2022年高三二模考试数学（文）试题解析版 含解析

2022年高三二模考试数学（文）试题解析版 含解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1（4分）（xx宝山区二模）已知全集U=R，集合A=x|x22x30，则UA=1，3考点：并集及其运算专题：不等式的解法及应用分析：由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可解答：解：全集U=R，集合A=x|x22x30=x|x1或x3，所以UA=x|1x3，即UA=1，3故答案为：1，3点评：本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力2（4分）（xx宝山区二模）若复数z满足z=i（2z）（i是虚数单位），则|z|=考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：由题意可得（1+i）z=2i，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质求得z的值，即可求得|z|解答：解：复数z满足z=i（2z）（i是虚数单位），z=2iiz，即（1+i）z=2i，z=1+i，故|z|=，故答案为 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题3（4分）（xx宝山区二模）已知直线2x+y+1=0的倾斜角大小是，则tan2=考点：两角和与差的正切函数；直线的倾斜角专题：三角函数的图像与性质分析：有直线的方程求出直线的斜率，即得tan=2，再利用二倍角的正切公式求得tan2的值解答：解：已知直线2x+y+1=0的倾斜角大小是，则有tan=2，且 0tan2=，故答案为 点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率，二倍角的正切公式的应用，属于基础题4（4分）（xx宝山区二模）若关于x、y的二元一次方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是考点：两条直线的交点坐标专题：数形结合分析：把给出的二元一次方程组中的两个方程看作两条直线，化为斜截式，由斜率不等即可解得答案解答：解：二元一次方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解就是两直线的交点，由mxy+3=0，得y=mx+3，此直线的斜率为m由（2m1）x+y4=0，得y=（2m1）x+4若二元一次方程组有唯一一组解，则两直线的斜率不等，即m12m，所以m故答案为点评：本题考查了二元一次方程组的解法，考查了数形结合的解题思想，二元一次方程组的解实质是两个方程对应的直线的交点的坐标，是基础题5（4分）（xx宝山区二模）已知函数y=f（x）和函数y=log2（x+1）的图象关于直线xy=0对称，则函数y=f（x）的解析式为y=2x1考点：反函数专题：函数的性质及应用分析：根据函数y=f（x）和函数y=log2（x+1）的图象关于直线xy=0对称，知f（x）是函数y=log2（x+1）的反函数，求出y=log2（x+1）的反函数即得到f（x）的表达式解答：解：数y=f（x）的图象与函数y=log2（x+1）（x1）的图象关于直线xy=0对称，f（x）是函数y=log2（x+1）的反函数，f（x）=2x1，（xR）；故答案为：y=2x1点评：本题考查反函数、求反函数的方法，属于基础题6（4分）（xx宝山区二模）已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为1考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论解答：解：由题得：其焦点坐标为（2，0），（2，0）渐近线方程为y=x，即yx=0，所以焦点到其渐近线的距离d=1故答案为：1点评：本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题7（4分）（xx宝山区二模）函数的最小正周期T=考点：二阶行列式与逆矩阵；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法专题：三角函数的图像与性质分析：利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出的值，即可求出最小正周期解答：解：f（x）=cos2xsin2x=cos2x，=2，T=故答案为：点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键8（4分）（xx宝山区二模）（文） 若，则目标函数z=2x+y的最小值为4考点：简单线性规划分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点A（1，2）时的最小值，从而得到z最小值即可解答：解：设变量x、y满足约束条件 ，在坐标系中画出可行域三角形，A（1，2），（4，2），C（1，5），则目标函数z=2x+y的最小值为4故答案为：4点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定9（4分）（xx宝山区二模）执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是考点：循环结构专题：图表型分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出S=21+22+26的值解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出S=21+22+26的值而S=21+22+26=最后输出的值为故答案为：点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模10（4分）（xx宝山区二模）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积专题：计算题分析：求出球的体积，利用圆锥的体积与球的体积相等，求出圆锥的高，然后求出圆锥的母线长即可解答：解：由题意可知球的体积为：=，圆锥的体积为：=，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以，所以h=4，圆锥的母线：=故答案为：点评：本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力11（4分）（xx宝山区二模）某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 （结果用最简分数表示）考点：等可能事件的概率专题：概率与统计分析：所有的选法共有43=64 种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有 =24种，由此求得这3名学生选择的选修课互不相同的概率解答：解：所有的选法共有43=64 种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有 =24种，故这3名学生选择的选修课互不相同的概率为 =，故答案为 点评：本题主要考查等可能事件的概率，分步计数原理的应用，属于中档题12（4分）（xx宝山区二模）正项无穷等比数列an的前n项和为Sn，若，则其公比q的取值范围是 （0，1）考点：数列的极限；等比数列的性质专题：计算题分析：由题设条件知=1，所以0q1解答：解：正项无穷等比数列an的前n项和为Sn，且，=1，0q1故答案为：（0，1）点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意公式的灵活运用13（4分）（xx宝山区二模）已知函数f（x）=x|x|当xa，a+1时，不等式f（x+2a）4f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（1，+）考点：奇偶性与单调性的综合专题：函数的性质及应用分析：根据已知函数的解析式易判断出函数的奇偶性及单调性，结合单调性可将不等式f（x+2a）4f（x）可化为x+2a2x，将恒成立问题转化为最值问题后，易得答案解答：解：y=|x|为偶函数，y=x为奇函数f（x）=x|x|奇函数当x0时，f（x）=x2为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数f（x）在R上增函数又不等式f（x+2a）4f（x）可化为（x+2a）|x+2a|4x|x|=2x|2x|=f（2x）故当xa，a+1时，不等式f（x+2a）4f（x）恒成立，即当xa，a+1时，不等式x+2a2x恒成立即x2a恒成立即a+12a解得a1故实数a的取值范围是（1，+）故答案为：（1，+）点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，恒成立问题，其中分析出函数的单调性并将不等式f（x+2a）4f（x）可化为x+2a2x是解答的关键14（4分）（xx宝山区二模）函数y=f（x）的定义域为1，0）（0，1，其图象上任一点P（x，y）满足x2+y2=1函数y=f（x）一定是偶函数；函数y=f（x）可能既不是偶函数，也不是奇函数；函数y=f（x）可以是奇函数；函数y=f（x）如果是偶函数，则值域是0，1）或（1，0；函数y=f（x）值域是（1，1），则y=f（x）一定是奇函数其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）考点：命题的真假判断与应用专题：作图题分析：由题意知：函数图象均为单位圆x2+y2=1的一部分，按选项的要求作出函数的图象，数形结合可得答案解答：解：如图1，图象满足题意，则可知错误，正确，正确；如图2，可知正确；如图3，为偶函数，但值域不是0，1）或（1，0，故错误，故答案为：点评：本题考查命题真假的判断，涉及函数的奇偶性和值域问题，属基础题二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15（5分）（xx宝山区二模）已知a（，），sina=，则tan（a）等于（）A7BC7D考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数专题：三角函数的求值分析：根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可解答：解：a（，），sina=，cosa=，则tana=tan（a）=7故选A点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题16（5分）（xx宝山区二模）一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于（）ABCD6考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：利用三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的表面积解答：解：由三视图知，几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，底面直角边的长为：1；棱柱的高为：1所以三棱柱的表面积为：2S底+S侧=3+故选B点评：本题考查三棱柱的三视图的判断，考查空间想象能力，计算能力17（5分）（xx宝山区二模）若直线ax+by=2经过点M（cos，sin），则 （）Aa2+b24Ba2+b24CD考点：基本不等式专题：不等式的解法及应用分析：利用题设中的直线ax+by=2经过点M（cos，sin），得到acos+bsin=2，结合同角关系式中的平方关系，利用基本不等式求得正确选项解答：解：直线ax+by=2经过点M（cos，sin），acos+bsin=2，a2+b2=（a2+b2）（cos2+sin2）（acos+bsin）2=4，（当且仅当时等号成立）故选B点评：本题主要考查了直线的方程、柯西不等式求最值等注意配凑的方法，属于基础题18（5分）（xx宝山区二模）某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则f（x）=AP+PF那么，可推知方程解的个数是（）A0B1C2D4考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：由题意可得当A、P、F共线，即x=时，f（x）取得最小值为，当P与B或C重合，即x=1或0时，f（x）取得最大值为+1由此作出函数的图象可得答案解答：解：由题意可得函数=AP+PF，当A、P、F共线，即x=时，f（x）取得最小值为，当P与B或C重合，即x=1或0时，f（x）取得最大值为+1故函数f（x）的图象应如图所示：而方程解的个数就是函数f（x）与y=的图象交点的个数，故方程解的个数应为2故选C点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化的数学思想，属中档题三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19（12分）（xx宝山区二模）如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是0.85米，底面的边长是1.5米（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？（精确到0.01米2）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：（1）确定棱锥的边长与棱锥的高，然后直接求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）求出棱锥的斜高，求出侧面积，即可得到制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板（精确到0.01米2）解答：（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（7分）解：（1）如图正四棱锥底面的边长是1.5米，高是0.85米=所以这个四棱锥冷水塔的容积是0.6375m3（2）如图，取底面边长的中点E，连接SE，=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板点评：本题考查棱锥的体积与侧面积的求法，考查计算能力20（14分）（xx宝山区二模）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P（1）若C是OA的中点，求PC；（2）设COP=，求POC周长的最大值及此时的值考点：余弦定理的应用；正弦定理专题：计算题；解三角形分析：（1）通过已知条件，利用余弦定理，就求出PC即可；（2）设COP=，利用正弦定理求出OC，然后求POC周长的表达式，利用两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求出最大值及此时的值解答：（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（8分）解：（1）在POC中，OP=2，OC=1由得PC2+PC3=0，解得（2）CPOB，在POC中，由正弦定理得，即，又记POC的周长为C（），则=时，C（）取得最大值为点评：本题考查解三角形的知识，正弦定理与余弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查分析问题解决问题的能力21（14分）（xx宝山区二模）已知椭圆（1）直线AB过椭圆的中心交椭圆于A、B两点，C是它的右顶点，当直线AB的斜率为1时，求ABC的面积；（2）设直线l：y=kx+2与椭圆交于P、Q两点，且线段PQ的垂直平分线过椭圆与y轴负半轴的交点D，求实数k的值考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由题意写出C点坐标，直线AB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点A、B的纵坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，代入数值即可求得面积；（2）联立直线l与椭圆方程消掉y得x的二次方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点H（x0，y0），由韦达定理及中点坐标公式可用k表示出中点坐标，由垂直可得kDHkPQ=1，解出即得k值，注意检验0；解答：解：（1）依题意，直线AB的方程为y=x，由，得，设A（x1，y1）B（x2，y2），；（2）由得（3k2+1）x2+12kx=0，=（12k）20，依题意，k0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点H（x0，y0），则，D（0，2），由kDHkPQ=1，得，解得所以实数k的值为点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、三角形面积公式，韦达定理、判别式是解决该类题目的常用知识，要熟练掌握22（16分）（xx宝山区二模）已知函数f（x）=x2+a（1）若是偶函数，在定义域上F（x）ax恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=1时，令g（x）=f（f（x）f（x），问是否存在实数，使g（x）在（，1）上是减函数，在（1，0）上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由考点：函数恒成立问题专题：函数的性质及应用分析：（1）把函数f（x）的解析式代入函数F（x）利用函数是偶函数求出b=0，把b=0代回函数F（x）的解析式，由F（x）ax恒成立分离出参数a，然后利用基本不等式求最值，则a的范围可求；（2）把a=1代入函数f（x）的解析式，求出函数g（x）解析式，由偶函数的定义得到函数g（x）为定义域上的偶函数，把函数g（x）在（，1）上是减函数，在（1，0）上是增函数转化为在区间（1，+）上是增函数，在（0，1）上是减函数，换元后利用复合函数的单调性得到换元后的二次函数的对称轴，由对称轴可求的值解答：解：（1）由F（x）是偶函数，F（x）=F（x），即bx+1=bx+1，b=0即F（x）=x2+a+2，xR又F（x）ax恒成立，即x2+a+2ax恒成立，也就是a（x1）x2+2恒成立当x=1时，aR当x1时，a（x1）x2+2化为，而，当x1时，a（x1）x2+2化为，而，综上：；（2）存在实数=4，使g（x）在（，1）上是减函数，在（1，0）上是增函数事实上，当a=1时，f（x）=x2+1g（x）=f（f（x）f（x）=（x2+1）2+1（x2+1）=x4+（2）x2+（2）g（x）=（x）4+（2）（x）2+（2）=g（x）g（x）是偶函数，要使g（x）在（，1）上是减函数，在（1，0）上是增函数，即g（x）只要满足在区间（1，+）上是增函数，在（0，1）上是减函数即可令t=x2，当x（0，1）时t（0，1）；x（1，+）时t（1，+），由于x（0，+）时，t=x2是增函数，记g（x）=H（t）=t2+（2）t+（2），故g（x）与H（t）在区间（0，+）上有相同的增减性，当二次函数H（t）=t2+（2）t+（2）在区间（1，+）上是增函数，在（0，1）上是减函数时，其对称轴方程为t=1，解得=4点评：本题考查了函数的性质，考查了函数的单调性与奇偶性的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了分离变量及利用基本不等式求参数的取值范围，考查了二次函数的单调性属难题23（18分）（xx宝山区二模）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=2，从an中抽出部分项，（k1k2kn）组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为q，其中（1）求a2的值；（2）当q取最小时，求kn的通项公式；（3）求k1+k2+kn的值考点：数列递推式；等比关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知：a1=2，令n=1即可得出；（2）当n2时，由nan+1（n1）an=an+n，（n=1时也成立）即可得出通项an解法一：数列an是正项递增等差数列，故数列的公比q1，由k2=2，3，经验证不符合题意，应舍去；若k2=4，则由a4=4得q=2，此时组成等比数列，可求出kn；解法二：设存在（k1k2kn）组成的数列是等比数列，则，即即可得出kn（3）利用（2）求出的kn，利用等比数列的前n项和公式即可得出解答：解：（1）令n=1得，即，又a1=2，（2）当n2时，由nan+1（n1）an=an+n，由（1）可知：nN*，都有数列an是以2为首项，为公差的等差数列，解法一：数列an是正项递增等差数列，故数列的公比q1，若k2=2，则由，得，此时，由解得，所以k22，同理k23；若k2=4，则由a4=4得q=2，此时组成等比数列，32n1=m+2，对任何正整数n，只要取m=32n12，即是数列an的第32n12项最小的公比q=2解法二：数列an是正项递增等差数列，故数列的公比q1，设存在（k1k2kn）组成的数列是等比数列，则，即k2、k3N*且k21所以k2+2必有因数3，即可设k2+2=3t，t2，tN，当数列的公比q最小时，即k2=4，q=2最小的公比q=2（3）由（2）可得从an中抽出部分项（k1k2kn）组成的数列是等比数列，其中k1=1，那么的公比是，其中由解法二可得k2=3t2，t2，tN，t2，tN所以点评：熟练掌握数列的通项与前n项和公式Sn之间的关系，等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式事件他的关键