2022年高三数学一轮总复习 专题十七 坐标系与参数方程（含解析选修4-4）

2022年高三数学一轮总复习 专题十七 坐标系与参数方程（含解析，选修4-4）抓住1个高考重点重点1 坐标系与参数方程1极坐标和直角坐标互化的前提条件是：（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系的轴正半轴重合；（3）两种坐标系取相同的长度单位设点的直角坐标为，它的极坐标为，则互化公式是或；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨防漏解2消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径，常用方法有代入消元法（包括集团代人法）、加减消元法、参数转化法和三角代换法等，转化的过程中要注意参数方程中含有的限制条件，在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性.3参数方程的用途主要有以下几个方面：（1）求动点的轨迹，如果的关系不好找，我们引入参变量后，很容易找到与和与的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程.此时参数方程在求动点轨迹方程中起桥梁作用（2）可以用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决，这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能（3）有些曲线参数方程的参变量有几何意义若能利用参变量的几何意义解题，常会取得意想不到的效果如利用直线标准参数方程中的几何意义解题，会使难题化易、繁题化简.高考常考角度角度1 若曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 .解析：关键是记住两点：1、，2、即可.由已知为所求.角度2在极坐标系中，点 到圆的圆心的距离为（ ）A. 2 B. C. D. 解析：极坐标化为直角坐标为，即.圆的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式.故选D.角度3 已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .解：表示椭圆，表示抛物线联立得或（舍去），又因为，所以它们的交点坐标为角度4 直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为 点评：利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程解析：曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为角度5 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：与，各有一个交点当时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合（）分别说明是什么曲线，并求出a与b的值；（）设当=时，l与的交点分别为，当=时，l与的交点为，求四边形的面积解析：（）的普通方程分别为和，故是圆，是椭圆. 当时，射线l与交点的直角坐标分别为，因为这两点间的距离为2，所以. 当时，射线l与交点的直角坐标分别为，因为这两点重合，所以. （）的普通方程分别为和 当时，射线l与交点A1的横坐标为，与交点B1的横坐标为当时，射线l与的两个交点分别与关于x轴对称，因此，四边形为梯形.故四边形的面积为 规避2个易失分点易失分点1 参数的几何意义不明典例 已知直线的参数方程为（为参数），若以平面直角坐标系中的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（1）求直线的倾斜角；（2）若直线与曲线交于两点，求易失分提示：对直线参数方程中参数的几何意义不明确导致错误解析：（1）直线的参数方程可以化为，根据直线参数方程的意义，直线经过点，倾斜角为.（2）的直角坐标方程为，即曲线的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离所以 易失分点2 极坐标表达不准典例 已知曲线的极坐标方程分别为则曲线与交点的极坐标为_易失分提示: 本题考查曲线交点的求法，易错解为：由方程组即两曲线的交点为或正解解析：由方程组或即两曲线的交点为或在极坐标系中，有序实数对的集合与平面内的点集不是一一对应的.给出一个有序数对，在极坐标系中可以唯一确定一个点，但极坐标系中的一点，它的极坐标不是唯一的，若点不是极点，是它的一个掇坐标，那么有无穷多个极坐标与各类题型展现：1. （本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，椭圆方程为为参数）（1）求过椭圆的右焦点，且与直线为参数）平行的直线的普通方程.（2）求椭圆的内接矩形面积的最大值。解析：（1）由已知得椭圆的普通方程为，右焦点为，直线的普通方程为，所以,于是所求直线方程为即.（2），当时，面积最大为30.2. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆的圆心，半径. （）求圆的极坐标方程； （）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围.解析：（）方法一：圆心的直角坐标为，圆的直角坐标方程为.化为极坐标方程是.方法二：如图，设圆上任意一点，则 化简得.4分（）将代入圆的直角坐标方程，得 即所以 .故， ，即弦长的取值范围是.10分3. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为.（）求圆心的直角坐标；（）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值。解析：（）由 得 圆的直角坐标方程为 即，所以 圆心的直角坐标为（）由直线上的点向圆引切线，切线长为所以，当时，切线长的最小值为4.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线上两点的极坐标分别为，圆的参数方程为参数） （）设为线段的中点，求直线的平面直角坐标方程；（）判断直线与圆的位置关系。解析：（）由题意知，的直角坐标为，因为是线段中点，则因此直角坐标方程为 （）因为直线上两点，的方程为：即，又圆心，半径.所以,故直线和圆相交.5.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆，圆（1）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆的极坐标方程，并求出圆的交点坐标（用极坐标表示）（2）求圆与圆的公共弦的参数方程解析：圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，解 得，故圆与圆交点的坐标为 5分 注：极坐标系下点的表示不唯一（2）（解法一）由，得圆与圆交点的直角坐标为故圆与圆的公共弦的参数方程为 (为参数) （或参数方程写成） 10分（解法二）将代入，得，从而于是圆与圆的公共弦的参数方程为 10分