用二分法求方程的近似解的教学设计

第三章函数的应用内容中“用二分法求方程的近似解”一节进行教学设计。用二分法求方程的近似解的教学设计交城一中 郭冬妮 教材分析： 本节课是这一小节的第二节课，即用二分法求方程的近似解。它是在上节课所学知识的基础上，以“函数的零点与方程的解之间的关系”以及“连续函数的零点存在定理”为依据，确定方程的解所在区间，并用“逼近”的思想求方程近似解，这个侧面来体现“方程与函数的关系”；而且在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想，为学生后续学习算法的内容埋下伏笔；充分体现新课程“渗透算方法，关注数学文化以及重视信息技术应用”的理念。在求方程近似解过程中隐含着“逼进”的数学思想。学情分析： 学生有了第一节课的基础，对函数的零点具备基本的认识；而二分法来自生活，是由生活中抽象而来的，只要我们选材得当，能够激发学生的学习兴趣，达到渗透数学思想关注数学文化的目的，学生也能够很容易理解这种方法。其中运用“二分法”进行区间缩小的依据、总结出“运用二分法求方程的近似解”的步骤、将“二分法”运用到生活实际，是需要学生努力才能达到的。三维目标:1、知识与技能：理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。2、过程与方法：让学生能够初步了解逼近思想，极限思想，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。探究与活动，适当借助现代化的计算工具解决问题。3、情感态度与价值观通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。教学重点:能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。教学难点:1.方程近似解所在初始区间的确定2.在利用二分法求方程的近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难。教学方法:游戏导入- 推出课题-实践探究-总结提炼-学生感悟教具准备:多媒体课件、信息技术工具计算器、电脑Excel和几何画板软件等。教学流程示意:情境创设-二分法的定义-用二分法求函数的零点近似值的步骤-用二分法求方程的近似解教学过程: 一、导入新课师：同学们,下面进行商品价格竞猜。（师手拿一款MP3）生1：（猜师手中一款的MP3价格）。师:你猜这件商品的价格，是如何想？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。生2：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；师：是按照生1每隔10米，还是按照生2那样来检测呢？生：（齐答）按照生2那样来检测。师：生2的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）。上述动态过程，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，逐步逼近商品的价格。这种思想就是二分法。师：在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如，翻字典查英语单词(类似二分法)；再譬如，一条电缆上有15个接点，现某一接点发生故障，如何可以尽快找到故障接点？二、讲授新课师：那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢？（多媒体）能否求函数f（x）lnx+2x-6的零点？（分组探讨） 师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)= lnx+2x-6的图象，能够缩小零点所在区间，并根据f(2)0,可得出零点所在区间(2,3)； 引发学生思考，如何进一步有效缩小零点所在的区间； 共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决； 引发学生思考在有效缩小零点所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度。学生简述上述求函数零点近似值的过程。（通过自己的语言表达，有助于学生对概念的理解）（思考，解决。问题激励，语言激励）（生推导，师欣赏，鼓励学生，生口答，得出） 第一步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)0.084.因为 f(2.5)f(3)0，所以零点在区间(2.5，3)内. 第二步：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f (2.75)0.512. 因为f(2.5)f (2.75)0，所以零点在区间(2.5，2.75)内. 结论:由于(2，3) (2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小，依次继续下去，直到2.5390625-2.53125| 0.01在区间（2.53125,2.5390625）内任何点的值与精确值的误差都不超过0.01，所以区间内任何值以及区间端点的值都可表示此函数零点的近似解，所以此函数零点的近似解为x=2.53125.揭示二分法的定义：上述求函数零点近似值的方法叫做二分法，那么二分法的基本思想是什么？对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法求方程近似解的步骤探索： （1）求函数f(x)的零点近似值第一步应做什么？（确定区间a,b，使 f(a)f(b)0） （2）为了缩小零点所在区间的范围，接下来应做什么？（求区间的中点c，并计算f(c)的值 ） （3）若f(c)=0说明什么？ 若f(a)f(c)0或f(c)f(b)0 ，则分别说明什么？ （若f(c)=0 ，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0 ，则零点x0(a,c)；若f(c)f(b)0 ，则零点x0(c,b).） 用二分法求函数零点近似值的基本步骤：1.确定区间a,b，使f(a)f(b)0 ，给定精度；2. 求区间(a,b)的中点c3. 计算f(c)：（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（2）若f(a)f(c)0 ，则令b=c，此时零点x0(a,c)；(3）若f(c)f(b)0 ，则令a=c，此时零点x0(c,b).4. 判断是否达到精确度：若 |a-b|，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤 24三、例题剖析例1：利用计算器，用二分法求方程2 3x7的近似解（精确度0.1）分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?四、课堂练习：1.函数f(x)=x3-2x2+3x-6在区间-2,4上的零点必定在( )内 ，其中f(1.75)0 (A) -2,1 (B) 2.5,4(C) 1,1.75 (D) 1.75,2.5 2.P91，练习2 五、课堂小结请同学们回顾一下本节课你掌握了哪些知识？（生总结，并可以互相交流讨论，师投影显示本课重点知识）1.二分法的定义，知道二分法是一种求一元方程近似解的通法。2.利用二分法求一元方程近似解的操作步骤。3.可以利用函数的图象来判断方程根的个数。六、 布置作业第102页习题3、4、5板书设计3.1.2用二分法求方程的近似解1二分法的定义2用二分法求函数的零点近似值的步骤3用二分法求方程的近似解