线性规划及其基本理论学习教案

线性规划线性规划(xin xn u hu)及其基本理及其基本理论论第一页，共44页。可行解、最优解基阵、基解、基可行解线性规划的基本性质第1页/共44页第二页，共44页。第2页/共44页第三页，共44页。第3页/共44页第四页，共44页。对应不同方案有不同目标值，对应不同方案有不同目标值，可表示成目标函数。可表示成目标函数。第4页/共44页第五页，共44页。件与目标函数均是线性的，我们件与目标函数均是线性的，我们就称之为线性规划问题。就称之为线性规划问题。第5页/共44页第六页，共44页。第6页/共44页第七页，共44页。 3 5单位单位(dnwi)产品获利产品获利8 1236 1 2 3 2 3 4ABC生产能力生产能力工时单耗工时单耗甲甲 乙乙 产品产品车间车间第7页/共44页第八页，共44页。第8页/共44页第九页，共44页。水泥水泥(公斤公斤/m2)4000(千工日千工日)147000(千块千块)150000(吨吨)20000(吨吨)110000(千元千元)资源限量资源限量3.518025120大模住宅大模住宅3.019030135壁板住宅壁板住宅4.521011012105砖混住宅砖混住宅人工人工(工日工日/m2)砖砖(块块/m2)钢材钢材(公斤公斤/m2)造价造价(元元/m2) 资源资源住宅体系住宅体系第9页/共44页第十页，共44页。【例【例1.2】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备分别需要要在设备A、B上加工上加工(ji gng)，需要消耗材料，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工在不同设备上加工(ji gng)及所需要的资源如表及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的加工所示。已知在计划期内设备的加工(ji gng)能力各为能力各为200台时，可供材料分别为台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？划，使企业在计划期内总的利润收入最大？线性规划问题(wnt)举例 产品产品 资源资源 甲甲 乙乙 丙丙现有资源现有资源设备设备A 3 1 2 200设备设备B 2 2 4 200材料材料C 4 5 1 360材料材料D 2 3 5 300利润（元利润（元/件）件） 40 30 50 产品产品(chnpn)资源消耗表资源消耗表第10页/共44页第十一页，共44页。【例【例1.3】某商场决定：营业员每周连续工作】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息天后连续休息2天，天，轮流休息。根据统计轮流休息。根据统计(tngj)，商场每天需要的营业员如表，商场每天需要的营业员如表1.2所所示。示。表表1.2 营业员需要量统计表营业员需要量统计表商场商场(shngchng)人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场(shngchng)总的营业员最少。总的营业员最少。 星期星期需要人数需要人数星期星期需要人数需要人数一一300五五480二二300六六600三三350日日550四四400线性规划问题(wnt)举例第11页/共44页第十二页，共44页。【例【例1.4】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根的轴各一根(y n)，这些轴的规格分别是，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m。现在要制造。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？ 线性规划(xin xn u hu)问题举例第12页/共44页第十三页，共44页。【解】这是一个条材下料问题【解】这是一个条材下料问题 ，设切口宽度为零。，设切口宽度为零。 设一根圆钢设一根圆钢(yun n)切割成甲、切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y34表示，表示，求这个不等式关于求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是组，也就是有有10种下料方式，如表种下料方式，如表1.3所示。所示。表表13 下料方案下料方案(fng n) 方案方案规格规格 1234 5678910需求量需求量y1(根根) 221 11 0 00001000y2 102 10 4 32101000y3 010 23 0 12451000余料（余料（m）00.30.5 0.1o.4 00.30.60.20.5第13页/共44页第十四页，共44页。设设xj(j=1,2,10)为第为第j种下料方案所用种下料方案所用(su yn)圆钢的根数。则用料最少数学模型为圆钢的根数。则用料最少数学模型为:注意：（）求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯注意：（）求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯(mop)的长度；的长度；（）最好将毛坯（）最好将毛坯(mop)长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯(mop)，再，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。（）如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。（）如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。102 , 1, 010005423210002342100022min10987542987643154321101，jxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxZjjj第14页/共44页第十五页，共44页。【例【例1.5】配料问题。某钢铁公司生产一种合金】配料问题。某钢铁公司生产一种合金(hjn)，要求的成分规格是：锡不少于，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌，锌不多于不多于15%，铅恰好，铅恰好10%，镍要界于，镍要界于35%55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金废弃，现要求每吨合金(hjn)成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金(hjn)含量含量没有发生变化。没有发生变化。表表1.4 矿石矿石(kungsh)的金属含的金属含量量 合金合金矿石矿石锡锡%锌锌%铅铅%镍镍% 杂质杂质%费用（元费用（元/t ）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190线性规划(xin xn u hu)问题举例第15页/共44页第十六页，共44页。解解: 设设xj（j=1,2，5）是第）是第j 种矿石数量种矿石数量(shling)，得到下列线性规划模型，得到下列线性规划模型 注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题虑进去，有可能是非线性关系。配料问题(wnt)也称配方问题也称配方问题(wnt)、营养问题营养问题(wnt)或混合问题或混合问题(wnt)，在许多行业生产中都能遇到。，在许多行业生产中都能遇到。1234512451345135123451234512min3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3450.40.80.4510,1,2,5jxxxxj第16页/共44页第十七页，共44页。【例【例1.6】投资问题。某投资公司在第一年有】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年万元资金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使假使(jish)第一第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。最多。线性规划问题(wnt)举例第17页/共44页第十八页，共44页。【例【例1.7】均衡配套生产问题。某产品由】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、件甲、3件乙零件组装而成。件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在上加工，每件甲零件在A、B上的加工时上的加工时间分别为间分别为5分钟和分钟和9分钟，每件乙零件在分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为上的加工时间分别为4分分钟和钟和10分钟。现有分钟。现有2台设备台设备A和和3台设备台设备B，每天可供加工时间为，每天可供加工时间为8小时。小时。为了保持为了保持(boch)两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。每天产品的产量最大。线性规划问题(wnt)举例第18页/共44页第十九页，共44页。假定线性规划假定线性规划(xin xn u hu)问题有问题有n个决策变量，个决策变量，m个约束条件。个约束条件。一般地，线性规划一般地，线性规划(xin xn u hu)问题数学模型中可表示成如下形问题数学模型中可表示成如下形式：式：112211112211211222221122maxmin,01,2,nnnnnnmmmnnmjzc xc xc xa xa xa xbba xa xa xa xaxaxbjnx（或） （或） （或） （或）第19页/共44页第二十页，共44页。性规划的标准形式，非标准型性规划的标准形式，非标准型可以转化可以转化(zhunhu)为标准型。为标准型。标准形式为：标准形式为：目标函数极大化，目标函数极大化，约束条件为等式，约束条件为等式，右端常数项右端常数项bi0，决策变量非负。决策变量非负。第20页/共44页第二十一页，共44页。第21页/共44页第二十二页，共44页。第22页/共44页第二十三页，共44页。12( ,)nCc cc价值向量111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa系数矩阵12mbbbb资源向量12nxxXx决策向量12A(,)nPPP第23页/共44页第二十四页，共44页。第24页/共44页第二十五页，共44页。第25页/共44页第二十六页，共44页。 例例 1.8 min z = x1 +2 x2 -3 x3 x1 +2 x2 - x3 5 2x1 +3 x2 - x3 6 -x1 - x2 + x3 -2 x1 0, x3 0第26页/共44页第二十七页，共44页。【例【例1.9】将下列】将下列(xili)线性规划化为标准型线性规划化为标准型 3213minxxxZ无符号要求、32132132132100)3(523)2(3) 1 (82xxxxxxxxxxxx如何化线性规划(xin xn u hu)标准形式第27页/共44页第二十八页，共44页。如何化线性规划标准(biozhn)形式332133maxxxxxZ 05)(233826543321633215332143321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx、第28页/共44页第二十九页，共44页。 当某个当某个(mu )变量变量xj0时时,令令x/j=xj 。 当某个当某个(mu )约束约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束式，例如约束 974321xxx将其化为两个将其化为两个(lin )不等式不等式 974974321321xxxxxx再加入松驰变量再加入松驰变量(binling)化为等式。化为等式。 如何化线性规划标准形式第29页/共44页第三十页，共44页。解称为线性规划问题解称为线性规划问题(wnt)的的最优解。最优解。若若X*是最优解，则对任意的是最优解，则对任意的XD ，恒有，恒有 C X*C X。第30页/共44页第三十一页，共44页。mnmmnnaaaaaaaaaA,212222111211为为mn维系维系(wix)数矩阵，秩为数矩阵，秩为m。 称系数矩阵称系数矩阵A中中m个线性独立的列向量构成的矩阵个线性独立的列向量构成的矩阵B为线性规划问题的一个基。为线性规划问题的一个基。矩阵矩阵B非奇异，非奇异，|B|0，存在逆阵，存在逆阵。 ),(,21212222111211mmmmmmmPPPaaaaaaaaaB |B|0 , B为非奇异子矩阵；为非奇异子矩阵； 当当m=n时，基矩阵唯一，当时，基矩阵唯一，当mn时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过A中最多有中最多有mnC第31页/共44页第三十二页，共44页。【例【例1.11】线性规划】线性规划(xin xn u hu) 求所有求所有(suyu)基矩阵。基矩阵。 第32页/共44页第三十三页，共44页。TTT,BNXXX第33页/共44页第三十四页，共44页。在上例中在上例中B2的基向量是的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量是中的第一列和第四列，其余列向量是非基向量，非基向量，x1、x4是基变量，是基变量，x2、x3、x5是非基变量。基变量、是非基变量。基变量、非基变量是针对某一确定非基变量是针对某一确定(qudng)基而言的，不同的基对应的基而言的，不同的基对应的基变量和非基变量也不同。基变量和非基变量也不同。010152B10261001115A线性规划(xin xn u hu)基解的概念第34页/共44页第三十五页，共44页。第35页/共44页第三十六页，共44页。第36页/共44页第三十七页，共44页。第37页/共44页第三十八页，共44页。 x1，x2，x3，x40 第38页/共44页第三十九页，共44页。第39页/共44页第四十页，共44页。顶点顶点(极点极点(jdin) 设设K是凸集，是凸集， ，若，若X不能不能用用K中两个不同的中两个不同的 点点 的凸组合表示为的凸组合表示为KX )2()1 (, XX )10()1 ()2()1( a aa aa aXXX则称则称X是是K的一个顶点的一个顶点(dngdin)或或极点。极点。 X是凸集是凸集K的极点的极点(jdin)即即X不可能是不可能是K中某一线段的内点，中某一线段的内点，只能是只能是K中某一线段的端点。中某一线段的端点。 1Q2QO3Q4Q凸集、凸组合、顶点（极点） 第40页/共44页第四十一页，共44页。定理定理3 若线性规划问题若线性规划问题(wnt)有有最优解，一定存在一个基可行解最优解，一定存在一个基可行解是最优解。是最优解。第41页/共44页第四十二页，共44页。分量对应系数向量线性独立。（引分量对应系数向量线性独立。（引理）理）第42页/共44页第四十三页，共44页。1234123414max2456s.t.25100zxxxxxxxxx 第43页/共44页第四十四页，共44页。