2021版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第5讲 指数与指数函数教学案 理 北师大版

第5讲指数与指数函数一、知识梳理1根式(1)根式的概念若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数a的n次方根的表示：xna(2)根式的性质()na(nN.，且n1)；2有理数指数幂(1)幂的有关概念正分数指数幂：a(a0，m，nN.，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN.，且n1)；0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质arasars(a0，r，sQ)；(ar)sars(a0，r，sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，rQ)3指数函数的图象与性质yax (a0且a1)a10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1在R上是增函数在R上是减函数常用结论1指数函数图象的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图象越高，底数越大3指数函数yax(a0，且a1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究二、教材衍化1化简(x0，y0)_解析：因为x0，y0且a1)的图象恒过定点A，则A的坐标为_解析：令x20，则x2，f(2)3，即A的坐标为(2，3)答案：(2，3)一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函数yax是R上的增函数()(4)函数yax21(a1)的值域是(0，)()(5)函数y2x1是指数函数()(6)若am0，且a1)，则m1时，a2；当0a0且21.答案：(0，1)(1，)指数幂的化简与求值(自主练透)1化简(a0，b0)_解析：原式2213101.答案：2计算：0.00210(2)10_解析：原式50011010201.答案：3化简：_(a0)解析：原式a(a2b)a2.答案：a2指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答提醒运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一 指数函数的图象及应用(典例迁移) (1)函数f(x)21x的大致图象为()(2)若函数y|3x1|在(，k上递减，则k的取值范围为_【解析】(1)函数f(x)21x2，递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求(2)函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示由图象知，其在(，0上递减，所以k的取值范围为(，0【答案】(1)A(2)(，0【迁移探究1】(变条件)本例(2)变为：若函数f(x)|3x1|k有一个零点，则k的取值范围为_解析：函数f(x)有一个零点，即y|3x1|与yk有一个交点由本例(2)得y|3x1|的图象如图所示，故当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点答案：01，)【迁移探究2】(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y|3x1|m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是_解析：作出函数y|3x1|m的图象如图所示由图象知m1，即m(，1答案：(，1应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解 1.函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0 D0a1，b0解析：选D.由f(x)axb的图象可以观察出函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.函数f(x)axb的图象是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.2若关于x的方程|ax1|2a(a0，且a1)有两个不等实根，则a的取值范围是_解析：方程|ax1|2a(a0，且a1)有两个不等实根转化为函数y|ax1|与y2a有两个交点(1)当0a1时，如图，所以02a1，即0a；(2)当a1时，如图，而y2a1不符合要求所以0a.答案：指数函数的性质及应用(多维探究)角度一指数函数单调性的应用 (1)已知a2，b4，c25，则()Abac BabcCbca Dcab(2)若f(x)exaex为奇函数，则满足f(x1)e2的x的取值范围是()A(2，) B(1，)C(2，) D(3，)【解析】(1)因为a2，b42，由函数y2x在R上为增函数知，ba；又因为a24，c255由函数yx在(0，)上为增函数知，ac.综上得ba0的解集为_解析：因为f(x)为偶函数，当x0，则f(x)f(x)2x4.所以f(x)当f(x2)0时，有或解得x4或x4或x4或x0且a1)(1)求f(x)的定义域和值域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性解：(1)f(x)的定义域是R，令y，得ax，因为1在定义域内恒成立，所以y1.因为ax0，所以0，解得1y1，所以f(x)的值域为(1，1)(2)因为f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(3)f(x)1.设x1，x2是R上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).因为x11时，a x2ax10，从而ax110，a x210，ax1a x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)为R上的增函数；当0aa x20，从而ax110，a x210，ax1a x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)为R上的减函数 基础题组练1函数f(x)1e|x|的图象大致是()解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有A满足上述两个性质2(2019高考全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()AabcBacbCcab Dbca解析：选B.因为alog20.21，c0.20.3(0，1)，所以ac0时，f(x)12x，f(x)2x1，此时x0，则f(x)2x1f(x)；当x0，则f(x)12(x)12xf(x)即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.5设x0，且1bxax，则()A0ba1 B0ab1C1ba D1ab解析：选C.因为1bx，所以b00，所以b1，因为bx1，因为x0，所以1，所以ab，所以1b0，且a1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是_解析：因为函数yaxb的图象经过第二、三、四象限，所以函数yaxb递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上令x0，则ya0b1b，由题意得解得故ab(0，1)答案：(0，1)7不等式恒成立，则a的取值范围是_解析：由题意，y是减函数，因为2xa2恒成立，所以x2(a2)xa20恒成立，所以(a2)24(a2)0，即(a2)(a24)0，即(a2)(a2)0，故有2a0，等价于方程2am2m10在(0，)上有解，记g(m)2am2m1，当a0时，解为m10，不成立当a0时，开口向下，对称轴m0时，开口向上，对称轴m0，过点(0，1)，必有一个根为正，综上得a0.综合题组练1已知0ba1，则在ab，ba，aa，bb中最大的是()Aba BaaCab Dbb解析：选C.因为0baaa，babb，所以在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故选C.2已知函数f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0Ba0C2a2cD2a2c2解析：选D.作出函数f(x)|2x1|的图象，如图，因为abf(c)f(b)，结合图象知，0f(a)1，a0，所以02a1.所以f(a)|2a1|12a1，所以f(c)1，所以0c1.所以12cf(c)，所以12a2c1，所以2a2c0，且a1，函数ya2x2ax1在1，1上的最大值是14，则实数a的值为_解析：令tax(a0，且a1)，则原函数化为yf(t)(t1)22(t0)当0a1时，x1，1，tax，此时f(t)在上是增函数所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3或a5(舍去)综上得a或3.答案：或35已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，即0，解得b1，所以f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.(2)由(1)知f(x)，由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)f(2t2k)0等价于f(t22t)2t2k.即对一切tR有3t22tk0，从而412k0，解得k.故k的取值范围为.17