2022年高中数学《3.1.3概率的基本性质》教案设计新人教A版必修3

2022年高中数学3.1.3概率的基本性质教案设计新人教A版必修3教学分析 教科书通过掷骰子试验,定义了许多事件,及其事件之间的关系,事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念. 教科书通过类比频率的性质,利用频率与概率的关系得到了概率的几个基本性质,要注意这里的推导并不是严格的数学证明,仅仅是形式上的一种解释,因为频率稳定在概率附近仅仅是一种描述,没有给出严格的定义,严格的定义,要到大学里的概率统计课程中才能给出.三维目标（1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件,以及互斥事件、对立事件的概念；通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习,培养学生的类比与归纳的数学思想.（2）概率的几个基本性质：必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0P(A)1；当事件A与B互斥时,满足加法公式：P(AB)=P(A)+P(B)；若事件A与B为对立事件,则AB为必然事件,所以P(AB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1-P(B).（3）正确理解和事件与积事件,以及互斥事件与对立事件的区别与联系,通过数学活动,了解数学与实际生活的密切联系,感受数学知识应用于现实世界的具体情境,从而激发学习数学的情趣.重点难点教学重点：概率的加法公式及其应用.教学难点：事件的关系与运算.课时安排 1课时教学过程导入新课思路1 体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格,某班50名学生参加了体育考试,结果如下：优85分及以上9人良7584分15人中6074分21人不及格60分以下5人 在同一次考试中,某一位同学能否既得优又得良？ 从这个班任意抽取一位同学,那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？ 为解决这个问题,我们学习概率的基本性质,教师板书课题.思路2（1）集合有相等、包含关系,如1,3=3,1,2,42,3,4,5等；（2）在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1=出现1点,C2=出现2点,C3=出现1点或2点,C4=出现的点数为偶数. 师生共同讨论：观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系与运算吗？这就是本堂课要讲的知识概率的基本性质.思路3 全运会中某省派两名女乒乓球运动员参加单打比赛,她们夺取冠军的概率分别是2/7和1/5,则该省夺取该次冠军的概率是2/7+1/5,对吗？为什么？为解决这个问题,我们学习概率的基本性质.推进新课新知探究提出问题 在掷骰子试验中,可以定义许多事件如：C1=出现1点,C2=出现2点,C3=出现3点,C4=出现4点,C5=出现5点,C6=出现6点,D1=出现的点数不大于1,D2=出现的点数大于3,D3=出现的点数小于5,E=出现的点数小于7,F=出现的点数大于6,G=出现的点数为偶数,H=出现的点数为奇数, 类比集合与集合的关系、运算说明这些事件的关系和运算,并定义一些新的事件.(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有哪些？反之,成立吗？(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着哪个事件发生？(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着哪个事件发生？(4)事件D3与事件F能同时发生吗？(5)事件G与事件H能同时发生吗？它们两个事件有什么关系？活动：学生思考或交流,教师提示点拨,事件与事件的关系要判断准确,教师及时评价学生的答案.讨论结果：(1)如果事件C1发生,则一定发生的事件有D1,E,D3,H,反之,如果事件D1,E,D3,H分别成立,能推出事件C1发生的只有D1.(2)如果事件C2发生或C4发生或C6发生,就意味着事件G发生.(3)如果事件D2与事件H同时发生,就意味着C5事件发生.(4)事件D3与事件F不能同时发生.(5)事件G与事件H不能同时发生,但必有一个发生.由此我们得到事件A,B的关系和运算如下:如果事件A发生,则事件B一定发生,这时我们说事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）,记为BA（或AB）,不可能事件记为,任何事件都包含不可能事件.如果事件A发生,则事件B一定发生,反之也成立,（若BA同时AB）,我们说这两个事件相等,即A=B.如C1=D1.如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与B的并事件（或和事件）,记为AB或A+B.如果某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与B的交事件（或积事件）,记为AB或AB.如果AB为不可能事件（AB=）,那么称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生.如果AB为不可能事件,AB为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.继续依次提出以下问题:（1）概率的取值范围是多少?（2）必然事件的概率是多少?（3）不可能事件的概率是多少?（4）互斥事件的概率应怎样计算?（5）对立事件的概率应怎样计算?活动：学生根据试验的结果,结合自己对各种事件的理解,教师引导学生,根据概率的意义:（1）由于事件的频数总是小于或等于试验的次数,所以,频率在01之间,因而概率的取值范围也在01之间.（2）必然事件是在试验中一定要发生的事件,所以频率为1,因而概率是1.（3）不可能事件是在试验中一定不发生的事件,所以频率为0,因而概率是0.（4）当事件A与事件B互斥时,AB发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和.（5）事件A与事件B互为对立事件,AB为不可能事件,AB为必然事件,则AB的频率为1,因而概率是1,由（4）可知事件B的概率是1与事件A发生的概率的差.讨论结果：（1）概率的取值范围是01之间,即0P(A)1.（2）必然事件的概率是1.如在掷骰子试验中,E=出现的点数小于7,因此P(E)=1.（3）不可能事件的概率是0,如在掷骰子试验中,F=出现的点数大于6,因此P(F)=0.（4）当事件A与事件B互斥时,AB发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,互斥事件的概率等于互斥事件分别发生的概率之和,即P(AB)=P(A)+P(B),这就是概率的加法公式.也称互斥事件的概率的加法公式.（5）事件A与事件B互为对立事件,AB为不可能事件,AB为必然事件,P(AB)=1.所以1=P(A)+P(B),P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).如在掷骰子试验中,事件G=出现的点数为偶数与H=出现的点数为奇数互为对立事件,因此P(G)=1-P(H). 上述这些都是概率的性质,利用这些性质可以简化概率的计算,下面我们看它的应用.应用示例思路1例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?事件A：命中环数大于7环； 事件B：命中环数为10环；事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.活动：教师指导学生,要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生.解：A与C互斥（不可能同时发生）,B与C互斥,C与D互斥,C与D是对立事件（至少一个发生）.点评：判断互斥事件和对立事件,要紧扣定义,搞清互斥事件和对立事件的关系,互斥事件是对立事件的前提.变式训练 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件,观察正品件数与次品件数,判断下列每件事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件.（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；（2）至少有1件次品和全是次品；（3）至少有1件正品和至少有1件次品；（4）至少有1件次品和全是正品.解：依据互斥事件的定义,即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生,因此它们是互斥事件,又因为它们并不是必然事件,所以它们不是对立事件.同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件,也不是对立事件.（3）中的2个事件既不是互斥事件也不是对立事件.（4）中的2个事件既互斥又对立.例2 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心（事件A）的概率是,取到方块（事件B）的概率是,问：（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？活动：学生先思考或交流,教师及时指导提示,事件C是事件A与事件B的并,且A与B互斥,因此可用互斥事件的概率和公式求解,事件C与事件D是对立事件,因此P(D)=1-P(C).解：（1）因为C=AB,且A与B不会同时发生,所以事件A与事件B互斥,根据概率的加法公式得P(C)=P(A)+P(B)=.（2）事件C与事件D互斥,且CD为必然事件,因此事件C与事件D是对立事件,P(D)=1-P(C)=.点评：利用概率的加法公式,一定要注意使用条件,千万不可大意.变式训练 某射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）少于7环的概率.解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和,即为0.21+0.23=0.44.（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的概率的和,即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件,所以射中少于7环的概率为1-0.97=0.03.思路2例1 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”,B为“出现偶数点”,已知P(A)= ,P(B)=,求出“出现奇数点或偶数点”的概率？活动：学生思考或讨论,教师引导,抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的,并且是相互独立事件,可以运用概率的加法公式求解.解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=AB,因为A、B是互斥事件,所以P(C)=P(A)+P(B)=+=1.出现奇数点或偶数点的概率为1.变式训练 抛掷一粒骰子,观察掷出的点数,设事件A为出现奇数,事件B为出现2点,已知P（A）=,P（B）=,求出现奇数点或2点的概率之和.解：“出现奇数点”的概率是事件A,“出现2点”的概率是事件B,“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=+=.例2 袋中有12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率为,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率也是,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？活动：学生阅读题目,交流讨论,教师点拨,利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解.解：从袋中任取一球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”为A、B、C、D,则有P(BC)=P(B)+P(C)=；P(CD)=P(C)+P(D)=；P(BCD)=1-P(A)=1=,解得P(B)=,P(C)=,P(D)=.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、.变式训练 已知盒子中有散落的棋子15粒,其中6粒是黑子,9粒是白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是,从中取出2粒都是白子的概率是,现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和,即为+.知能训练1.下列说法中正确的是（ ）A.事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大B.事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件答案：D2.课本练习15.拓展提升1.从男女学生共有36名的班级中,任意选出2名委员,任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于,求男女生相差几名?解：设男生有x名,则女生有36-x名.选得2名委员都是男性的概率为.选得2名委员都是女性的概率为.以上两种选法是互斥的,又选得同性委员的概率等于,得+=.解得x=15或x=21.即男生有15名,女生有36-15=21名,或男生有21名,女生有36-21=15名.总之,男女生相差6名.2.黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：血型ABABO该血型的人所占比/%2829835 已知同种血型的人可以输血,O型血可以输给任一种血型的人,任何人的血都可以输给AB型血的人,其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血,若小明因病需要输血,问：(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少？解：（1）对任一人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A,B,C,D,它们是互斥的.由已知,有P(A)=0.28,P(B)=0.29,P(C)=0.08,P(D)=0.35.因为B,O型血可以输给B型血的人,故“可以输给B型血的人”为事件B+D.根据互斥事件的加法公式,有P(B+D)=P(B)+P(D)=0.29+0.35=0.64.（2）由于A,AB型血不能输给B型血的人,故“不能输给B型血的人”为事件A+C,且P(A+C)=P(A)+P(C)=0.28+0.08=0.36. 即任找一人,其血可以输给小明的概率为0.64,其血不能输给小明的概率为0.36.注：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件,故由对立事件的概率公式,有P()=1-P(B+D)=1-0.64=0.36.课堂小结1.概率的基本性质是学习概率的基础.不可能事件一定不出现,因此其概率为0,必然事件一定发生,因此其概率为1.当事件A与事件B互斥时,AB发生的概率等于A发生的概率与B发生的概率的和,从而有公式P（AB）=P（A）+P（B）；对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生.2.在利用概率的性质时,一定要注意互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形:事件A发生B不发生；事件B发生事件A不发生,对立事件是互斥事件的特殊情形.作业 习题3.1A组5,B组1、2.设计感想 本堂课通过掷骰子试验,定义了许多事件,并根据集合的运算定义了事件的运算,给出了互斥事件和对立事件以及它们的概率运算公式,在运用时要切实注意它们的使用条件,不可模棱两可,搞清互斥事件和对立事件的关系,思路1和思路2都安排了不同层次的例题和变式训练,对刚学的知识是一个巩固和加强,同学们要反复训练,安排的题目既有层次性,又有趣味性,适合不同基础的学生,因此本节课授完后,同学们肯定受益匪浅.