初中数学几个常用模型

.初 中 数 学 几 个 数 学 模 型模型、l:r=3600:n0圆锥母线长5cm，底面半径长3cm，那么它的侧面展开图的圆心角是 216 。劳技课上，王芳制作了一个圆锥形纸帽，其尺寸如图则将这个纸帽展开成扇形时的圆心角等于（ C ） A45 60 C90 120要制作一个圆锥形的模型，要求底面半径为cm，母线长为cm，在一个边长为8cm的正方形纸板上，能否裁剪制作一个这种模型（侧面和底面要完整，不能拼凑）（C）（）一个也不能做（）能做一个（）可做二个（）可做二个以上4、（2004河北T7）r,扇形的半径为R,则圆半径与扇形半径之间的关系是 （D ）A、2r=R B、 C、 D、 模型2、角平分线+平行=等腰三角形如图，ABC中BD、CD平分ABC、ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（ B ）.（A）EFBE+CF （B）EF=BE+CF（C）EFBE+CF （D）不能确定模型3、一副三角板在ABC中，a=1,b=,A=300，则B=_60_度。两个全等的含300, 600角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC试判断EMC的形状，并说明理由（等腰直角三角形）（2006邵阳T8. ） 将一副三角板按图（一）叠放，则AOB与DOC的面积之比等于（1：3 ）（2005年浙江绍兴T18）（以下两小题选做一题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分为3分。若两小题都做，以第（1）小题计分）选做第_小题，答案为_（1） 将一副三角板如图叠放，则左右阴影部分面积:之比等于_（2） 将一副三角板如图放置，则上下两块三角板面积:之比等于_（2006年武汉市T2410分）已知：将一副三角板(RtABC和RtDEF)如图摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将RtDEF绕点D顺时针方向旋转角(090)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。（1）当30时(如图)，求证：AG=DH；（2）当60时(如图)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当090时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图说明理由。4560AEDBCFAGDHMEFCB(N)第24题图图图AGDHMEFCBN第24题图图EFMNDABGH图C一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成,利用这副三角板构成一个含有150角的方法较多,请你画出其中两种不同构成的示意图,并在图上标出必要的标注,不写作法.将一副三角尺如图摆放一起,连接AD, 则ADB的余切值为 .如图，中，过点作于，过作于，过作于，这样继续作下去，线段能等于（为正整数） （第题图） (A) (B) (C) (D)已知AOB=90，OM是AOB的平分线，按以下要求解答问题：（1）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与边OA，OB交于点C，D.在图甲中，证明：PC=PD；在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求POD与PDG的面积之比.（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长.ABCOPMD图甲图乙DMPOCBA图丙MOBA如图，客轮沿折线ABC从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线ABC的某点E处，已知ABBC200海里，ABC90，客轮速度是货轮速度的2倍。 （1）选择：两船相遇之处E点（ ）。A、在线段AB上 B、在线段BC上 C、可以在线段AB上，也可以在线段BC上（2）求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?（结果保留根号）。 将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC 上滑动，直角的另一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。设A、P两点间的距离为x，（1）当点Q在CD上时，线段PQ、PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察到的结论。（2）当点Q在CD上时，求四边形PBCQ的面积y与x的函数解析式，并求出X的取值范围；（3）当点P在线段AC上滑动时，三角形PCQ是否能为等腰三角形？如果可能，指出所有可能使三角形PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的X的值；如果不能说明理由（以下三个图的形状，大小相同，以供操与解题时备用）解：（1）PQ=PB证明：连接BD交AC于点O，连接PD，如图（1）四边形ABCD是正方形AC垂直平分BD，PB=PD， 图 (1) .4分（2）连接BD交AC于点O，作QE于点E（如图2） 4分（3）可能当P与A重合时，Q与D重合，有PQ=QC，X=0当PC=CQ时，且Q在DC的延长线上时，（图形3），连接BD交AC于点O，连接BQ，则CQ=PC=由（1）证得，PB=PQ，由 .3分 12.如图，操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与边DC或射线DC相交于点Q。当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； 当点Q在边CD运动上时，设四边形PBCQ的面积为S时，试用含有x的代数式表示S： 当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由。 过点P作 交AB于E, 过点P作交BC于F -1分PE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE BE=PF -2分 -3分 -4分 PB=PQ -5分设PM=x,BM=1-x, QC=1-x-x=1-2x-8分有可能成为等腰三角形，求出x值-11分13（12分）用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图131），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.（1）BE=CF. 2分证明：在ABE和ACF中， BAE+EAC=CAF+EAC=60， BAE=CAF.AB=AC，B=ACF=60，ABEACF（ASA）. 4分BE=CF. 6分（2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明ABE和ACF全等，BE和CF是它们的对应边.所以BE=CF仍然成立.10分27（8分）等腰ABC，AB=AC=，BAC=120，P为BC的中点，小慧拿着含 30角的透明三角板，使30角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转（1）如图1，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时问BPE与CFP是否相似；（2）操作：将三角板绕点P旋转到图2情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F 探究：BPE与CFP还相似吗？（只需写出结论） 探究：连结EF，BPE与PFE是否相似？请说明理由； 设EF=m，EPF的面积为S，试用m的代数式表示S（1）如图，由题意得FPC+BPE=150, BEP+BPE=150 BEP=FPC 又B=C=30BPECFP 2分 （2）BPE与CFP还相似 3分 BPE与PFE相似， 4分 由BPE与CFP相似，得 ，又BP=CP ,即 ，又B=EPF=30 BPEPFE 6分 如图，BPEPFE ，PEB=PEF 作PHBE于点H,PGEG于点G,则PH=PG 7分 在RtBPH中, = S= 8分模型4知二求四在上图中隐含有以下重要性质：两对相等的锐角；A= BCD ,B= ACD 三对相似三角形:ACD CBDABC, AC2=ADAB BC2=BDAB CD2=BDAD边之比的推广面积:ACBC=ABCD勾股定理AB是ABC外接圆的直径 模型5增长率增长率与百分数问题iii某商品降价20%后出售，一段时间后恢复原价，则应在售价的基础上提高的百分数是 （ ）A、20% B、25%C、30% D、35%某商品经过两次降价，由每件100元降至81元，则平均每次降价的百分率为（ ）A、8.5% B、9% C、9.5% D、10%iii模型6垂径定理如图：一个残破的圆钢轮，为了再铸做一个同样大小的圆轮，请用圆规、直尺作出它的圆心（不用写作法，保留作图痕迹）。 在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后， 截面如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最 大深度是_m.模型7配方法用配方法解关于x2+px+q=0时，此方程可变为（A）A B C D模型8三个非负量初中阶段学过三个非负量：平方数，绝对值，算术平方根。它们具有以下性质：非负性； n个非负量之和仍为非负量；若n个非负量之和为0，则每个非负量必须同时为0；当a=0 时，、都有最小值，相反都有最大值。 如图所示，化简（ ）A、 B、 C、 D、 模型9全等三角形模型i（2006年安徽T 13，3分）如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C 到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的边长是 ii（2005年温州T18，3分）在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4_。（2004年临沂T21，7分）如图ABC中，B=2A, AB=2BC。求证：C=90模型10方程模型（2004年河北T 20，4分）、扑克牌游戏 小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步 分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同； 第二步 从左边一堆拿出两张，放入中间一堆； 第三步 从右边一堆拿出一张，放入中间一堆； 第四步 左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。 这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆的张数是 。（200年山东枣庄T ，分）如图所示，若将正方形分成个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则的值为 ；i（2006年山东枣庄T 18，4分）右图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是 .ii（200 年 T ， 分）如图，一个长方形被划分成大小不等的6个正方形，已知中间的最小的正方形的面积为1平方厘米，则这个长方形的面积为 .友情提醒：北师大版 年级 册P 阅读材料右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（） (A) 69(B) 54 (C) 27 (D)40模型11不等式模型（2004年临沂T11，3分）点P(x+1, x1)不可能在第（ ）象限A：一 B：二 C：三 D：四（2004年临沂T10，3分）如图，直线y=kx+b与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，3），则不等式kx+b+30的解集是（ ）A：x0 B：x0 C：x2 D：x2模型12函数模型飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是S=60t 2. 飞机着陆后滑行多远才能停下来？（新人教版九年级下册P26T3）汽车刹车后行驶的距离S（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）的函数关系式是S=15t -6t2,汽车刹车后到停下来前进了多远？（新人教版九年级下册P31T5）（2009年兰州2、）如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O-C-D-O的路线作匀速运动.设运动时间为秒, APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( ). （2009山西省太原市）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）PAOBstOsOtOstOstABCD解析：本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点P从点O向点A运动，OP逐渐增大，当点P从点A向点B运动，OP不变，当点P从点B向点O运动，OP逐渐减小，故能大致地刻画与之间关系的是C4、如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆弦AD交小圆于点E和F为了计算截面(图中阴影部分)的面积，甲、乙、丙三位同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD的长和EF的长其中可以算出截面面积的同学是( ) A甲、乙 B丙 C甲、乙、丙 D无人能算出（2004年浙江温州T24，12分)水是生命之源,水资源的不足严重制约我市的工业发展,解决缺水的根本在于节约用水,提高工业用水的重复利用率、降低每万元工业产值的用水量都是有力举措。据台州日报4月26日报导,目前,我市工业用水每天只能供应10万吨,重复利用率为45,先进地区为75,工业每万元产值平均用水25吨,而先进地区为10吨,可见我市节水空间还很大。(1)若我市工业用水重复利用率(为方便,假设工业用水只重复利用一次)由目前的45增加到60,那么每天还可以增加多少吨工业用水？(2)写出工业用水重复利用率由45增加到x（45x100）,每天所增加的工业用水y(万吨)与之间的函数关系式。(3) 如果我市工业用水重复利用率及每万元工业产值平均用水量都达到先进地区水平,那么与现有水平比较,仅从用水的角度我市每天能增加多少万元工业产值？（2006年重庆T26，）.机械加工需要拥有进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克.为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关.（1） 甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍然为60%.问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2） 乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增加1.6%. 这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克. 问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少？握手问题iiiiii梯子问题iiiiii比值(2005年天津T9，3分) 如图，若正A1B1C1内接于正ABC的内切圆，则的值为(A) （B） (C) （D） (2005年重庆T12，3分)(2005年重庆T24，3分)(2005年吉林T23，3分)如图，G是正六边形ABCDEF的边CD的中点，连结AG交CE于点M，则GM：MA= ；（2006年武汉市T2511分）如图ABC中，AB=AC, EF/BC, 且O内切于四边形BCFE。1）当时,sinB= . 2) 当时，sinB等于多少？请说明理由。作图题（2005年湖北荆门T4，.）用一把带有刻度的直角尺，可以画出两条平行线；可以画出一个角的平分线；可以确定一个圆的圆心.以上三个判断中正确的个数是（）A、0个B、1个C、2个D、3个 几个有用的结论和图形(2005年天津T5，3分) 如图，在ABCD中，EF/AB，GH/AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（A）7 个 （B）8个（C）9个 （D）11个(2006年T5，3分)（2006年伊春T20，）如图，在矩形ABCD中，EFAB，GHBC，EF、GH的交点 P在BD上，图中面积相等的四边形有( )(A)3对 (B)4对 (C)5对 (D)6对(2005年重庆T32，分)如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N如果AB=4，AD=6，O M=,ON=则 与的关系是（ ）A B C DNOABDCM第11题图. 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由BAGDCFE（第20题）823为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE。（精确到）26（本题6分）（1）如图一，等边ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边EDC，连结AE。求证：AE/BC；（2）如图二，将(1)中等边ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形。所作EDC改成相似于ABC。请问：是否仍有AE/BC？证明你的结论。 28（本题8分) 如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10，0)，C点坐标为(0，6)，D是BC边上的动点(与点B，C不重合)，现将COD沿OD翻折，得到FOD；再在AB边上选取适当的点E，将BDE沿DE翻折，得到GDE，并使直线DG、DF重合。(1)如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；(2)设D(a，6)，E(10，b)，求b关于a的函数关系式，并求b的最小值； (3)一般地，请你猜想直线DE与抛物线的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点。 已知实数满足，那么的值是（ ） 或 或 26.（本题满分10分）在ABC中，借助作图工具可以作出中位线EF，沿着中位线EF一刀剪切后，用得到的AEF和四边形EBCF可以拼成平行四边形EBCP，剪切线与拼图如图示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示，在ABC中，增加条件，沿着一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；在ABC中，增加条件，沿着一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；在ABC中，增加条件，沿着一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置在ABC（ABAC）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是：然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置.图示1ABCPFE（E）（A）图示2图示3图示4图示527.（本题满分10分）某校初中三年级270名师生计划集体外出一日游，乘车往返，经与客运公司联系，他们有座位数不同的中巴车和大客车两种车型可供选择，每辆大客车比中巴车多15个座位，学校根据中巴车和大客车的座位数计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少用一辆，而且师生坐完后还多30个座位.求中巴车和大客车各有多少个座位？客运公司为学校这次活动提供的报价是：租用中巴车每辆往返费用350元，租用大客车每辆往返费用400元，学校在研究租车方案时发现，同时租用两种车，其中大客车比中巴车多租一辆，所需租车费比单独租用一种车型都要便宜，按这种方案需要中巴车和大客车各多少辆？租车费比单独租用中巴车或大客车各少多少元？浙江省舟山市2006年204分小刚中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：洗锅盛水2分钟；洗菜3分钟；准备面条及佐料2分钟；用锅把水烧开7分钟；用烧开的水煮面条和菜要3分钟，以上各道工序，除外，一次只能进行一道工序，小刚要将面条煮好，最少用_12_分钟(2006年浙江省金华T16.5分）如图，点M是直线y23上的动点，过点M作MN垂直于轴于点N，轴上是否存在点P，使MNP为等腰直角三角形.小明发现：当动点M运动到（1，1）时，y轴上存在点P（0，1）,此时有MN=MP，能使NMP为等腰直角三角形.那么，在y轴和直线上是否还存在符合条件的点P和点M呢？请你写出其它符合条件的点P的坐标 (2006年浙江省金华T23.12分)初三(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下的课题研究：用一定长度的铝合金材料,将它设计成外观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.小组讨论后,同学们做了以下三种试验: 图案(1) 图案(2) 图案(3) 请根据以上图案回答下列问题: (1)在图案(1)中,如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长度和)为6m,当AB为1m,长方形框架ABCD的面积是 m2;(2)在图案(2)中,如果铝合金材料总长度为6m,设AB为m,长方形框架ABCD的面积为 1 (用含的代数式表示)；当AB m时, 长方形框架ABCD的面积最大;在图案(3)中,如果铝合金材料总长度为m, 设AB为m,当AB= m时, 长方形框架ABCD的面积最大.(3)经过这三种情形的试验,他们发现对于图案(4)这样的情形也存在着一定的规律 探索: 如图案(4), 如果铝合金材料总长度为m共有条竖档时, 那么当竖档AB多少时,长方形框架ABCD的面积最大. （2005年南平市）如图，已知：RtABC中，C=90，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D，E两点(D、E不与B、A重合)如图是97的正方形点阵，其水平方向和竖直方向相邻的两格点间的长度都是1个单位，以这些点为顶点的三角形称为网格三角形若A(2，1)、B(1，1)，解答下列问题：（1）请在图中画出以AB为边且面积为3的一个网格三角形，记为ABC，这样的三角形最多可以画 个，其中周长最小的三角形的周长是 ；（2）将你所画的三角形绕着点A沿逆时针方向旋转90，画出旋转后的图形，记为AB1C1，点B1的坐标是 .1、初中课本素材电脑桌与坐姿 （2005年聊城卷T）模型19模型20模型21模型22模型23模型24模型25模型26模型27模型28模型29模型30模型31模型32模型33模型34模型35模型36模型37模型38模型39模型40模型41模型42模型43精选文档.