an4n1n3.(2)由(1)可知，Sn80，所以Sn单调递增又S37，所以当n4时，Sn(7,8)又Sn0，且a2a340，a1a413，在公比为q(0q0，所以a2a3，所以a25，a38，所以解得所以an3n1，因为在公比为q(0q1)的等比数列bn中，b1，b3，b5，所以易知b1，b3，b5.此时公比q2，所以q，所以bnn.(2)由(1)知an3n1，bnn，所以cn(3n1)n，所以Tn215283(3n1)n，Tn2253(3n4)n(3n1)n1，两式相减，得Tn21323n(3n1)n113(3n1)n1n.故cn的前n项和Tn5(3n5)n.- 11 -
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