2022年高考数学二轮专题突破 专题二 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形 理

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2022年高考数学二轮专题突破 专题二 三角函数、解三角形与平面向量 第2讲 三角变换与解三角形 理1(xx浙江)已知R,sin 2cos ,则tan 2等于()A. B.C D2(xx重庆)若tan ,tan(),则tan 等于()A. B.C. D3(xx福建)在ABC中,A60,AC4,BC2,则ABC的面积等于_4(xx江苏)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C,则cos C的最小值是_正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:1.边和角的计算;2.三角形形状的判断;3.面积的计算;4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强,与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点,不可轻视.热点一三角恒等变换1三角求值“三大类型”“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”2三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换:特别是“1”的代换,1sin2cos2tan 45等;(2)项的分拆与角的配凑:如sin22cos2(sin2cos2)cos2,()等;(3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次;(4)弦、切互化:一般是切化弦例1(1)已知sin()sin ,0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)在ABC中,sin B,sin A,sin C成等比数列,求此时f (A)的值域提醒:完成作业专题二第2讲二轮专题强化练专题二 第2讲三角变换与解三角形A组专题通关1已知(,),sin(),则cos 等于()A B.C或 D2已知函数f(x)4sin(),f(3),f(3),其中,0,则cos()的值为()A. B. C. D.3设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos Cccos Basin A,则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定4(xx广东)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2,c2,cos A且bc,则b等于()A3 B2 C2 D.5已知ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且tan B,则tan B等于()A. B.1 C2 D26(xx兰州第一中学期中)已知tan 4,则的值为_7(xx天津)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ABC的面积为3,bc2,cos A,则a的值为_8.如图,在一个塔底的水平面上的点A处测得该塔顶P的仰角为,由点A向塔底D沿直线行走了30 m到达点B,测得塔顶P的仰角为2,再向塔底D前进10 m到达点C,又测得塔顶的仰角为4,则塔PD的高度为_m.9(xx浙江)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan2.(1)求的值;(2)若B,a3,求ABC的面积10已知f(x)2sin(x),现将f(x)的图象向左平移个单位长度,再向上平移个单位长度,得到函数g(x)的图象(1)求f()g()的值;(2)若a,b,c分别是ABC三个内角A,B,C的对边,ac4,且当xB时,g(x)取得最大值,求b的取值范围B组能力提高11(xx温州模拟)若(0,),则的最大值为_12(xx湖北)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD_m.13在ABC中,向量,的夹角为120,2,且AD2,ADC120,则ABC的面积等于_14(xx四川)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角(1)证明:tan ;(2)若AC180,AB6,BC3,CD4,AD5,求tan tan tan tan 的值学生用书答案精析第2讲三角变换与解三角形高考真题体验1Csin 2cos ,sin24sin cos 4cos2.用降幂公式化简得:4sin 23cos 2,tan 2.故选C.2Atan tan().32解析如图所示,在ABC中,由正弦定理得,解得sin B1,所以B90,所以SABCAB222.4.解析由sin Asin B2sin C,结合正弦定理得ab2c.由余弦定理得cos C,故cos C1,且3a22b2时取“”故cos C的最小值为.热点分类突破例1(1)C(2)B解析(1)sin()sin ,0,sin cos ,sin cos ,cos()cos cossin sincos sin .(2)由tan 得,即sin cos cos cos sin ,sin()cos sin()(0,),(0,),(,),(0,),由sin()sin(),得,2.跟踪演练1(1)C(2)D解析(1)3.(2)4,故选D.例2解(1)SABDABADsinBAD,SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC,BADCAD,所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC,所以BD.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB,AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26,由(1)知AB2AC,所以AC1.跟踪演练2(1)(,)(2)C解析(1)如图所示,延长BA与CD相交于点E,过点C作CFAD交AB于点F,则BFABBE.在等腰三角形CBF中,FCB30,CFBC2,BF.在等腰三角形ECB中,CEB30,ECB75,BECE,BC2,BE.AB.(2)c2(ab)26,c2a2b22ab6.C,c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab6.SABCabsin C6.例3解(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k,kZ,可得kxk,kZ;由2k2x2k,kZ,可得kxk,kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ);单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0,得sin A,由题意知A为锐角,所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A,可得1bcb2c22bc,即bc2,且当bc时等号成立因此bcsin A.所以ABC面积的最大值为.跟踪演练3解(1)f(x)2cos(cossin)2cos22sincoscos xsin x2sin(x),由f(A)1,可得2sin(A)1,所以sin(A).又A(0,),所以A(,),所以A,即A.由a2c2b2mbc及余弦定理,可得cos A,所以m.(2)由(1)知cos A,则sin A,又cos A,所以b2c2a2bc2bca2,即bc(2)a22,当且仅当bc时等号成立,所以SABCbcsin A,即ABC面积的最大值为.高考押题精练1D因为在ABC中,BC1,B,ABC的面积S,所以SABCBCBAsin B,即1BA,解得BA4.又由余弦定理,得AC2BC2BA22BCBAcos B,即得AC,由正弦定理,得,解得sin C.2解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin(2x),因为函数f(x)的周期为T,所以.(2)由(1)知f(x)sin(3x),易得f(A)sin(3A).因为sin B,sin A,sin C成等比数列,所以sin2Asin Bsin C,所以a2bc,所以cos A(当且仅当bc时取等号),因为0A,所以0A,所以3A,所以sin(3A)1,所以1sin(3A),所以函数f(A)的值域为(1,二轮专题强化练答案精析第2讲三角变换与解三角形1A(,),(,),sin(),cos(),cos cos()cos()cossin()sin.2D由f(3),得4sin(3),即4sin(),所以cos ,又0,所以sin .由f(3),得4sin(3),即sin(),所以sin .又0,所以cos .所以cos()cos cos sin sin .3B由bcos Cccos Basin A,得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A,即sin(BC)sin2A,所以sin A1,由0A,得A,所以ABC为直角三角形4C由余弦定理a2b2c22bccos A,得4b2122b2,即b26b80,b4或b2,又bc,b2.5D由题意得,|cos Baccos B,即cos B,由余弦定理,得cos Ba2c2b21,所以tan B2,故选D.6.解析.78解析cos A,0A,sin A,SABCbcsin Abc3,bc24,又bc2,b22bcc24,b2c252,由余弦定理得,a2b2c22bccos A5222464,a8.815解析依题意有PDAD,BA30 m,BC10 m,PAD,PBD2,PCD4,所以APBPBDPADPAD.所以PBBA30 m.同理可得PCBC10 m.在BPC中,由余弦定理,得cos 2,所以230,460.在PCD中,PDPCsin 41015(m)9解(1)由tan2,得tan A.所以.(2)由tan A,A(0,),得sin A,cos A.又由a3,B及正弦定理,得b3.由sin Csin(AB)sin得sin C,设ABC的面积为S,则Sabsin C9.10解(1)因为g(x)2sin(x)2sin(x),所以f()g()2sin()2sin1.(2)因为g(x)2sin(x),所以当x2k(kZ),即x2k(kZ)时,g(x)取得最大值因为xB时g(x)取得最大值,又B(0,),所以B.而b2a2c22accosa2c2ac(ac)23ac163ac163()216124,所以b2.又b0,故的最大值为.12100解析在ABC中,AB600,BAC30,ACB753045,由正弦定理得,即,所以BC300.在RtBCD中,CBD30,CDBCtanCBD300tan 30100.132解析在ABC中,因为ADC120,所以ADB60,因为向量,的夹角为120,所以B60,所以ADB为等边三角形因为AD2,所以ABBD2.因为2,所以点D为BC的中点,所以BC4,所以ABC的面积SABCBABCsin B24sin 602.14(1)证明tan .(2)解由AC180,得C180A,D180B,由(1),有tan tan tan tan .连接BD,在ABD中,有BD2AB2AD22ABADcos A,在BCD中,有BD2BC2CD22BCCDcos C,所以AB2AD22ABADcos ABC2CD22BCCDcos A,则cos A ,于是sin A .连接AC,同理可得cos B,于是sin B .所以tan tan tan tan .
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