高中数学圆锥曲线的“内部”作用

圆锥曲线的“内部”作用我们知道，下列不等式：、表示的区域分别是圆的内部、椭圆的内部、抛物线的内部。有关圆锥曲线的问题，我们常常是从定义和性质出发来考虑的，至于圆锥曲线的内部区域往往不被重视，其实圆锥曲线的内部在数学中有许多重要的作用。一、能解决一类直线和圆锥曲线的位置关系例1：直线，与椭圆恒有公共点，求的取值范围。分析：本题的常规解法是用直线的方程与椭圆的方程联立，整理成关于的一元二次方程，利用判别式，但如果利用椭圆的内部，可使问题的解决更简洁明了。因为直线恒过定点，所以直线和椭圆有公共点的充要条件是点在椭圆上或内部。故，又由题设可知且。故二、能解决一类对称问题例2：已知抛物线上有关于直线对称的相异两点，求的取值范围。分析：本题的解法有多种，但都比较繁琐，唯有用抛物线的内部为最简单。设、是抛物线上关于直线对称的两点。则有所以线段AB的中点坐标为，因为点在抛物线内部，所以有，故解之得的取值范围是三、能解决一类最值问题例3：如果实数对表示的点在椭圆上或其内部，求的最大值和最小值。分析：本题并不是很难解决的问题，用切线法或三角代换法能迅速求解。下面给出一种利用椭圆内部的解法。设，所以实数对可写成，因其表示的点在椭圆上或椭圆内部，则有故，即在上有解。利用代数知识可求得故四、能解决一类含绝对值的不等式例4：解不等式分析：在复平面上，不等式表示中心在，以与为焦点，长轴长为8的椭圆内部。而椭圆与实坐标轴的交点为和。所以不等式的解为