D复合函数求导PPT学习教案

会计学1D复合函数求导复合函数求导)(),(ttfz定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处可微, ),(vu在点在点 t 可导, tzddz则复合函数且有链式法则vutt偏导数连续( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuzdddd第1页/共31页若定理中 ),(),(vuvuf在点例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但复合函数),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz可微可微(偏导连续偏导连续)减弱为偏导数存在偏导数存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu则定理结论不一定成立.第2页/共31页1) 中间变量多于两个的情形. , ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微 .tzdd321fff2) 中间变量是多元函数的情形.),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu例如,例如,yx第3页/共31页),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意:这里xzxfxz表示 f ( x, ( x, y ) )固定 y 对 x 求导xf表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导口诀口诀 :xfxvvfyvvf与不同,v分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导第4页/共31页,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx第5页/共31页,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2第6页/共31页,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全导数,etu ,costv 解解:tusintcos第7页/共31页解解:例例4. ),(xyyxfzyzxz,求zvuyxyxxzxuuzxvvz,yxu,xyv 设),(vufu),(vufvxuxv),(xyyxfu),(xyyxfvy),(1xyyxf),(2xyyxfy),(vufz yzyuuzyvvz),(xyyxfu),(xyyxfvx第8页/共31页为简便起见 , 引入记号,2121vuffuff ),(1zyxzyxff 具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy则zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff第9页/共31页设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.第10页/共31页例例1 .,sineyxvyxuvzu.,yzxz求)cos()sin(e yxyxyx利用全微分形式不变性再解例1. 解解:) (dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyxyxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx)(dyx)(dyx )cos()sin(eyxyxxyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy第11页/共31页一个方程所确定的隐函数及其导数一个方程所确定的隐函数及其导数 . 三三 隐函数的求导方法隐函数的求导方法 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .2) 方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.讨论讨论:第12页/共31页定理定理1.1. 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , 0)(,(, )(00 xfxFxfy并有连续导数(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件yxFFxydd第13页/共31页0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy若则yFxFxydd简记为第14页/共31页zxFFxzzyFFyz,0),(),(所确定的隐函数是方程设zyxFyxfz则有推导公式推广推广第15页/共31页0 xy)(, 01esinxyyyxyxyeFxx1xyFycos)0 , 0(cosexyyx, 求导,0 xdxdy0dd22xxyyxFFxydd解解例例7 yexxy cos22ddxy2cos) 1sin)()(cos(xyyyyexyyexx30dd22xxyx = 0 时，1,0yy第16页/共31页0 xy30dd22xxy)(, 01esinxyyyxyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yyyyxexey0 yx)0 , 0(cosexyyx 利用隐函数方程求导0 yx, 求导,0 xdxdy0dd22xxy第17页/共31页,04222zzyx解法解法1 利用隐函数方程求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导第18页/共31页设zzyxzyxF4),(222则两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx2,2xFx42 zFzzxFFxz第19页/共31页zxFFxz xz设F( x , y)具有连续偏导数, 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则)()(2221zyzxFF 已知方程故第20页/共31页对方程两边求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0第21页/共31页zx xz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf解解:11f 1zx2f yxzxzy211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy21fzxf21fzyf例例10 设, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz第22页/共31页 21fyzf法二：法二：211fxyf211fyxf , ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz0zxFFxzxzFFzx21fyzfxyFFyx21fxzf21fyzf),(),(zyxzyxfzzyxF设 xz21fzyf211fyxfzx 211fyxf21fzyfyx 21fzxf21fzyf第23页/共31页1. 复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是中间变量,vvufuvufzvud),(d),(d第24页/共31页3. 隐函数存在定理 (了解)4. 隐函数求导方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式 .第25页/共31页P265 22 (4)(5)(6)(8)(9) 23(2)(4)(6); 24；25 第26页/共31页,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf第27页/共31页) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数,3) 1 , 1 (yf解解: 由题设23)32( (考研考研)第28页/共31页)(),(ttfz定理定理. 若函数,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处可微, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证证: 设 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且有链式法则vutt有增量u ,v ,第29页/共31页,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd第30页/共31页