机械能守恒定律学习脉络图

机械能守恒定律学习脉络图江苏省新沂市第一中学张统勋机械能守恒定律是高中阶段物理学习的基础内容之一，内容中“追寻守恒量”以引入能量概念为目的；“功”和“功率”为功能关系的讨论打基础。一、内容分析本章内容主要包括四个概念（功、功率、动能和势能）和三个规律（动能定理、机械能守恒定律、能的转化和守恒定律）。机械能守恒定律是力学知识的重点内容之一，它是建立在力的概念、运动学知识和牛顿运动定律基础上，进一步研究力的空间积累效果和物体运动状态的变化之间的关系。本章内容通过对功能关系的讨论，完成对能量概念的更深入的认识。本章既是力学问题的基础和综合，也是学习其他物理学知识的重要基础。二、知识框架三、必须精通的几种方法（一）功（恒力功、变力功）的计算方法1常用方法（1）定义法：，该式仅适用于恒力做功情况。（2）动能定理：2变力的功的计算方法（1）平均法：当变力与位移成正比时，则（2）分割法：当变力的大小恒定、方向不断变化时，可把力作用点的路径分割成许多小段，每一小段上用恒力做功的公式计算，然后再积累。（3）功率法：直接用W=Pt得出功。如机车用恒定功率启动时，牵引力不断变化，在时间t内的功即为Pt。（4）等效法：将恒定力F作用点位移与恒力F的乘积等效替代变力对物体所做的功。（5）图像法：在Fx图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况。（6）能量法：在一般情况下，根据力做功后引起物体能量的变化进行计算，即，如抛球、推倒箱子、刹车滑行等。（二）功率的计算方法1平均功率的计算方法（1）利用（2）利用，其中为物体运动的平均速度。2瞬时功率的计算方法瞬时功率只能使用公式求解，其中v是t时刻的瞬时速度。（三）机车启动问题的分析方法两种方式以恒定功率启动以恒定加速度启动Pt图和vt图OA段过程分析v?F?aa不变?F不变PFv直到P额Fv1运动性质加速度减小的加速直线运动匀加速直线运动，维持时间t0AB段过程分析运动性质以vm做匀速直线运动加速度减小的加速运动BC段FF阻?a0?F阻，以vm做匀速直线运动（四）动能定理的理解及应用方法1动能定理公式中等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系：（1）量值相等：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系。可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功。（2）单位相同：国际单位都是焦耳。（3）因果关系：合外力的功是引起物体动能变化的原因。动能定理说明外力对物体所做的总功和动能变化间的一种因果关系和数量关系，不可理解为功转变成了物体的动能。2应用动能定理时，要进行受力分析，分析在这个过程中有哪些力做功，注意区分功的正负。要注意选取的研究对象和对应过程，合力做的功和动能增量一定是对应同一研究对象的同一过程。3运用动能定理解决问题时，选择合适的研究过程能使问题得以简化。当物体的运动过程包含几个运动性质不同的子过程时，可以选择一个、几个或全部子过程作为研究过程。当选择全部子过程作为研究过程，涉及重力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们的功能特点：重力的功取决于物体的初、末位置，与路径无关；大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积。（五）机械能守恒的判断方法1利用机械能的定义判断（直接判断）：若物体动能、势能均不变，机械能不变。若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加（减小），其机械能一定变化。2用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。3用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。4对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因有摩擦热产生，系统机械能将有损失。四、注意事项1计算功时，要注意分析受力情况和能量转化情况，分清是恒力的功还是变力的功，选用合适的方法进行求解。同时应注意公式中l不一定是物体的位移。2求功率应注意的两个方面（1）易混淆平均功率和瞬时功率，要明确所求功率是“平均功率”还是“瞬时功率”。若求平均功率则应明确是哪段时间内的平均功率；若求瞬时功率应明确是哪一时刻或位置，计算瞬时功率时，直接应用公式P=Fv，易漏掉了F与v之间的夹角。（2）要选对公式，明确公式的适用条件（3）对于图像问题要首先看懂图像的物理意义，根据图像求出加速度、位移并明确求哪个力的功或功率，是合力的功率还是某个力的功率。（4）机车启动时，在匀加速阶段的最大速度并不是机车所能达到的最大速度。3应用动能定理解题时需注意的问题（1）动能定理适用于物体做直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可。这正是动能定理解题的优越性所在。（2）动能定理是计算物体的位移或速率的简捷方法，当题目中涉及到力和位移时可优先考虑动能定理。（3）若物体运动的过程中包含几个不同过程，应用动能定理时，可以分段考虑，也可以把全过程作为一个整体来处理。（4）求摩擦力做功时，应注意E内=Ffl相对中l相对为相对滑动的两物体间相对滑行路径的总长度。4应用机械能守恒定律应该注意（1）必须准确地选择系统，在此基础上分析内力和外力的做功情况。（2）必须由守恒条件判断系统机械能是否守恒。（3）必须明确地选择过程，确定初、末状态。（4）写守恒等式时应注意状态的同一性。机械能问题的常见题型陕西省宝鸡市陈仓区教育局教研室邢彦君机械能是物理学的重要概念，涉及机械能的问题是高考试题中的必考问题。这类试题有力学综合问题，也有力电综合问题；有机械能守恒问题，也有机械能不守恒问题。机械能守恒问题可运用机械能守恒定律分析求解，机械能不守恒问题，一般运用动能定理或能量守恒定律分析求解。1机械能守恒条件问题机械能包括动能、重力势能、弹性势能，其中的重力势能是物体与地球共有的。因此，机械能守恒针对的是物体、弹簧（或发生弹性形变的其它物体）和地球组成的系统，而不是某个单独的物体。若这个系统在运动过程中，内部各物体间相互作用的力中，只有重力、弹力做功，这一运动过程中系统的机械能总量保持不变。这就是机械能守恒的条件，欲运用机械能守恒定律分析求解物理问题，应首先选择有相互作用的物体系统，然后分析在运动过程中系统内各物体间的相互作用力。若系统内只有重力、弹力，或虽有非重力、弹力作用但这些力不做功或所做功的代数和等于零，则系统的运动过程中，机械能总量保持不变。例1一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是A运动员到达最低点前重力势能始终减小B蹦极绳张紧后的下落过程中，弹性力做负功，弹性势能增加C蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关解析：运动员到达最低位置前，一直向下运动，重力一直做正功，重力势能一直是减小的。A对；蹦极绳张紧后，随着运动员的继续下降，绳伸长，对运动员作用向上的弹性力，此力做负功，绳的弹性势能增加。B对；由于空气阻力可以忽略，蹦极过程中，对于运动员、地球、绳系统来说，只有重力与弹性绳的弹性力做功，系统的机械能守恒。C对；重力势能与重力势能参考平面的选取有关，而重力势能的变化量则与此无关。D错。本题选ABC。【点评】做功不做功，决定与此功对应的能量是否变化，功的正负决定能的增减。重力做正功（或负功）重力势能减少（或增加）；弹簧的弹力做正功（或负功）弹簧的弹性势能减少（或增加）。2机械能守恒过程中的动态问题机械能守恒时物体系统机械能总量保持不变。这一过程中，由于系统内部的重力、弹力做功，会发生重力势能、动能和弹性势能在系统内部各物体间的转化或转移，并非各种形式的机械能都保持不变。因此，机械能的守恒，是一种动态的守恒，守恒中有能转化或转移，重力做功对应重力势能的变化，弹力做功对应弹性是能的变化，合力做功对应功能的变化。例2如图1（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，t=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力F随时间t变化的图像如图（乙）所示，则At1时刻小球动能最大Bt2时刻小球动能最大Ct2-t3这段时间内，小球的动能先增加后减少Dt2-t3这段时间内，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能解析：由图象可知，t1时刻，小球刚接触弹簧，此后，至小球经过平衡位置，弹簧对小球向上的弹力小于向下的重力，这两个力的合力向下，对小球做正功，小球的动能增加。小球过了平衡位置后，向上的弹力大于向下的重力，两者合力方向向上，对小球做负功，小球动能开始减小，因此，小球过平衡位置时的动能最大。而图象中的t2时刻，小球已落至最低点，动能为零。A、B错；t2-t3这段时间内，小球由最低点向上运动到弹簧恢复原长，先是向上的弹力大于向下的重力，两者的合力向上，对小球做正功，小球动能增加，过平衡位置后，弹簧弹力小于重力，两者合力方向向下，对小球做负功，小球动能减少。由于只有重力及弹簧的弹力做功，因此，小球、地球、弹簧系统的机械能守恒，这一过程中弹簧减少的弹性势能转化成了小球的动能与重力势能，小球增加的动能等于弹簧减少的弹性势能与小球增加的重力势能的差。C对D错。本题选C。【点评】对于物体落在竖直弹簧上的运动，平衡位置（加速度为零）是物体速度增加与减小的临界位置。3机械能守恒的力学综合问题如果运动中物体系统的机械能守恒，对系统的运动过程可运用机械能守恒定律列出方程，依据解题的需要对其中的某物体的某个状态，运用牛顿第二定律在列方程，然后连理求解。例3如图2所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m的小球（小球的大小可以忽略）。（1）在水平拉力F的作用下，轻绳与竖直方向的夹角为，小球保持静止，画出此时小球的受力图，并求力F的大小。（2）由图示位置无初速度释放小球，求当小球通过最低点时的速度大小及轻绳对小球的拉力。不计空气阻力。解析：（1）小球受力示意图如图3所示。由共点力平衡条件有：，解得力F的大小为：。（2）运动中，小球、轻绳、地球系统中，只有重力做功，机械能守恒。对小球从释放到经过最低点的运动由动能定理有：，解得小球通过最低点时的速度大小为：。对小球通过最低点时的运动运用牛顿第二定律有： 。解得轻绳对小球的拉力为：，方向竖直向上。【点评】机械能守恒定律适用于机械能守恒的运动过程，牛顿第二定律则适用于运动过程中的状态。4机械能不守恒的力学综合问题若运动中，系统内部的力中有非重力、弹力做功且这些功的代数和不等于零，运动过程中系统的机械能肯定不守恒。这类问题，可运用动能定理或能量守恒定律分析求解。例4某兴趣小组设计了如图4所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以va=5m/s的水平初速度由a点弹出，从b点进入轨道，依次经过“8002”后从p点水平抛出。小物体与地面ab段间的动摩擦因数=0.3，不计其它机械能损失。已知ab段长L=l.5m，数字“0”的半径R=0.2m，小物体质量m=0.0lkg，g=10m/s2。求：（1）小物体从p点抛出后的水平射程；（2）小物体经过数字“0”的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向。解析：（1）设小物体运动到p点（或过“0”的最高点）时的速度大小为v，对小物体由a运动到p过程应用动能定理得：，小物体自p点做平抛运动，设运动时间为t水平射程为s，则有：和 。代入数据解以上几式得：s=0.8m ，。（2）设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向下为正方向，由牛顿第二定律有： ，代入数据解得：F=0.3N ，方向竖直向下。【点评】小球在ab段的运动机械能不守恒，在bp段的运动机械能守恒，但整个运动阶段机械能不守恒。将整个阶段视为整体运用动能定理简化了解题过程。5涉及电场的力电综合问题带电粒子在电场中运动，由于电场力做功，物体系统的机械能不守恒。这类问题，一般运用动能定律、能量守恒定律及电场等知识分析求解。例5如图5所示，在水平地面上固定一倾角为的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为E、方向沿斜面向下的匀强电场中。劲度系数为k的绝缘轻弹簧一端固定在斜面底端，处于自然状态。质量为m、带电量为q（q0）的滑块从距弹簧上端so处由静止释放，滑块运动过程中电量保持不变。设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g。（1）求滑块从释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间；（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为vm，求滑块从释放到速度大小为vm过程中弹簧的弹力所做的功W。解析：（1）带电滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中，做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度大小为a，由牛顿第二定律及匀变速直线运动位移公式有：，。解得：。（2）带电滑块与弹簧接触后的运动中，在斜面方向受重力沿斜面向下的分力、沿斜面向下的电场力、沿斜面向上的弹簧弹力三个力的作用。起初前两个力的合力大于弹簧的弹力，三力的合力沿斜面向下，物块加速下滑，下滑中弹力逐渐增大而其它两力不变，三力向下的合力越来越小，滑块的加速度减小，当合力小到等于零时，加速度为零，滑块的速度不再增加，达到最大值vm。设此时弹簧压缩量为x，对滑块在斜面方向运用共点力平衡条件有：。滑块从释放到速度最大，滑块沿斜面下滑的距离为，斜面的弹力不做功，重力的功为，电场力的功为，设弹簧的弹力所做的功为，对滑块这一运动过程运用动能定理有： ，解得：。【点评】加速度减小的加速直线运动中，加速度为零时，速度最大。6涉及磁场的力电综合问题闭合电路的一部分导体在磁场中做切割磁感线运动时，由于电磁感应，导体中出现电流，磁场对载流导体的安培力将做功，系统的机械能不守恒。这类问题可运用动能定理或能量守恒定律分析求解。例6如图6所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场与导轨平面垂直。一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放。导体棒进入磁场后，流经电流表的电流逐渐减小，最终稳定为I。整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻。求： （1）电流稳定后，导体棒运动速度的大小；（2）若从导体棒进入磁场区域到开始匀速运动，下落的距离为H，安培力的功。解析：（1）在进入磁场区域前，导体棒自由落体运动，进入磁场后，由法拉第电磁感应定律有：，由欧姆定律有：，由安培力公式有：。导体刚进入磁场运动时所受向上的安培力小于向下的重力，做加速运动，随速度的增加安培力增加，导体棒运动的加速度越来越小，当安培力增大到等于重力，加速度为零，速度不再增加，电流保持稳定。此时有：。解以上几式得，电流稳定后导体棒的运动速度为：。（2）设从导体棒进入到匀速运动，安培力的功为W，对导体棒从开始下落到匀速运动过程运用动能定理有：，解得：。【点评】安培力随感应电流的变化而变化，在导体中的电流未恒定之前，安培力是变力，它的功只能依据动能定理混能量守恒定律分析求解。变力做功的几种常见求解方法江西省都昌县第一中学李一新功是能的转化的量度。功的计算在中学物理中占有重要的地位。在中学阶段，功的计算公式只适用于恒力做功的情况，对于一些变力做功的情形，往往是不能直接应用此公式来直接计算。如何来求解变力所做的功呢？通常有以下几种方法。一、微元法例1如图1所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块在BC两上点的动能分别为EkB和EkC，图中AB=BC，则一定有（ ）AW1W2 BW1W2 CEkBEkCDEkBEkC解析：此题中的两个过程中,功的多少的比较可以采用微元法。如图1所示，将AB和BC段分成相同的无限段l1、l2、l3，在A上升至B点绳子的拉力方向分别成1、2、3，各段所做的功分别为、；在B上升至C点绳子的拉力方向分别成1、2、3，各段所做的功分别为、，因11、22、33，故W1W2。因F大小未知，则滑块由A到C的过程是加速、减速情况难以确定，故只有A选正确。二、图像法例2用铁锤将一枚铁钉钉入木块中，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，在铁锤钉第一次时，能把铁钉钉入木块内的深度为1cm，问钉第二次时，能钉入的深度为多少？（设铁锤每次做功相等）解析：铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，即，作出Fx图象，如图2所示，图象与坐标轴围成的面积即为铁锤对铁钉所的功。由于两次铁锤做功相等，故有，即。解得所以第二次铁钉钉入木块的深度为：。三、对象转换法例3如图3所示，某人用跨过定滑轮的绳子以大小不变的力F拉着放在水平面的滑块，沿水平地面由A点前进距离l至B点，滑块在初、未位置时细绳与水平方向夹角分别为和，已知小定滑轮至滑块的高度为H。求滑块由A点运动到B点过程中，绳子的拉力对滑块所做的功。解析：从滑块运动来看，滑块受到的细绳拉力是变力。该力大小不变，而方向时刻变化，不能直接用公式来计算。此时，可转化研究对象，人对绳子做的功等于绳子对滑块所做的功，而从滑轮左边来看，人对细绳的拉力F始终为恒力，其位移大小为细绳伸长的长度，因此，绳子的拉力对滑块所做的功为：。四、功率法例4质量为m=4.0103kg的汽车，以恒定的功率从静止开始起动，经过4min速度达到最大值20m/s，假设汽车在这一过程中受到的阻力恒定，且f=2.0103N，试求这一过程中汽车所做的功。解析：因汽车的功率恒定，由P = Fv知道，汽车由静止启动达最大速度的过程中，牵引力F不断减小为变力，但功率恒定，可利用W=Pt来计算。当速度最大时，牵引力F与受到的阻力f相等，则汽车牵引力的功率为：W = 4.0104W。所以，这一过程中汽车所做的功为：。五、重力势能变化法例5从深为h的井中提升一质量为M的水桶，若所用绳索粗细均匀且质量为m，则把此水桶提到井上，至少需要做多少功？解析：把水桶提到井上，至少需要做的功必须是缓慢提起，不能增加动能，这样提起过程中，所需的提力是在逐渐地减小，是变力。但提力所做的功，是用于克服水桶和绳索的重力做功，使得它们的重力势能增加了，故至少需要做的功为：。六、动能定理法例6一个质量为m的小球拴在细绳的一端，另一端受大小为F1的拉力作用，在光滑水平面上做半径为R1的匀速圆周运动，如图7所示，改变拉力的大小，使小球仍在水平面上做圆周运动，最后做半径为R2的匀速圆周运动，此时拉力大小为F2。在小球的半径由R1变为R2的过程中，拉力对小球做的功为多少？解析：设半径为R1、R2时，小球做圆周运动的速度大小分别为v1、v2，由牛顿第二定律得：，。由动能定理得：。解得：七、机械能守恒定律法如果物体只受重力或弹力做功，机械能守恒，而弹力在做功的过程中是变力做功，此时可用机械能守恒定律来求解。例7如图8所示，质量m=2的物体，从光滑的斜面的顶A点以的初速度v0=5m/s滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A点到B的竖直高度h=5m，求弹簧的弹力对物体所的功。解析：弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，由机械能守恒定律可得B点时的弹性势能：。所以弹簧的弹力对物体所的功：。