大学物理学习资料：li1

1 一质点沿一抛物线一质点沿一抛物线y=x2 运动运动, ,在任意时刻在任意时刻vx=3.0=3.0米米/ /秒秒, ,试试求在求在x=2/32/3米处这一质点的速度和加速度米处这一质点的速度和加速度smvx/0 . 3已知smvxy/0.4326)(3/2解解:xxvdtdyvxy62 又xyyxvdtxddtdvaa6)6( 0jxiv63smjivx/433/2）（）（jviax6023/23/2/18)(60smjjviaxxx）（2 一物体沿一物体沿X X轴运动轴运动, ,其加速度可以表示为其加速度可以表示为解解: : 因为因为vdxdvdtdxdxdvxdtdva24或或vvxxvdvdxx00)24(又又 10,000vx代入可得代入可得:1004422xxv24xax米米/ /秒秒10, 000vx2, 式中式中x x的单位为米。已知的单位为米。已知 米米/ /秒秒，试求在任意位置处的速度。试求在任意位置处的速度。vdvdxx)24(即3 一物体做直线运动，初速度为零，初始加速度为一物体做直线运动，初速度为零，初始加速度为 a0，出发后每经过时间间隔，出发后每经过时间间隔 秒，加速度均匀增加秒，加速度均匀增加 a0 ，求经过，求经过 t 秒后物体的速度和距出发点的距离。秒后物体的速度和距出发点的距离。解：由题意可得出物体运动加速度的表达式解：由题意可得出物体运动加速度的表达式taaa00于是于是 t 秒后物体运动的速度为：秒后物体运动的速度为：200021tataadtvtt秒后距出发点的距离：秒后距出发点的距离：302006121tatavdtxt4解：以解：以B B0 0为原点，向上为为原点，向上为x x，由几何关系，由几何关系 2022)()(tvhHl2258tl.hHH-hAl lC0v0Bx 如图所示，跨过滑轮如图所示，跨过滑轮C C的绳子，一端挂有重物的绳子，一端挂有重物B B， 另一端另一端A A被人拉着沿水平方向匀速运动，被人拉着沿水平方向匀速运动，其速率其速率 0 0=1.0=1.0米米/ /秒，秒，A A点离地面点离地面的距离保持着的距离保持着h h =1.5=1.5米。运动米。运动开始时，重物在地面上的开始时，重物在地面上的B B0 0处，处，绳两侧都呈竖直伸长状态，且绳两侧都呈竖直伸长状态，且滑轮离地面滑轮离地面H=10H=10米，滑轮半径米，滑轮半径不计，求不计，求(1)(1)重物上升的运动方程；重物上升的运动方程；(2)(2)到达滑轮前的任意到达滑轮前的任意t t时刻的速度时刻的速度和加速度以及到达滑轮处所需要的时间和加速度以及到达滑轮处所需要的时间。5)hH(lx 585822.t. （1）（2）2258ttdtdxv.232222258581).(.tttdtdva10585822.tH)(.st416负值舍去负值舍去CA的初始位置在铅直方向。的初始位置在铅直方向。61-14 如图所示，绕过小滑轮如图所示，绕过小滑轮A A和和B B的绳两端各挂重物的绳两端各挂重物m m1 1和和m m2 2，绳上的绳上的C C点起始位置与点起始位置与D D点重合点重合，若将此点以，若将此点以匀速率匀速率v v0 0沿垂线沿垂线DCDC向下拉，向下拉， l l，求求t t时刻时刻两重物的速率。两重物的速率。BDADADBCm1m20v解：当解：当t t时刻，时刻，c c点下降了点下降了v v0 0t t 22020220220lttdtdxll)t(lBCxl)t(BC vvvvvBDC0v71-13 在距河岸在距河岸5.0千米处有一灯塔千米处有一灯塔,它发出的光束每分它发出的光束每分钟转动一周。求当光束扫至与岸边成钟转动一周。求当光束扫至与岸边成600角时，光束角时，光束沿岸边滑动（光点运动）的速度和加速度。沿岸边滑动（光点运动）的速度和加速度。解法一：由图可得解法一：由图可得)(.|cossin)(cos/,cos/sectantan2603210230022484269830602105660230600 smtthxasmvttththdtdxvthhx 当当rXhx t8解法二：用极坐标解法二：用极坐标vvrtthaaatrratrattgrtrrtrrrrrrrathvhtrtrvvtvrrrrrrvrvvrrr :cossintan,tan,tan ,tan)()(cos/ ,cos ,cos/cos注注意意而而即即2222202222220022000000222202 rvrvvo t9X轴沿水平方向，轴沿水平方向，Y轴沿竖直方向，求：轴沿竖直方向，求：（1）球上升的最大高度；）球上升的最大高度；（2）球所走过的总的水平距离；）球所走过的总的水平距离；（3）球在落地时的速度。）球在落地时的速度。)/(1 . 66 . 7smjiv1-15 从地面向高空抛出一球，观察它在从地面向高空抛出一球，观察它在9.19.1米处的速度米处的速度（1）已知物体在竖直方向做匀加速运动，最大高度）已知物体在竖直方向做匀加速运动，最大高度时时 于是于是而而所上升的最大高度所上升的最大高度解：球在解：球在y=9.1米高处的速度：米高处的速度：0ymvygvy 2020 smvy/.160 mgvyy9122. mmmyyH119119 .max jiv1 . 66 . 7 10（2）物体在抛出点时的速度：）物体在抛出点时的速度：jvivvoyoxo则从物体抛出到上升到最大高度，有：则从物体抛出到上升到最大高度，有：max222gHvvymoy得出：得出：smgHvvymoy/68.142max2上升到最大高度所用的时间：上升到最大高度所用的时间：gvtoy球所走过的总的水平距离：球所走过的总的水平距离：mgvvtvxoyoxoxm8 .22/22（3）由斜抛运动的对称性可知，球落地时的水平速度）由斜抛运动的对称性可知，球落地时的水平速度保持不变，竖直方向的速度与抛出时球的竖直速度大保持不变，竖直方向的速度与抛出时球的竖直速度大小相等方向相反，故可知球落地时的速度：小相等方向相反，故可知球落地时的速度：jive1.66.7111-19 物体的坐标为物体的坐标为x=t2, y=(t-1)2，式中，式中x和和y的单位为米，的单位为米，t的的单位为秒。单位为秒。(1)何时物体速度有极小值？何时物体速度有极小值？(2)计算计算t=1秒时的秒时的切向和法向加速度切向和法向加速度解解(1)0 2 txttx 1)-()1(22xyty (2)1(2 ,2 tytx)488(222 ttyxv速度有极植时，sttttdtdv5.0 0)488(2)816(2 2/22 2 ,2smyxayx (3)212/2|)488(2)816(smtttdtdvat 222/2 smaaan 121-20 一质点沿一圆周按下述规律运动：一质点沿一圆周按下述规律运动：s=t3+2t2，式中，式中s是沿是沿圆周测得的路程，以米为单位，圆周测得的路程，以米为单位，t 以秒为单位，如果当以秒为单位，如果当t=2秒时质点的加速度为秒时质点的加速度为 米米/秒秒2，求圆的半径。，求圆的半径。216ttdtdsvtts43 2 223 解：46 tdtdva RttRvan222)43( 22/16| smat Ratn22)812(| 222/216 smaaaan ，又 2562256400| 2 RatnmR2516400 131 1-21 一质点沿半径为一质点沿半径为R R的圆按规律的圆按规律s=vs=v0 0t-btt-bt2 2/2/2运动运动, , v v0 0 和和b b都是取正值的量，求（都是取正值的量，求（1 1）t t时刻质点的加速时刻质点的加速度；（度；（2 2）t t为何值时，加速度的值等于为何值时，加速度的值等于b b？（？（3 3）加）加速度为速度为b b 时，质点已沿圆周行进了多少圈？时，质点已沿圆周行进了多少圈？解：解：:2021bttvsbdtdvabtvdtdsv ,0（1）22021)(btvRRvan nbtvRba201)( （2）bRbtvbaaan 2124022122)()( bvt0 14bvbttvsbvt02021210 |（3）RbvRsN 4220 1-22 质点在一平面内运动，其径向速度质点在一平面内运动，其径向速度 米米/秒秒 角速度角速度 弧度弧度/秒，试求质点距离原点秒，试求质点距离原点3米时的速米时的速 度及加速度。度及加速度。 14r 解：解：110014ssmvvrvvrr,00334rvr|004 ., rr0022)()(.rrrrra00003831423rrar|151-25 列车在圆形轨道上自东转向北行驶，在所讨论的列车在圆形轨道上自东转向北行驶，在所讨论的时间内，其运动方程为时间内，其运动方程为 （长度单位为米（长度单位为米,时间单位为秒），时间单位为秒），t=0 时刻列车在时刻列车在O点，如图所示点，如图所示,轨轨道半径道半径R=1500米，求列车时过米，求列车时过O点以后前进至点以后前进至1200米米处的处的v和和 。280ttlaO东东北北解：解：1200802tts或或 t=60（s） t=20（s）0280tdtdsv而而时时t=40（s）16)(|smvvts4020280201200又又adtdv21516|202tnRvana15162这说明这说明t=60t=60（s s）是返回至）是返回至12001200米的时间，舍去米的时间，舍去1-29 在平静的湖面上甲乙两船各以恒速在平静的湖面上甲乙两船各以恒速v1v1和和v2v2行驶，行驶，判断两船是否相撞的最简单方法是什么？判断两船是否相撞的最简单方法是什么？答：以甲（或乙）船为参照系，乙对甲（或甲对乙）答：以甲（或乙）船为参照系，乙对甲（或甲对乙）的速度指向甲（或乙），二船必碰的速度指向甲（或乙），二船必碰171-27 一人在静水中划船的速率为一人在静水中划船的速率为u，现在他在水流，现在他在水流速率为速率为v的小河中将船从一岸划向另一岸，如果他的小河中将船从一岸划向另一岸，如果他希望用最短时间到达对岸，应向什么方向划行？如希望用最短时间到达对岸，应向什么方向划行？如果他希望用最短路径到达对岸，应向什么方向划行？果他希望用最短路径到达对岸，应向什么方向划行？vVu解：解：vuV一般航行如图一般航行如图cosuVy到达对岸到达对岸tutVyycos最短时间即最短时间即 最小最小0垂直渡河垂直渡河若最短路径若最短路径 与岸接近垂直即与岸接近垂直即Vvusinvu1sin18解解:1-31 小船渡河，从小船渡河，从A点出发，如果保持与岸垂直的方点出发，如果保持与岸垂直的方向划行，向划行，10分钟以后到达对岸的分钟以后到达对岸的C点，点，C点与正对着点与正对着A点位置的点位置的B点之间的距离是点之间的距离是BC=120米。如果要使小船米。如果要使小船正好到达正好到达B点，则小船必须向着点，则小船必须向着D点方向划行，如题图点方向划行，如题图所示，这时需要所示，这时需要12.5分钟才能到达对岸。分钟才能到达对岸。试求小船划试求小船划行的速率行的速率u，河面宽度，河面宽度L，水流速度，水流速度v以及航角以及航角 ？ tvuACvuV)( stLutmBCvt600 ,120111BCLAuVvstLtuVu7505 .12cossin22分 vuVBDALBACDv19联立解得联立解得：mL2009 .36cos211tt smv/2 .0流速smu/31 LBACDvBCLAuVvstLtuvu7505 .12 cossin22分又已知 stLutmBCvt600 ,120111vuVBDA201-32 测得一质点测得一质点Q Q在坐标系在坐标系O O中的位置为中的位置为: : 米，米， 1)1)如果在坐标系如果在坐标系O O内测得内测得Q Q的位置为：的位置为： 米，米， 试确定试确定O O系相对于系相对于O O系的速度；系的速度；2)2)证明在这两个坐标系中，质点的加速度相同。证明在这两个坐标系中，质点的加速度相同。解解:1:1）) 3()3()46(22ktjttir) 3()3()46(22ktjttir) 3()3()36(22ktjttir, yy 即即) 3()3()36(22ktjttir, zz ,462ttx,362ttx而而vtxx,463622vttttt21或或2）证明：）证明： 在这两个坐标系中，质点的加速度相同。在这两个坐标系中，质点的加速度相同。jv7,)6()412(jtitdtrdu,)6()312(jtitdtrdujuuv7idtrda1222idtrda1222221-41 静止的自由粒子静止的自由粒子中子的平均寿命为中子的平均寿命为1515分钟，它分钟，它自发的蜕变为电子，质子和中微子，试问一个中子必自发的蜕变为电子，质子和中微子，试问一个中子必须以多大的平均最小速度离开太阳，才能在蜕变之前须以多大的平均最小速度离开太阳，才能在蜕变之前到达地球。到达地球。解解: 中子为中子为S系，地球是系，地球是S系。系。太阳与地球间的平均距离太阳与地球间的平均距离st900 ,221cvtt cv500 . tvr mr11104951 . rcvtvtv 221 crtcrv 2222 231-43 设设K K系以恒定速率相对系以恒定速率相对K K系沿系沿XXXX轴运动，在轴运动，在K K系中系中观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔4.04.0秒秒，从，从K K系中观测到这两个事件的时间间隔系中观测到这两个事件的时间间隔6.06.0秒，秒，试求试求从从K K系测量到这两个事件的空间间隔是多少？系测量到这两个事件的空间间隔是多少？解：同一地点不同时刻解：同一地点不同时刻 stst0604.,.221cvtt 222229549cvvcc ;即即而在而在K K系中系中22111cvvtxx )(22221cvvtxx )(mcxx9121034152 .不是同一点不是同一点241-44 一火箭以一火箭以0.8c的相对速度经过地球朝月球飞去，的相对速度经过地球朝月球飞去，（1）按地球上的观察者来看，从地球到月球的旅程）按地球上的观察者来看，从地球到月球的旅程需多长时间？（需多长时间？（2）按火箭上的乘客来看，地）按火箭上的乘客来看，地-月距月距离多大？（离多大？（3）按火箭上乘客来看，这旅程需多长时）按火箭上乘客来看，这旅程需多长时间？间？解：对于地球上的观察者来看：解：对于地球上的观察者来看： l地地-月月=3.84108m，,. cv80 st61103801084388. )(.mllcvl8221032601 )(.svlt9601080103288 对于火箭上的观察者来看对于火箭上的观察者来看,长度缩短：长度缩短：252-10 如图所示装置，所有的表面都是光滑的，滑轮的轴如图所示装置，所有的表面都是光滑的，滑轮的轴处无摩擦，滑轮和绳的质量可忽略不计，且处无摩擦，滑轮和绳的质量可忽略不计，且m1=m2=m3=m，问水平拉力问水平拉力F多大时才可以维持不升不降？多大时才可以维持不升不降？m1Fm2m3解：解：T2T1m3g33Tgm 根根据据题题意意 22212Tamaa 又又根根据据题题意意 23TT 根根据据题题意意 2321gmmaaa 3)( 321mgammmF 水水平平拉拉力力根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律262-12 把一个质量把一个质量m=20千克的物体放在与水平面成千克的物体放在与水平面成300角的斜面角的斜面上，物体和斜面间的摩擦系数上，物体和斜面间的摩擦系数 =0.20，现用一个与斜面成，现用一个与斜面成300角的角的200牛顿的力沿斜面向上拉物体，如图所示，试求牛顿的力沿斜面向上拉物体，如图所示，试求:(1)物体和斜面之间的正压力有多大物体和斜面之间的正压力有多大? ( 2)物体的加速度有多大物体的加速度有多大? 的的受受力力图图如如图图所所示示m解：解：Ff300mgNxyamfgmNF 030cos30sin00 mgNFmafmgF 0030sin30cosNf 牛牛顿顿7 .6930sin30cos00 FmgN2/06. 320/20. 07 .695 . 08 . 9866. 020200sma Fm300300272-13 有一根绳当张力超过有一根绳当张力超过100牛顿时就会拉断牛顿时就会拉断（1）如果要用此绳在地板上拉动一只箱子，试问当）如果要用此绳在地板上拉动一只箱子，试问当摩擦系数为摩擦系数为0.35时，它能拉动物体的最大质量是多时，它能拉动物体的最大质量是多少？少？（2）如果要用此绳提升箱子，箱子的加速度为）如果要用此绳提升箱子，箱子的加速度为1.0米米/秒秒2，试问所提升箱子的最大质量是多少？，试问所提升箱子的最大质量是多少？解：（解：（1）在木板上拉箱子，设）在木板上拉箱子，设 与水平呈与水平呈 角，受角，受力如图力如图FFgmNf0fgmNF28NffFmgNF0cos0sin联立解得：联立解得：)29.19()cossin(tgmgF时最省力时最省力)(8.308)cossin(kggFFm（2）若用此绳提升箱子，则有）若用此绳提升箱子，则有)(6 .92)(kgagFmmamgF292-17 如题图所示，用力如题图所示，用力F F使木箱上升，若绳端的下降使木箱上升，若绳端的下降速度不变，木箱质量为速度不变，木箱质量为m m，定滑轮和绳的固定端在同，定滑轮和绳的固定端在同一高度上，且相距为一高度上，且相距为l l，动滑轮、定滑轮和绳的质量，动滑轮、定滑轮和绳的质量以及绳的伸长量都忽略不及，以及绳的伸长量都忽略不及，(1)(1)以以x x为变量表示为变量表示m m的的速率速率v v； (2)(2)求求F(x)F(x)。 lxmFV030解解: (1) : (1) 因为因为m m的位矢的位矢x x满足满足: :oOl/2lxvm,4222llx求导求导: :而而: :2,0vdtdlvdtdxxlxvxlvv212200)4(22负号负号(-)(-)表示向上表示向上(2)(2)绳中张力处处近似相等绳中张力处处近似相等, ,如图如图: :dtdlldtdxx22FFmg 31,cos2mamgFxlvvxldtddtdva3220016)2(xlxxlvmmgF2)4()16(21223220得：得：322-20 摩托快艇以速率摩托快艇以速率v0行驶，它受到的摩擦阻力（行驶，它受到的摩擦阻力（粘粘滞力滞力）与速度的平方成反比，可表）与速度的平方成反比，可表 示为示为 设摩托快艇的质量为设摩托快艇的质量为m，求当摩托快艇发动机关闭以求当摩托快艇发动机关闭以后，（后，（1）速度）速度v随时间的变化规律；（随时间的变化规律；（2）路径）路径x随时随时间的变化规律；（间的变化规律；（3）证明速度）证明速度v与路程与路程x之间的关系之间的关系为为 xmevv 02vf解：（解：（1）快艇发机关闭后，只受摩擦阻力作用，速）快艇发机关闭后，只受摩擦阻力作用，速度从度从v0逐渐减小，应有：逐渐减小，应有：dtdvmvf2dtmvdv2 推出：推出：两边分别积分：两边分别积分：dtmvdvvvt 002 33得到：得到：)/()(mtvvvvvmt 000111 （）单位时间（）单位时间dt内快艇走过的距离内快艇走过的距离dx为为dtmtvvvdtdx)( 001 两边分别积分：两边分别积分：)ln(mtvmvdtdxxtx 0001 （）（）mtvvv 001 由由mtvvv 001 )ln(vvmx0 xmevv 0于是于是34Rv2-21 在光滑水平桌面上平放着一个固定的圆环，半在光滑水平桌面上平放着一个固定的圆环，半径为径为R，一物体沿环的内侧运动，摩擦，一物体沿环的内侧运动，摩擦系数为系数为。已知。已知t=0时，物体的速率为时，物体的速率为 ，求在，求在t时刻物体的速率和在时刻物体的速率和在t时间时间内物体所经过的路程。内物体所经过的路程。0v解：解：NF ，RvmN2dtRvdvdtdvmRvm 22积分，积分，tRvv011RRvv(0) tv0)ln(tRvRvdtsvstds01352-22 在半径为在半径为R的光滑球面的顶点处，有一质点从静的光滑球面的顶点处，有一质点从静止开始滑落，试问此质点滑到顶点以下的多远一点时止开始滑落，试问此质点滑到顶点以下的多远一点时，质点开始离开球面（用牛顿运动定律求解？，质点开始离开球面（用牛顿运动定律求解？解：质点解：质点m受力如图，受力如图，法向：法向：切向：切向：o gmNmamNgmRvmNmg2cosdtdvmmgsin刚离开弧面时，刚离开弧面时，v =0，有，有)(coscos122RgvRvmmg3632cos 221)cos-(1 21(-cos 22)()sin,sinvRgv RgvdvdRgRvddvmdtdddvmdtdvmmg0积分得：积分得：或：或：(1)(2)联立得：联立得：372-25 一条均匀的，伸长量忽略不计的绳子，质量为一条均匀的，伸长量忽略不计的绳子，质量为m m，长度为长度为L ,L ,一端栓在转动轴上，并以匀角速率一端栓在转动轴上，并以匀角速率 在一光在一光滑水平面内旋转，问转动轴为滑水平面内旋转，问转动轴为r处的绳子中张力是多少处的绳子中张力是多少？解解:整条绳在光滑水平面内作圆周运动，绳上的每一整条绳在光滑水平面内作圆周运动，绳上的每一小段（质元）都作圆周运动，如图。小段（质元）都作圆周运动，如图。.rodTTT+dTrdrlmdTTdmdTTT22)()(积分得：积分得：)(2122202rlmlTrdrlmdTTrl382-31. 一条质量为一条质量为m,长为长为l的细绳的细绳,拉直后平放在光滑的拉直后平放在光滑的桌面上桌面上,让其一端略沿桌面垂下让其一端略沿桌面垂下,则细绳会顺其滑下则细绳会顺其滑下,求求细绳在滑下过程中的速率细绳在滑下过程中的速率v与垂下部分绳长的关系与垂下部分绳长的关系. l-xx零势能面零势能面解：解： 取桌面所在的平面为零势能面取桌面所在的平面为零势能面, 单位长度绳的单位长度绳的质量为质量为m/l,当绳的下垂部分长为当绳的下垂部分长为x时时,其质量为其质量为xm/l,于于是由机械能守恒是由机械能守恒,可得可得:)(021221xgxmvlmxvlg于是于是:39习题习题3.10一链条总长为一链条总长为 l，质量为质量为 m。放在桌面上并使放在桌面上并使其下垂，下垂的长度为其下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系设链条与桌面的滑动摩擦系数为数为 ，令链条从静止开始运动，则：，令链条从静止开始运动，则：(1) 到链条离开到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？(2)链条离链条离开桌面时的速率是多少？开桌面时的速率是多少？原书原书2-31al-a xO解：解：(1)建坐标系如图建坐标系如图 lalafdxxllmgrdfW)( 注意：摩擦力注意：摩擦力作负功！作负功！lxlmgf/)( lafxlxlmgW|)( 221 22)(allmg 40(2)对链条应用动能定理：对链条应用动能定理： 2022121vvmmWWWfP21222)()(valallg 得得20210vvmWWfP lalmgxdxlmgrdPWlalaP222)( lalmgWf22)( 前已得出：前已得出：22222122v)()(mlalmglalmg 412-34 一个质量为一个质量为5.0千克的环千克的环m，在一固定的光滑的，在一固定的光滑的金属环金属环ABC上滑动，上滑动，ABC是半径为是半径为1.2米的一个半圆米的一个半圆的弧，作用在这小环的弧，作用在这小环m上的两个分力上的两个分力F和和F的大小分的大小分别为别为40牛顿和牛顿和150牛顿，力牛顿，力F始终保持与圆相切，力始终保持与圆相切，力F的作用方向恒定，始终与直径的作用方向恒定，始终与直径AOC构成构成30度角，度角，当这物体从当这物体从A运动到运动到B和从和从A运动到运动到C时，如图所示，时，如图所示，试计算作用在这物体上的这两个分力分别所做的总试计算作用在这物体上的这两个分力分别所做的总功。功。FFr2r2), (rFAB解：对于力解：对于力FlFdlrdFWF)(.JrFWF47521在在A到到B的过程中，的过程中，F42)(151JrFWF), cos(rFrFrFrdFWF)(9 .65)4530cos(2JrFWooF)(76.31130cos2 JrFWoF在在A到到C的过程中的过程中在在A到到B的过程中的过程中在在A到到C的过程中的过程中对于力对于力F 432-35 用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，且在锤击第一次时，与铁钉进入木板的深度成正比，且在锤击第一次时，能将小钉击入木板能将小钉击入木板 1.0cm，问以同样的条件击第二次，问以同样的条件击第二次时，能击入多深？时，能击入多深？解解:kxf由于第二次与第一次工作条件相同由于第二次与第一次工作条件相同,所以两次作功相等所以两次作功相等101xkxdxkxdx22221121121kxkk得得:2x)(12(cmx442-37 一个人从一个人从1010米深的井中提水米深的井中提水, ,起始桶内装有起始桶内装有2525千千克的水克的水. .由于水桶漏水由于水桶漏水, ,没升高没升高1.01.0米要漏区米要漏区0.50.5千克千克的水的水, ,求水桶匀速提升到井台上时这个人所作的功求水桶匀速提升到井台上时这个人所作的功. .解解: : 匀速提水匀速提水 F=mgF=mg 其中其中: :kxmm0k=0.5千克千克/ /米米=2205(J)gkhghmgdxkxmdxFWhh2000021)(452-38.一橡皮绳原长一橡皮绳原长l0=20cm,上端固定在上端固定在O点点,当下端拴当下端拴一质量为一质量为m=50g的物体时的物体时,其长度为其长度为l1=22cm.若使这一若使这一物体在水平面内做匀速圆周运动物体在水平面内做匀速圆周运动,当橡皮绳与竖直方当橡皮绳与竖直方向成向成60度角时度角时,求：求：(1)橡皮绳长度橡皮绳长度l ; (2)物体的动能物体的动能 ; (3)橡皮绳的弹性势能。橡皮绳的弹性势能。60oOm)(01llkmg )(.)/(201524 mNllmgk解：由题意解：由题意,物体做圆周运动物体做圆周运动(1) cosmgT (2) sinsin lvmRvmT22 (3) )(0llkT Tgmmcmllll24001 cos0lkTl 联立可解得联立可解得:46JllkEp2201096121 .)(60oOmJlmglTmv2222108822121 .sincossin (2) sinsin lvmRvmT22 TgmmJmvEk22108821 .(1) cosmgT 472-42 两个分子间的相互作用势能可以近似两个分子间的相互作用势能可以近似的表示为的表示为1206002)()()(rrrrErEp式中式中 和和 都是常数，都是常数，r是分子间的距离，是分子间的距离，试求平衡位置和在这位置上的势能；试求平衡位置和在这位置上的势能； 的的物理意义是什么？请在图中标出平衡位置物理意义是什么？请在图中标出平衡位置和和 的位置。的位置。0E0r0r0r0rropE解：平衡位置为解：平衡位置为F=00drdEFp02120600)()(rrrrEdrd可解出可解出0rr 此时此时01206002ErrrrEEp)()(482-47 有一个有一个6.0千克的质点，位矢为千克的质点，位矢为 r=(3t2-6t) i- 4t3j +(3t+2) k（米）（米）试求：（试求：（1）作用在这质点上的力；（）作用在这质点上的力；（2）作用在质点）作用在质点上的力矩（对原点）；（上的力矩（对原点）；（3）这质点的动量和角动；）这质点的动量和角动；LdtdMpdtdF和和（4）验证）验证k )t(jtit)t(r2334623解：解：k tjtit)t(vdtrd31262j tiadtvd246 49（1）（3）（2）（4）j tij ti(amF14436)2466kttjtittFrM)3(288) 23(36) 23(1442kjti(tvmP1872) 1362kttjttittvmrL)4(7218) 443() 1(144322Fj tikjtitdtddtPd144361872) 1(362MkttjtittdtLd)3 (288) 23 (36) 23 (1442502-49 在中间有一光滑小孔的水平光滑桌面上放置着在中间有一光滑小孔的水平光滑桌面上放置着一个用绳子联结的质量为一个用绳子联结的质量为4.0千克的物体，绳的另一端千克的物体，绳的另一端穿过小孔下垂且用手握住，开始时，物体以半径为穿过小孔下垂且用手握住，开始时，物体以半径为0.5米，速率为米，速率为4.0米米/秒在桌面上作匀速圆周运动，然后，秒在桌面上作匀速圆周运动，然后，将手极其缓慢地向下移动，直至运动半径变为将手极其缓慢地向下移动，直至运动半径变为0.1米。米。（1）求这时物体的速度，（）求这时物体的速度，（2）手的拉力作功吗？为）手的拉力作功吗？为什么？作功多少？（什么？作功多少？（3）写出拉力）写出拉力F与角动量与角动量L，质量，质量m以及半径以及半径 r 的关系。的关系。解：（解：（1）绳拉力为有心力，物）绳拉力为有心力，物体的角动量守恒体的角动量守恒)(2041 . 05 . 010000smvRRvRmvmvR51322222mrrmvmrrmvmrrvmF)( ) 1(21212122020202RRmvmvmvEWk（2）在物体运动中，）在物体运动中， 不垂直于不垂直于 ，故拉力作功。，故拉力作功。应等于动能的增量。应等于动能的增量。Frd（3）缓慢地拉绳，物体做近似圆周运动，得：）缓慢地拉绳，物体做近似圆周运动，得：（4）32mrLF 522-53 地球大气层边缘每分钟接受的太阳能（电磁波辐地球大气层边缘每分钟接受的太阳能（电磁波辐射能）平均值约为射能）平均值约为8.4 104焦耳焦耳/米米2，（，（1）求太阳每分）求太阳每分钟辐射的总能量；已知太阳与地球的距离是钟辐射的总能量；已知太阳与地球的距离是1.5 1011米；（米；（2）求每分钟太阳质量的减少量；（）求每分钟太阳质量的减少量；（3）计算太）计算太阳在阳在4 109年内的质量减少量所占的比率，这段时间年内的质量减少量所占的比率，这段时间间隔是太阳年龄的近似值。间隔是太阳年龄的近似值。解解:地球大气层每分钟接收太阳能平均值约为地球大气层每分钟接收太阳能平均值约为8.4104J/m2，每秒钟接收太阳能每秒钟接收太阳能8.4103J/m2太阳辐射的总能量（每秒）为：太阳辐射的总能量（每秒）为：211321051410414).(. rWE)min(.)(.1281261038210963 JSJE 即即53)min(1064. 211122KgcEmmcE028.01099.11055.51055.560243651043026269mmKgmtmt分（2）（3）当）当542-57 一个质子得到了相当于它的静止能量一个质子得到了相当于它的静止能量100倍倍的动能，试求这个质子的速度和动量。的动能，试求这个质子的速度和动量。解：解：)(2022202021cmcvcmcmmcEk 2211011cv cv999950.)(.117220100151smkgvcvmp20100cm552-58 一个电子从静止开始，加速到一个电子从静止开始，加速到0.1c的速度，的速度，需要对它做多少功？速度从需要对它做多少功？速度从0.9c加速到加速到0.99c又要又要做多少功？做多少功？解：解：2022202111cmcvcmmcW)()(.)(.eVJ9161058210142212222021221111cvcvcmcmcmEWk)(.)(.eVJ61310452109273563-2 一个水分子一个水分子(H2O)由一个氧原子（由一个氧原子（mo=30.2 10-24千克）和两个氢原子千克）和两个氢原子(mH=1.68 10-24千克千克 )组成，氧组成，氧原子与氧原子的中心距离均为原子与氧原子的中心距离均为2.76埃（埃（1埃埃= 10 -10米米），氧原子中心与两个氢原子中心的连线夹角为），氧原子中心与两个氢原子中心的连线夹角为105o，试求水分子的质心位置（如图所示）。，试求水分子的质心位置（如图所示）。解解:以以O为坐标原点，如图为坐标原点，如图105oHHxyo24102410)268. 12 .30(2105cos1076. 21068. 120ccxy)(1077.111m573-7 两个小球用一细杆连结起来，它两个小球用一细杆连结起来，它们静止于一无摩擦的水平面上，们静止于一无摩擦的水平面上，m1=4.0千克，千克，m2=2.0千克，第三个小千克，第三个小球的质量为球的质量为0.5千克，它以千克，它以v0=2i(米米/秒秒)趋近这系统，并与趋近这系统，并与2千克的小球相撞，千克的小球相撞，如果如果0.5千克的小球以千克的小球以vf j跳开跳开(vf =1.0米米/秒秒)，问这二小球系统的质心速度，问这二小球系统的质心速度XmYv0m130ovfm2如何？如何？解：解：m1和和m2为子系统，杆中张力为内力，为子系统，杆中张力为内力，m与与m2碰碰撞前后动量守恒，有：撞前后动量守恒，有：)/()()(mmvmvmvvvmmvmvmfcccf210210 是子系统的质心速度）是子系统的质心速度）（).()/()(1121612412smjijim583-10 在地面上竖直向上发射火箭，已知火箭的初始质量在地面上竖直向上发射火箭，已知火箭的初始质量M0，喷气相对于火箭主体的速度为喷气相对于火箭主体的速度为u，不计空气阻力，求使火箭，不计空气阻力，求使火箭刚能离开地面的最低喷气流量刚能离开地面的最低喷气流量qm应为多大？应为多大？vvd vMdMM udmtdtt x解：设火箭在地面发射时只受解：设火箭在地面发射时只受引力引力M0g，其它各量如图所示其它各量如图所示dMdm dtgMMddMMudM 000v)vv)()v(由动量定理，由动量定理，并略去二阶无穷小量并略去二阶无穷小量 vddM gMdtdMudtdM00v dtdMgMdtdmuv00 0v dguMdtdmqm0 593-12 （1）假定有一枚一级火箭，总重）假定有一枚一级火箭，总重13吨，其中吨，其中燃料燃料9.75吨，喷出物质相对火箭的速度为一定值吨，喷出物质相对火箭的速度为一定值u,若重力和空气阻力忽略不计，求燃料燃尽后的火箭若重力和空气阻力忽略不计，求燃料燃尽后的火箭速度。（速度。（2）如果有一枚两级）如果有一枚两级 火箭，总质量也是火箭，总质量也是13吨，其中第一级的总质量是吨，其中第一级的总质量是12吨，吨，9.0吨是燃料，第吨是燃料，第二级的总质量是二级的总质量是1.0吨，吨，0.75吨是燃料。发射时，第吨是燃料。发射时，第一级火箭携带第二级火箭一起上升，喷出物质相对一级火箭携带第二级火箭一起上升，喷出物质相对火箭的速度仍是定值火箭的速度仍是定值u。当第一级火箭的燃料燃尽。当第一级火箭的燃料燃尽时速度是多少？在第一级火箭燃料燃尽后，第一级时速度是多少？在第一级火箭燃料燃尽后，第一级火箭的剩余物质自动抛弃掉，第二级火箭自动点火，火箭的剩余物质自动抛弃掉，第二级火箭自动点火，求第二级火箭的燃料燃尽后的火箭速度求第二级火箭的燃料燃尽后的火箭速度u是何值时，是何值时，才可使第二级火箭获得才可使第二级火箭获得8103米米/秒的速度？秒的速度？