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会计学1D二元函数的极值二元函数的极值22(,),zf xy xy解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 22,uxy vxy2uvuvzuvffyfxfxxx(2 )22 (2 )uuuvvvuvvy f yfxfx f yfx.)uvvuff设22(2)uvzyfxfxx22442uuuvvvvy fxyfx ff其中f具有二阶连续偏导数,求222,.zzxx y (2 )2 (2 )uuuuvvuvvfy f xfyx f xfy2(2)uvzyfxfx yy 22(4)2()uuvvuvuxy ffxyff(因f具有二阶连续偏导数, 所以看清题目要求,不要少做题.uxzvy,uvf ff第1页/共27页 第八章 二 元 函 数 的 极 值一、二元函数的极值二、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、最小二乘法第2页/共27页掌握二元函数的极值判别条件, 会求解简单的二元函数极值问题了解条件极值概念和拉格朗日乘数法了解最小二乘法的原理机动 目录 上页 下页 返回 结束 重点第3页/共27页回顾一元函数的极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (x)在x=x0可导, x=x0为极值点 f (x0)=0. f(x)在x=x0的两侧异号 f(x0)=0, f”(x0)0 或 f”(x0)0, y0. 由得驻点 根据实际问题可知，S一定存在最小值，所以33(,)VV是使S取得最小值的点,即当x=y=z=3V时, 函数S取得最小值 236.V亦即当箱子的长、宽、高相等时, 所用的材料最少. 则有则V=xyz,第12页/共27页22860.01(33)400 xyxxyy( , )80.01(6)0 xL x yxy22( , )(109 )400230.01(33)L x yxyxyxxyy求两种产品各生产多少, 工厂可取得最大利润?机动 目录 上页 下页 返回 结束 与9元, 生产x单位的产品I 与生产y单位的产品 II 的总22400230.01(33)xyxxyy解:(元) ( , )60.01(6 )0yLx yxy设 L(x, y) 表示产品与分别生产x与y单位时所得驻点(120,80).某工厂生产两种产品与, 出售单价分别为10元费用是:得的总利润. 由因为总利润等于总收入减去总费用, 所以第13页/共27页机动 目录 上页 下页 返回 结束 0.060,0.01,0.06xxxyyyLLL 再由 由题意知, 生产120件产品, 80件产品时所得利润而223(120,80)( 0.01)( 0.06)3.5 100P 最大.所以,当x=120和y=80时, L(120,80)=320是极大值.第14页/共27页机动 目录 上页 下页 返回 结束 无条件极值条件极值如例6的生产问题, 此时无极值. 一定受到生产能力的限制, 自变量不受条件约束时的极值自变量受条件约束时的极值受约束, 故实际中多数情况是条件极值问题.如果产量不求收益最大时的产量就是无条件极值问题,因为实际中, 产量当然这不符合实际,包括资金、人力、 固定设备等的约束.产量越高, 收益越大,第15页/共27页第一步 作拉格朗日函数 求解条件极值问题的一种方法.( , )f x y( , )( , )( , ),F x yf x yg x y0yyyFfg( , )0g x y 0 xxxFfg 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为拉格朗日乘数. 求函数步骤:得点第二步 求解 消去, 解出x,y， ( , )0g x y 第三步 判别00(,),xy此点为可能极值点. 由问题的具体性质判断) 在约束条件下的极值.问题:00(,)xy(用充分条件或是否为极值点.第16页/共27页( , , )( , , )( , , )( , , ),F x y zf x y zg x y zh x y z0 xxxxFfgh( , , )0, ( , , )0g x y zh x y z机动 目录 上页 下页 返回 结束 (约束条件一般应少于未知量的个数)下的极值的方法： ( , , )f x y z000(,),xyz判断它是否为极值点. 消去, 解出x,y,z, 得点 作拉格朗日函数 由在约束条件为拉格朗日乘数；, 0yyyyFfgh0zzzzFfgh( , , )0g x y z ( , , )0h x y z 第17页/共27页机动 目录 上页 下页 返回 结束 0Vxyz用拉格朗日乘数法求本节例6中容积一定的长方消去, 解出 即求函数 2()Sxyyzzx条件 解:体表面积最小值。在约束下的最小值。( , , )2()()F x y zxyyzzxVxyz2()0 xxxFfgyzyz2()0yyyFfgxzxz2()0zzzFfgxyxy0Vxyz3.xyzV方程组一般为非线性方程组,常常难于求得解析解.第18页/共27页机动 目录 上页 下页 返回 结束 的最短距离。解:的距离r 满足 到平面 到任一点 应满足条件为 求由一定点000(,)xyz0AxByCzD000(,)xyz点( , , )x y z2222000()()()rxxyyzz( , , )x y z点0.AxByCzD222000( , , )()()()()F x y zxxyyzzAxByCzD令02()0 xFxxA 02()0yFyyB 02()0zFzzC0AxByCzD0002222()AxByCzDABC得000min222AxByCzDrABC则此即空间一点到平面 0AxByCzD的垂直距离公式。 22222(),4rABC第19页/共27页机动 目录 上页 下页 返回 结束 经验公式之间的数学关系式.最小二乘法是建立经验公式的一种方法.将这些数据作为平面上点的坐标,出这些点.用实验或调查得到的数据, 如何确定a, b?为了确定变量x和y之间的相依关系, 为x与y之间存在线性关系, n次测量或调查,1122( ,), (,), (,).nnx yxyxy.yaxb建立的各个量我们对它们进行得到n对数据在直角坐标系中描若这些点几乎分布在一条直线上,我们就认直线的方程为第20页/共27页a, b应使直线与这n个点“最接近”, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 最小.个函数的极值的问题。接近”最合理的表述应该是使21()niiiSaxby把S看成a, b的函数, “最求方程中a, b值的问题就是求这测量值点直线上的点( ,)iix y( ,)iix axboxyixiyyaxb第21页/共27页12()0naiiiiSaxby x 211111nnniiiiiiinniiiiaxbxx yaxnby12()0nbiiiSaxby 机动 目录 上页 下页 返回 结束 最小?其中111221111()nnniiiiiiinniiiix yxynaxxnbyax 解出a,b就得到最小二乘法公式：1111,nniiiixxyynn21()niiiSaxby22xyxyaxxbyax第22页/共27页0.7936,1.6186ab机动 目录 上页 下页 返回 结束 如表所列。0.79361.6186代入公式得 试利用表中数据建立变量 依赖于变量 的线性关系.解: 列表计算各和数(i =1,2,6)两个相依的量与, 由确定, 经6次测试, 得数据i81012141618i81010.4312.7814.416变量依赖于变量的线性关系是 ii i i2 ii 1886464 78 71.61 1084 986.48 111221111()nnniiiiiiinniiiix yxynaxxnbyax 第23页/共27页 1. 求下列函数的极值 又所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 290zxyx229620zxxyyxy260zxyy 4,1xy 22( 4,1)( 1)230P 2222220,2,1zzzxyx y 解:因此函数在点(4,1)取得极小值由得驻点411.xyz 第24页/共27页 2. 欲围一个面积为60米2 的矩形场地, 正面所用材料每米造价10元, 其余三面每米造价5元, 求场地长宽各为多少米时, 所用材料费最少. 材料费为z元.消去, 解得机动 目录 上页 下页 返回 结束 105(2),60zxyxxy( , )1510(60)F x yxyxy100yFx 150 xFy 60 xy 2 10,3 10 xy解:设长、宽各为x,y米,设显然存在最小值,所以长宽各为2 10,3 10 xy米时材料费最少.也可以代入消去y第25页/共27页 1. 二元函数的极值 2. 条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 2000000(,)(,)(,)0 xyxxyyfxyfxyfxy0000( , )(,),(,)f x yxyxy在可导为极值点0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy00(,)xy 为极值点必要条件充分条件拉格朗日乘数法, 代入法作业 P365 19(2),(3); 20; 21; 22; 23(2) 0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy0000(,)0,(,)0,xxxxfxyfxy极大,极小.第26页/共27页
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