2022年高二上学期期末考试 数学试题

2022年高二上学期期末考试 数学试题一、填空题：本大题共12题，满分36分。请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。每题填写正确得3分，否则一律得0分。1、 过点，且垂直于OA的直线方程为_。解：一个法向量，所以方程为，即。2、 直线l的一个法向量（），则直线l倾角的取值范围是_。解：，所以倾角的取值范围是。3、 已知直线：与：平行，则k的值是_。解：，所以或。当时，二直线分别为：，：，平行；当时，二直线分别为：，：，平行。4、 直线l的一个方向向量，则l与的夹角大小为_。（用反三角函数表示）解：，所以夹角满足，所以夹角为。5、 已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为_。解：。6、 等轴双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为_。解：椭圆的焦点坐标为，。由，所以。所以，双曲线C的方程为。7、 有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽_米。解：设抛物线方程为，其过点，所以，当时，所以桥下的水面宽米。8、 直线：绕原点逆时针旋转的直线，则与的交点坐标为_。解：，与联立，解得交点为。9、 已知方程表示圆，则_。解：令，解得或。（1）当时，方程化为，方程表示圆；（2）当时，方程化为，判别式，方程不表示圆。所以。10、 已知过抛物线C：（）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M恰好为A、F的中点，则直线的斜率_。解：的焦点为，设（），所以，将代入，得，所以直线的斜率。11、 （xx上海市秋季高考文科第12题）已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且。若的面积为9，则_。解：有，可得，即，故有。12、 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为切点，那么的最小值为_。解：设（），则，所以，令，所以，所以，当且仅当，即，即时等号成立。所以的最小值为。二、选择题：本大题共4题，满分16分。请选择你认为最正确的答案（每小题有且只有一个）写在括号内。每题填写正确得4分，否则得0分。13、 （xx海南宁夏秋季高考文科第5题）已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为()(A)(B)(C)(D)解：设圆的圆心为，则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，故选(B)。14、 （xx湖北省秋季高考理科第9题、文科第9题）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是()(A)(B)(C)(D)解：曲线方程可化简为（），即表示圆心为，半径为2的半圆。依据数形结合，直线与此半圆相切，即圆心到直线距离等于2，解得（舍）或。当直线过时，解得，故，所以选(C)。15、 给出下列3个命题：在平面内，若动点M到、两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是椭圆；在平面内，给出点、，若动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线；在平面内，若动点Q到点和到直线的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线。其中正确的命题有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解：选(A)。16、 已知直线l：y=k(x+2)（k0）与抛物线C：相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则()(A)(B)(C)(D)解：设抛物线C：的准线为，直线y=k(x+2)（k0）恒过定点。如图过A、B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点。连结OB，则，|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1，)，选(D)。三、解答题：本大题共5题，满分48分。请在题后空处写出必要的推理计算过程。17、 （本题满分8分）已知直线l：与x轴交于点A；以O为圆心，过A的圆记为圆O。求圆O截l所得弦AB的长。解：在中，令，得，所以圆C的半径，2分圆心O到直线l的距离。3分所以弦长。3分18、 （本题满分8分）已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点，直线与（，为双曲线C的两个顶点）的斜率之积，求双曲线C的标准方程。解：（1）当双曲线的焦点位于x轴上时，设C：，所以，解得。2分将，代入双曲线方程，得，解得。2分所以双曲线C的标准方程为。2分（2）当双曲线的焦点位于y轴上时，设C：，所以，解得（舍去）。2分综上，所求双曲线C的标准方程为。19、 （本题满分10分）过点作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于AB两点之间。（），求直线l的方程；（）求当取得最小值时直线l的方程。解：显然直线l的斜率k存在且，设l：，得，。2分因为P位于AB两点之间，所以且，所以。，。2分（），所以，所以。直线l的方程为。3分（），当即时，等号成立。所以当取得最小值时直线l的方程为。3分20、 （本题满分10分）已知曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1，0)的距离减去它到y轴距离的差是1。（）求曲线C的方程；（）过点K(-1，0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D。证明：点F在直线BD上；解：（）根据题意知，C上每一点到点F(1，0)的距离等于它到直线的距离。所以，曲线C上每一点在开口向右的抛物线上，2分其中，所以抛物线方程为。又因为曲线C在y轴的右边，所以，曲线C的方程为（）。2分（）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x1，-y1)，l的方程为（m0）。将代人，整理得，从而，。2分直线BD的方程为，即，2分令y=0，得，所以点F(1，0)在直线BD上。2分21、 （本题满分12分）已知，直线l：，椭圆C：，分别为椭圆C的左、右焦点。（）当直线l过右焦点时，求直线l的方程；（）设直线l与椭圆C交于A，B两点。（）求线段AB长度的最大值；（），的重心分别为G，H。若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数的取值范围。解：（）因为直线l：经过，所以，得，又因为，所以，故直线l的方程为。4分（）设，。由，消去x得，则由，知，且有，。2分（）2分所以，当时，。1分（）由于，可知，因为原点O在以线段GH为直径的圆内，所以，即，所以，2分解得（符合）又因为，所以m的取值范围是。1分