2022年高三第一次模拟考试（四）数学试题含答案

2022年高三第一次模拟考试（四）数学试题含答案一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分不需写出解答过程 1. 若全集为UR，Ax|x2x0，则UA_ 2. i为虚数单位，计算_ 3. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为_ 4. 已知实数x，y满足则z2xy的最小值是_(第5题图) 5. 阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是_ 6. 已知向量a(2，1)，b(1，0)，则|2ab|_ 7. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)1log2x，则不等式f(x)0，0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为_12. Sn是等差数列an的前n项和，若，则_13. 函数f(x)若关于x的方程f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为_14. 由sin 36cos 54，可求得cos 2 016的值为_二、 解题题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)如图：四棱锥PABCD中，PDPC，底面ABCD是直角梯形，ABBC，ABCD，CD2AB，点M是CD的中点(1) 求证：AM平面PBC；(2) 求证：CDPA.(第15题图)16. (本小题满分14分)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，向量m(ac，bc)，n(bc，a)，且mn.(1) 求B； (2) 若b，cos，求a.17. (本小题满分14分)如图，某工业园区是半径为10km的圆形区域，离园区中心O点5km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域(1) 设中心O对公路AB的视角为，求的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值(第17题图)18. (本小题满分16分)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的离心率为，左顶点为A(3，0)，圆心在原点的圆O与椭圆的内接三角形AEF的三条边都相切(1) 求椭圆方程；(2) 求圆O方程；(3) B为椭圆的上顶点，过B作圆O的两条切线，分别交椭圆于M，N两点，试判断并证明直线MN与圆O的位置关系(第18题图)19. (本小题满分16分)已知数列an)的各项都为自然数，前n项和为Sn，且存在整数，使得对任意正整数n都有Sn(1)an恒成立(1) 求值，使得数列an)为等差数列，并求数列an)的通项公式；(2) 若数列an为等比数列，此时存在正整数k，当1k0，2a3，m1，f(x)b2a1e恒成立，求正数b的范围xx届高三年级第一次模拟考试(四)数学附加题每小题10分，共40分考试用时30分钟21. 【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A. 选修41：几何证明选讲在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P.求证：APANBPBMAB2.(第21A题图)B. 选修42：矩阵与变换求矩阵的特征值及对应的特征向量C. 选修44：坐标系与参数方程已知直线l的极坐标方程为sin3，曲线C的参数方程为(为参数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值D. 选修45：不等式选讲设x，y均为正数，且xy，求证：xy3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22. (本小题满分10分)如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1ECF1.(1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值；(2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值(第22题图)23. (本小题满分10分)证明：对一切正整数n，5n23n11能被8整除xx届高三年级第一次模拟考试(四)(镇江市)数学参考答案一、 填空题(每小题5分)1. 0，12. i3. 4. 15. 2406. 7. (2，0)(2，)8. 9. 110. 311. 212. 13. ，1)(1，)14. 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分15. 证明：(1) 在直角梯形ABCD中，ABCD，CD2AB，点M是CD的中点，由ABCM，且ABCM，所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形(3分)故AM平面PBC，(7分)(2) 连接PM，因为PDPC，点M是CD的中点，所以CDPM，(8分)又因为四边形ABCM是矩形，CDAM，(9分)CD平面PAM.(12分)又因为AP平面PAM，(13分)所以CDPA.(14分)16. 解：(1) 因为mn，所以a2c2b2ac，(2分)因为cosB，(4分)B(0，)(5分)故B.(6分)(2) 因为A，(7分)cos，所以sin，(9分)所以sinAsin，(11分)在ABC中，由正弦定理可得：，(13分)解得a1.(14分)17. 解：(1) 如图1，作OHAB，设垂足为H，记OHd，2AOH，因为cosAOH，(1分)要使有最小值，只需要d有最大值，结合图像可得，dOP5km，(3分)当且仅当ABOP时，dmin5km.此时min2AOH2.(4分)设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S，根据题意可得：Sf()S扇形SAOB50(sin)，(6分)f()50(1cos)0恒成立，f()为增函数，(7分)所以Sminf50km2.(8分)答：视角的最小值为，较小区域面积的最小值是50km2.(9分)(第17题图1)(2) 如图2，分别过O分别作OHAB，OH1CD垂足分别是H，H1，记OHd，OH1d2，由(1)可知d10，5所以ddOP225，且d25d(10分)因为AB2，CD2，所以ABCD2()2()，(11分)记L(d1)ABCD2()，可得L2(d1)41752，(12分)由d0，25，可知d0，或d25时，L2(d1)的最小值是100(74)，从而ABCD的最小值是2010 km.(13分)答：两条公路长度和的最小值是2010 km.(14分)(第17题图2)18. 解：(1) 由题意可知，a3，得：c，(2分)因为a2b2c2，所以b2，(3分)故椭圆的标准方程是：1.(4分)(2) 设直线AE的方程：yk(x3)，点E(x1，y1)，由可得(4k21)x224k2x36k290.(5分)因为3x1，得x1，代入直线yk(x3)，得y1，所以E，(7分)同理可得F，(9分)根据条件可知圆心O到直线AE的距离等于圆心O到直线EF的距离可得|r，解之得k2，(10分)从而r21，所以圆O的方程为：x2y21.(11分)(3) 设直线BM的方程为ykx，因为直线BM与圆O相切，所以dr，解得k，(14分)当k，lBM：yx，由，解得x2x0.(11分)所以M(，1)，(12分)同理可得N(，1)(13分)可得直线MN方程是：y1，(15分)直线MN与圆O的位置关系是相切(16分)19. 解：(1) (法一)：因为Sn(1)an，所以Sn1(1)an1，得：an1(1)an，(2分)当0时，an0，数列an是等差数列(4分)当0时，a1(1)a1，a11，且an1anan，要使数列an是等差数列，则式右边an为常数，即an1an为常数，式左边an1an0，an0，又因为a11，矛盾！(6分)综上可得：0时，数列an为等差数列，且an0.(7分)(法二)：若数列an是等差数列，必有2a2a1a3，当0时，a1a2a30，满足2a2a1a3，(1分)此时Snan，从而Sn1an1，(3分)故an0，(4分)当0时，a11，a21，a3，(5分)由2a2a1a3，得21，该方程无解，(6分)综上可得：0时，数列an为等差数列，其中an0.(7分)(2) 当(1)可得：当0时，不是等比数列，(8分)当1时，由得Sn1，则a1S11，anSnSn10(n2)，不是等比数列(9分)当0，且1时，得1，an为公比是q1等比数列，(10分)又对任意n，anN，则q1N，故仅有1，q2时，满足题意，又由(1)得a11，故an2n1.(11分)因为ai2 016，所以2k1(2jk11)2 01625327，(13分)jk12，2jk11为大于1的奇数，2k125，k6，(15分)则2j51327，2j564，j11，故仅存在k6时，j11，ai2 016.(16分)20. 解：(1) f(x)(ax2x)exx(ax1)ex.(1分)若a0，则f(x)xex，令f(x)0，则x0；令f(x)0；若a0，得x0；由f(x)x或00，由f(x)0，得0x0，得x或x0；综上可得：当a0时，函数f(x)的增区间是(，0)，减区间是(0，)；(3分)当a0时，函数f(x)的增区间是(，0)，减区间是(7分)(2) 因为2a3，m1，由(1)x(0，)上函数f(x)的最小值是f.因为f(x)b2a1e恒成立，所以fb2a1e恒成立，(8分)所以e(2a1)b2a1e恒成立，即2a1b2a1恒成立(9分)由2a3，m1，令2a1t2，m，则tbt，所以lnbg(t)，(10分)由g(t)，可知函数g(t)在(0，e)上递增；(e，)上递减，且g(2)g(4)(11分)当2m4时，g(t)ming(2)，从而lnb，解得04时，g(t)ming(m)，从而lnb，解得0bm，(15分)故：当2m4时，04时，0y，xy0，所以33，当且仅当取等号，此时xy2.(10分)22. 解：(1) 以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，(第22题图)则A(3，0，0)，C1(0，3，3)，(3，3，3)，B(3，3，0)，E(3，0，2)，(0，3，2)(2分)所以cos，故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为.(5分)(2) B(3，3，0)，(0，3，2)，(3，0，1)设平面BED1F的一个法向量为n(x，y，z)，由得所以则n(x，2x，3x)，不妨取n(1，2，3)，设直线BB1与平面BED1F所成角为，则sin|cos，n|.(9分)所以直线BB1与平面BED1F所成角正弦值为(10分)23. 证明：(1) 当n1时，能被8整除，(2分)(2) 假设当nk，(k2，kN*，结论成立，)(2分)则5k23k11能被8整除，设5k23k118m，mN*，当nk1时，5k123k15(5k23k11)43k145(5k23k11)4(3k11)(7分)而当k2，kN*时3k11显然为偶数，设为2t，tN*，故5(5k23k11)4(3k11)40m8t(m，tN*)，也能被8整除，故当nk1时结论也成立；由(1)(2)可知对一切正整除n，5n23n11能被8整除(10分)