微分中值定理与导数应用习题解答

第3章 微分中值定理与导数应用习题解答 1.验证中值定理的正确性（1) 验证罗尔定理对函数y=ln sin x 在区间上的正确性. 解 因为y=ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得y(x)=cot x=0. 由y(x)=cot x=0得，因此确有, 使y(x)=cot x=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间0, 1上的正确性. 解 因为y=4x3-5x2+x-2在区间0, 1上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点x(0, 1), 使. 由y(x)=12x2-10x+1=0得. 因此确有, 使. (3) 对函数f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性.解 因为f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上连续, 在可导, 且F(x)=1-sin x在内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点, 使得 . 令, 即. 化简得. 易证, 所以在内有解, 即确实存在, 使得 . 2. 证明题:(1)证明恒等式: (-1x1). 证明 设f(x)= arcsin x+arccos x. 因为 , 所以f (x)C, 其中C是一常数. 因此, 即. (2)若方程a0xn+a1xn-1+ + an-1x=0有一个正根x0, 证明方程 a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0 必有一个小于x0的正根.证明 设F(x)=a0xn+a1xn-1+ + an-1x, 由于F(x)在0, x0上连续, 在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x(0, x0), 使F (x)=0, 即方程 a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0 必有一个小于x0的正根.(3)若函数f(x)在(a, b)内具有二阶导数, 且f(x1)=f(x2)=f(x3), 其中ax1x2x3b0, n1, 证明: nbn-1(a-b)an-bnnan-1(a-b) .证明 设f(x)=xn, 则f(x)在b, a上连续, 在(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(b, a ), 使 f(a)-f(b)=f (x)(a-b), 即an-bn=nx n-1(a-b). 因为 nbn-1(a-b)nx n-1(a-b) nan-1(a-b),所以 nbn-1(a-b)an-bn0时, ;(2)当x4时, 2xx2;证明 (1)设, 则f (x)在0, +)内是连续的. 因为 , 所以f (x)在(0, +)内是单调增加的, 从而当x0时f (x)f (0)=0, 即 , 也就是 .(2)设f(x)=x ln2-2ln x, 则f (x)在4, +)内连续, 因为 , 所以当x4时, f (x)0, 即f(x)内单调增加. 因此当x4时, f(x)f(4)=0, 即x ln2-2ln x0,也就是2x x2. 8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y=x3-5x2+3x+5 ;(2) y=xe-x ;(3) y=(x+1)4+ex .解 (1)y=3x2-10x+3, y=6x-10. 令y=0, 得. 因为当时, y0, 所以曲线在内是是凸的, 在内是凹的, 拐点为. (2)y=e-x-x e-x, y=-e-x-e-x+x e-x=e-x(x-2). 令y=0, 得x=2. 因为当x2时, y2时, y0, 所以曲线在(-, 2内是凸的, 在2, +)内是凹的, 拐点为(2, 2e-2).(3)y=4(x+1)3+e x, y=12(x+1)2+e x . 因为在(-, +)内, y0, 所以曲线y=(x+1)4+ex的在(-, +)内是凹的, 无拐点. 9.求函数的极值: (1) y=2x3-6x2-18x+7； (2) y=x-ln(1+x)； (3) y=-x4+2x2 . 解 (1)函数的定义为(-, +), y=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1), 驻点为x1=-1, x2=3. 列表x(-, -1)-1(-1, 3)3(3, +)y+0-0+y 17极大值-47极小值 可见函数在x=-1处取得极大值17, 在x=3处取得极小值-47. (2)函数的定义为(-1, +), , 驻点为x=0. 因为当-1x0时, y0时, y0, 所以函数在x=0处取得极小值, 极小值为y(0)=0. (3)函数的定义为(-, +), y=-4x3+4x=-4x(x2-1), y=-12x2+4, 令y=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1. 因为y(0)=40, y(-1)=-80, y(1)=-80, 所以y(0)=0是函数的极小值, y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值. 10.求下列函数的最大值、最小值: (1) y=2x3-3x2 , -1x4; (2) y=2x3-6x2-18x-7(1x4). 解 (1)y=6x2-6x=6x(x-1), 令y=0, 得x1=0, x2=1. 计算函数值得 y(-1)=-5, y(0)=0, y(1)=-1, y(4)=80, 经比较得出函数的最小值为y(-1)=-5, 最大值为y(4)=80. (2) y=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1), 函数f(x)在1x4内的驻点为x=3. 比较函数值: f(1)=-29, f(3)=-61, f(4)=-47, 函数f(x)在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29. 11.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m2, 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？ 解 设矩形高为h , 截面的周长S, 则, . 于是 (), . 令S =0, 得唯一驻点. 因为, 所以为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为时所用的材料最省. 12.从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角j取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解 漏斗的底周长l、底半径r、高h 分别为 l=Rj, , . 漏斗的容积为 (0j1000时, , . 令R=0得(1000, +)内唯一驻点x=1800. 因为, 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R=57800. 因此, 房租定为1800元可获最大收入.