2022年高三考前一周双练冲刺模拟卷（四）数学试题 Word版含答案

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.若集合，则集合 .2.已知复数满足（其中为虚数单位），则 .3.设甲：，乙：，那么甲是乙的 条件（填写：充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要或者充要）4.下图是一个算法流程图，则输出的的值是 .5.将一颗骰子先后抛掷两次，得到的点数之和是3的倍数的概率是 .6.已知函数，则的值为 .7. .8.正四面体中，分别是它的高与斜高，则9.已知为定义在上的奇函数，当时，则方程的解集是 .10.在周长为10的中，则的最小值是 .11.数列中，则 .12.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，如果直线与椭圆的交点在轴上的射影恰为椭圆的焦点，则椭圆的离心率等于 .13.已知函数，则 .14. ，使得成立，则实数的取值范围为 .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知，记函数.(1)当时，求函数的值域.(2)函数的图象是由的图象怎样变换得来的？16. （本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，点在边上，.(1)求证：平面；(2) 如果点是的中点，求证：平面.17. （本小题满分14分）为了优化城市环境，方便民众出行，我市在某路段开设了一条仅供车身长为10的行驶的专用车道.据数据分析发现，该车道上行驶中前、后两辆公交车间的安全距离与车速之间满足二次函数关系.现已知车速为15时，安全距离为8；车速为45时，安全距离为38；出行堵车状况时，两车安全距离为2.(1)试确定关于的函数关系；(2)车速为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多，最多是多少辆？18. （本小题满分16分）定义直线关于圆的圆心距单位：圆心到直线的距离与圆的半径之比.显然有：当直线与圆相交时，圆心距单位小于1；当直线与圆相切时，圆心距单位等于1；当直线与圆相离时，圆心距单位大于1.(1)设圆，求过点的直线关于圆的圆心距单位的直线方程；(2)若圆与轴相切于点，且直线关于圆的圆心距单位，求此圆的方程；(3)是否存在点,使过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆与的圆心距单位始终相等？若存在，求出相应的点坐标；若不存在，请说明理由.19. （本小题满分16分）设，已知函数有两个零点，且.(1)求的取值范围；(2)证明：随着的增大而增大；(3)证明：.（1）当时，求数列的通项；是否存在这样的正整数，使得成等比数列？若存在，给出满足的条件，否则，请说明理由.（2）当时，设， 判定是否为等比数列；设，若对恒成立，求的取值范围.21. 【选做题】在A、B、C、D四个小题中只能选做2题，如果多做，则按作答的前两题评分，每小题10分，共20分.A选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，为圆的直径，弦的延长线相交于，且交的延长线于.求证：.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，(1)若且，求矩阵.C选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与轴的正半轴重合，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，）.求曲线上的点到直线的距离的最大值.D.选修4-5：不等式选讲已知 ，求的最小值.22. （本小题满分10分）已知甲乙两个盒内均装有大小相同、颜色不同的球若干，甲有1个红球和个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现从甲、乙两个盒内各任取2个球.（1）若取出的4个球均为黑球的概率为，求的值；（2）在(1)的条件下，设为取出的4个球中红球的个数，求得分布列和数学期望.23. （本小题满分10分）数列满足且.（1）用数学归纳法证明：；（2）已知不等式对成立，证明：(其中无理数)2022年高三考前一周双练冲刺模拟卷（四）数学试题 Word版含答案1. 【解析】因为，所以.【考点定位】集合的交集 指数不等式3.必要不充分 【解析】由乙：两式相加得，两式相乘得，所以乙成立能推出甲成立，在甲中取，则不符合乙的要求，所以甲成立不能推出乙成立，因此甲是乙的必要不充分条件.【考点定位】四种命题的相互关系4. 5 【解析】由得，再由题意知.【考点定位】算法流程图的理解5. 【解析】由分步计数原理知基本事件的总数为，通过枚举法可知符合点数之和的有，一共有12种，所以概率为.【考点定位】古典概型6. 【解析】令，所以，令，则，所以.【考点定位】函数解析式的求解导数公式7. 【解析】因为，代入可得原式=.【考点定位】正切和角公式的变形8. 【解析】设正四面体的棱长为,则则.【考点定位】正四面体的性质9. 解析：当时，由，解得，又为定义在上的奇函数，所以，所以的解集是.10.14 【解析】以所在直线为轴，的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设则，所以，又因为，所以.【考点定位】向量的坐标运算 数量积定义 余弦定理 基本不等式11. 【解析】因为，所以，由叠加原理知，所以，因为也符合上式，故.【考点定位】叠加法求数列通项 等比数列求和12 【解析】设椭圆标准方程为，半焦距为，直线与椭圆在第一象限的交点的横坐标为，把代入椭圆标准方程解得，即交点坐标，交点在直线上，即，解得.13.8【解析】，倒叙相加得8.【考点定位】倒序相加法求和14. 【解析】由得，所以，即整理得，所以利用对勾函数的单调性得，所以.【考点定位】一元二次不等式与二次函数及方程的联系 对勾函数的单调性二、解答题15.解：（1），当时，所以的值域为.(2)先将图象上的所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，然后将图像向左平移个单位，再将点的纵坐标变为原来的5倍，横坐标不变，最后将图象整个向上平移个单位.16.证：(1)面面，又，平面.7分(2)因为平面，所以，从而是中点，连接，则.四边形是平行四边形，面，面，平面.14分17.解：(1)设，将点分别代入得.所以.6分(2)设单位时间内通过的汽车数量为，则（辆），当且仅当，即时等号成立.答：当时通过的汽车数量最多，最多为1000辆.14分18.解：(1)因为圆的半径为1，所以圆心距单位等价于圆心到直线的距离等于，易得所求直线的方程为：.4分(2)由题设，可设所求圆的方程为：或，又直线关于圆的圆心距单位，所以圆心到直线的距离为，即有或3，所以，所求圆的方程为或.8分(3)当圆心距单位时，两互相垂直的直线分别过圆心；交换两直线，则有圆心距单位相等可得，设，则有，解得或.12分当时，设直线的方程为：，即，所以直线关于圆的圆心距单位，此时直线的方程为，即，所以直线关于圆的圆心距单位，即满足过的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆，的圆心距单位始终相等.同理可验证也满足条件. 16分19.解：（1）有两个零点，显然，故，记，当时，单调增；当时，单调减.所以当，即时，函数有两个零点.4分(2)取，不妨设，则.设与交于与.设与交于与，因为在区间单调增，在区间单调减，所以，所以.因此，随着的增大而增大.10分(3)构造函数，当时，单调增，所以，即，又因为，所以，且，又时，单调增，所以，从而有.16分20.解：当时，所以.当时，由且，知.2分(1)当时，所以，即.4分当时，所以当且时，数列是以为首项，为公比的等比数列，当时，不是等比数列.12分由知，从而，所以.当时，显然当充分大时，不成立；当时，所以递增，而，所以，所以只需，解得；当时，符合条件；当时，所以递减，成立；综上所述，.16分数学附加题（四）21.A【证明】连结是圆的直径，所以，又，所以四点共圆，2分所以，又因为，所以，6分所以，即.10分21.B解：(1) .4分(2) ，设，则，6分所以由得，故.10分21.C解：曲线的普通方程是.2分直线的普通方程是.4分设点的坐标是，则点到直线的距离是,6分当时，即，取得最大值，最大值为.10分21.D 解析：由柯西不等式，6分.8分当且仅当，即时取等号.10分22.解：(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件，由于事件相互独立，且.故取出的4个球均为黑球的概率为，得.4分(2) 可能的取值为0,1,2,3.由（），（）得.从而.的分布列为01238分的数学期望.10分23.证明：(1)当时，不等式成立.假设当时不等式成立，即，那么.这就是说，当时不等式成立.根据，可知：对所有成立.(2)当时，由递推公式及（1）的结论有，两边取对数并利用已知不等式得，故，求和可得.由(1)知，故有，而均小于，故对任意正整数，有.