2022年高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十三)

2022年高三数学一轮复习 基础知识课时作业(五十三)一、选择题1抛物线y28x的焦点到直线xy0的距离是(D)A2 B2 C. D1解析：抛物线y28x的焦点F(2,0)到直线xy0的距离是d1，选D.2过抛物线y24x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|10，则AB的中点到y轴的距离等于(D)A1 B2 C3 D4解析：由抛物线的定义知点A与点B到y24x的距离之和为10，故AB中点到准线的距离为5，因准线方程为x1，故AB中点到y轴的距离为4.3已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是(B)A. B. C. D2解析：由已知可以AD为x轴，AD中垂线为y轴建立平面直角坐标系，易得C(1，)，D(2,0)，设抛物线方程为x2ayb，代入解得x2y4，故焦点到准线的距离为.4过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有(C)A1条 B2条 C3条 D4条解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x0)，选C.5设抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，垂足为A，如果APF为正三角形，那么|PF|等于(C)A4 B6 C6 D12解析：PAl，APF为等边三角形，FAB30在RtABF中，|BF|3，|AF|6，|PF|66过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为(C)A. B. C. D2解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|3及抛物线定义可得，x113，x12.A点坐标为(2,2)，则直线AB的斜率k2.直线AB的方程为y2(x1)，即为2xy20，则点O到该直线的距离为d.由消去y得，2x25x20，解得x12，x2.|BF|x21，|AB|3.SAOB|AB|d.二、填空题7抛物线顶点在原点，焦点在x轴正半轴，有且只有一条直线l过焦点与抛物线相交于A，B两点，且|AB|1，则抛物线方程为_解析：由抛物线图象可知这样的直线只能是通径，|AB|1，即2p1，y2x.答案：y2x8右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降2米后，水面宽_米解析：建系如右图，设抛物线方程为x22py，过(2，2)点得p1，x22y，水面下降2米得y4，解得x2，水面宽4.答案：49已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_解析：依题意，抛物线的焦点F(1,0)，过点P作PNl，垂足为N，过点P作准线x1的垂线，垂足为M，交y轴于点E，则d1d2|PN|PE|PN|PM|1|PN|PF|1|FN|1，当且仅当F，P，N三点共线时等号成立由于点F到直线l的距离为3，所以d1d2的最小值为31.答案：3110过抛物线y22x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|，|AF|BF|，则|AF|_.解析：F点坐标为，设A，B两点的横坐标为x1，x2.因|AF|BF|，故直线AB不垂直于x轴设直线AB为yk，联立直线与抛物线的方程得k2x2(k22)x0，则x1x2，又|AB|x1x21，可解得k224，代入式得12x213x30，即(3x1)(4x3)0.而|AF|0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为2，一直角边的方程是y2x，求抛物线的方程解：因为一直角边的方程是y2x，所以另一直角边的方程是yx.由，解得，或(舍去)，由，解得，或(舍去)，三角形的另两个顶点为和(8p，4p) 2.解得p，故所求抛物线的方程为y2x.12已知抛物线方程x24y，过点P(t，4)作抛物线的两条切线PA、PB，切点分别为A、B.(1)求证：直线AB过定点(0,4)；(2)求OAB(O为坐标原点)面积的最小值解：(1)证明：设切点为A(x1，y1)、B(x2，y2)又yx，则切线PA的方程为yy1x1(xx1)，即yx1xy1，切线PB的方程为yy2x2(xx2)，即yx2xy2，由点P(t，4)是切线PA，PB的交点可知：4x1ty1，4x2ty2，过A、B两点的直线方程为4txy，即txy40.直线AB：txy40过定点(0,4)(2)由得x22tx160.则x1x22t，x1x216.SOAB4|x1x2|2216.当且仅当t0时，OAB的面积取得最小值16.热点预测13已知直线l1：4x3y60和直线l2：x；若拋物线C：y22px(p0)上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C的方程；(2)若以拋物线上任意一点M为切点的直线l与直线l2交于点N，试问在x轴上是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)由定义知l2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标F由抛物线定义知抛物线上点到直线l2的距离等于其到焦点F的距离 所以抛物线上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为焦点F到直线l1的距离所以2，则p2，所以抛物线方程为y24x.(2)设M(x0，y0)，由题意知直线l斜率存在，设为k，且k0，所以直线l方程为yy0k(xx0)，代入y24x消x得：ky24y4y0ky0.由164k(4y0ky)0，得k.所以直线l方程为yy0(xx0)，令x1，又由y4x0得N设Q(x1,0)，则(x0x1，y0)，由题意知0，即(x0x1)(1x1)0，把y4x0代入左式，得：(1x1)x0xx120，因为对任意的x0等式恒成立，所以所以x11即在x轴上存在定点Q(1,0)在以MN为直径的圆上