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第一套试题一（10分）、设是数域F上的线性空间的线性变换，分别为的三个互不相同的特征值，的特征向量。（1）证明：，是线性无关的；（2）证明：+不是的特征向量。二（10分）、求矩阵的Smith标准形。三（10分）、求矩阵 的Jordan标准形. 四（12分）、设有正规矩阵，试求酉矩阵，使为对角阵。 五（10分）、设。验证： 六（12分）、验证矩阵为正规矩阵，并求的谱分解。七（14分）、设。计算（1）的谱半径；（2），；（3）设，证明：，其中是的任何一种范数。八（12分）、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。（1）， （2）九（10分）、在以下题目中任选一个。（1） 设有Hermite矩阵试证：是正定的充要条件，是存在可逆矩阵使（2） 试证：矩阵相似于矩阵，其中为非零常数, 为任意常数.（3） 设为一个阶矩阵且满足，证明：相似于一个对角矩阵。第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设+=0， 用作用式两端，有+=0 -，有 再用作用式两端，有 -，有。由于互不相等，因此，将其代入，有，利用，有。故，是线性无关的。（2）用反证法。假设+是的属于特征值的特征向量，于是有即由于，线性无关，因此，这与互不相等矛盾。所以，+不是的特征向量。二（10分）、解:三（10分）、解: ， 。四（12分）、解：令解齐次方程组解齐次方程组解齐次方程组五（10分）、解：； 又，； 显然六（12分）、解：由于，所以是正规矩阵。由 得的特征值为 。属于特征值的正交单位特征向量为 ；属于的单位特征向量为。因此 的正交投影矩阵为 ； 所以的谱分解为 七（14分）、解：的特征多项式为，则特征值为，。（1）的谱半径为。（2）容易计算的1范数为；的范数为；因为，则的特征多项式为，所以的特征为，故的2范数为。 （3）证明：设的特征值是，对应的特征向量为，则，。两边取范数，得，从范数的相容性，得，因为，则，这样。由于上式对任意的特征值都成立，故 。 八（12分）、讨论下列矩阵幂级数的敛散性。解：（1）设，则的特征值为， 从而的谱半径为。因为幂级数的收敛半径为， 则，从而是发散的。 （2），则的特征值为，从而的谱半径为。因为幂级数的收敛半径为， 则，故是绝对收敛的。 九（10分）、在以下题目中任选一个。（4） 证：必要性：充分性：因为是Hermite矩阵，所以是正规矩阵，因此存在酉矩阵使又正定，所以都大于0；因此则（2）证: , , 显然 的行列式因子为:， 的行列式因子为:， 于是 与具有相同的行列式因子, 从而 （3）证：设是的任意一个特征值，是的属于特征值的特征向量，即，那么由，可得，于是的特征值为2和3. 注意到,所以.另一方面，所以，。设，则。于是的基础解系有个解向量，即有个线性无关的特征向量。再看的基础解系有个解向量，即有个线性无关的特征向量。由于不同特征值的特征向量线性无关，因此有个线性无关的特征向量，于是可对角化。
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