辽宁省鞍山一中高三数学三模试题试题文含解析

辽宁省鞍山一中2020届高三数学三模试题试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1.已知复数，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的运算，化简复数，再利用复数模的运算公式，即可求解【详解】由题意，复数，所以，故选：A【点睛】本题主要考查复数模长的计算，其中解答中根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题2.设集合，则等于（）A. 1，1B. （1，0）C. 1，3）D. （0，1）【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式和指数函数的性质，求解集合，再根据集合的运算，即可求解，得到答案【详解】由题意，集合，又，全集，所以所以故选：C【点睛】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，考查了不等式的解法，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题3.设是公差为1的等差数列，是前n项的和，若成等比数列，则（）A. 2B. 2C. D. 【答案】D【解析】是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，由成等比数列，得：，即，解得：，故选D.4.若变量满足约束条件，则的最大值是（）A. 2B. 4C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，即可得到目标函数的最大值，得到答案【详解】由题意，满足约束条件的可行域如下图中阴影部分所示：目标函数，故的最大值是7，故选：C【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题5.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. 10B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】第一次执行程序后，第二次执行程序后，第三次执行程序后，第四次次执行程序后， 不成立，跳出循环，输出，故选A.6.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，双曲线C的离心率为（）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先求双曲线渐近线方程，再根据垂径定理得圆心到渐近线的距离，最后解方程得离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程设为，圆的圆心为，半径，可得圆心到渐近线的距离为，则，化，故选：【点睛】本题考查双曲线渐近线方程、离心率以及直线与圆弦长，考查综合分析求解能力，属中档题.7.刘徽九章算术商功中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，再根据长方体的性质，即可求解的球的半径，利用体积公式，即可求解【详解】由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球，由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，长方体一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，长方体的对角线为，外接球的半径为，外接球的体积为.故选：B【点睛】本题主要考查了棱锥的结构特征与三视图应用问题，也考查了几何体外接球的应用问题，其中解答中根据三视图换原几何体，以及根据三视图的数量关系，合理利用球的性质求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，及运算与求解能力，属于中档题8.设、是夹角为的单位向量，则和的夹角为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的夹角公式，即可求解【详解】由题意，因为、是夹角为的单位向量，则，和的夹角满足，即，故选：B【点睛】本题主要考查了向量夹角的求解，根据向量数量积的应用分别求出向量长度是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题9.已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2020项满足（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设数列的第2020项在第n组中，根据分组的规律和等差数列的求和公式，得到不等式，即可求解【详解】由题意，将此数列分组为第n组有n个数，设数列的第2020项在第n组中，由等差数列前n项和公式可得：，解得，则前63组共，即在第64组的第3项，即，故选：B【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中认真审题，根据题意，合理作出归纳，得到计算的规律是解答的关键，着重考查了阅读观察能力及归纳推理能力，属于中档试题10.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则（）A. 2B. 1C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得的值，即可得到答案【详解】由题意，奇函数的定义域为R，若为偶函数，则，即，则，即是周期为4的周期函数，则，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中结合条件判断函数的周期性是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题11.甲在微信群中发布5元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人依次抢完若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“手气最佳”（即乙领取的钱数不少于丙、丁）的概率是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用隔板法得到共计有种领法，乙获得“最佳手气”的情况总数，由此能求出乙获得“最佳手气”的概率【详解】如下图，利用隔板法，得到共计有种领法，乙领2元获得“最佳手气”的情况有2种，乙领3元获得“最佳手气”的情况有1种，乙获得“最佳手气”的情况总数，乙获得“最佳手气”的概率故选：A【点睛】本题考查概率的求法，考查隔板法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题12.已知函数有三个极值点，则a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由函数有三个极值点，转化为有三个不同的实根，得到，进而得到有两个不等于1的根，转化为，设，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可求解【详解】由题意，函数的导数，若函数有三个极值点，等价为有三个不同的实根，即，即，则，所以有两个不等于1的根，则，设，则，则由得x1，由得且，则当时，取得极小值，当时，作出函数，的图象如图，要使有两个不同的根，则满足，即实数a的取值范围是故选：C【点睛】本题主要考查了函数极值的应用，根据极值个数转化为的根，以及利用构造法以及参数分离法转化求函数的取值范围是解决本题的关键，综合性较强有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_【答案】【解析】试题分析：由可得，所以该抛物线的焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义可得，所以考点：抛物线的定义及其标准方程14.设等差数列满足，则数列的前n项的和等于_【答案】【解析】【分析】由，求出等差数列的通项公式，可得，利用裂项相消法可得结果.【详解】是等差数列，即，前项和为，故答案为.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.15.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于_【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，则的边长，当到所在面的距离为球的半径时，体积最大，球表面积为，故答案为.【点睛】本题主要考查球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.16.四边形中，且，则对角线长为_【答案】【解析】【分析】设，在中和中，分别应用余弦定理，列出关于的方程，即可求解【详解】由题意，设，由，则，在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得；，故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及四边形的内角和的应用，其中解得中熟练掌握余弦定理，列出方程求解是解本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设函数（）求函数的单调递增区间；（）当时，的最小值为2，求函数的最大值及对应的x的值【答案】（）（）函数的最大值为4， 【解析】【分析】（）利用三角恒等变换的公式，化简函数，再利用三角函数的性质，即可求解；（）由函数最小值为2，求得m的值，得到函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质，即可求解【详解】（）由于函数，最小正周期为令，解得，故函数的单调增区间为（）当时，的最小值为2，则，解得：所以：，则函数的最大值为4，当，解得：【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，及正弦型函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角恒等编号的的公式化简得出函数的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题18.2021年，辽宁省将实施新高考，2020年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取n名学生进行调查（1）已知抽取的n名学生中含女生45人，求n的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到n名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），如表是根据调查结果得到的22列联表：请将如表的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由； 选择“物理”选择“历史”总计男生10女生30总计（3）在抽取到的45名女生中技分层抽样再抽出6名女生，了解女生对“历史”的选课意向情况，在这6名女生中再抽取3人，求这3人中选择“历史”的人数为2人的概率0.050.01k3.8416.635参考公式：【答案】（1），男生人数为：55人；（2）没有95%的把握（3）【解析】【分析】（1）根据分层抽样的方法得，解得，进而求解男生的人数；（2）由题意，得出22列联表，利用公式求得，对比附表，即可得到结论；（3）由题意，得到有4人选择物理，2人选择历史，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解【详解】（1）由题意，根据分层抽样的方法，可得，解得，所以男生人数为：人（2）22列联表为：选择”物理“选择”历史“ 总计男生451055 女生 301545总计75 25100，所以没有95%的把握认为选择科目与性别有关（3）选择物理与选择历史的女生人数的比为2：1，所以按分层抽样有4人选择物理，设为，2人选择历史，设为A，B，从中选取3人，共有20种选法，其中由2人选择历史的有4种，故这3人中有2人选择历史的概率为：【点睛】本题主要考查了对立性检验的应用，以及古典概型及其概率的计算和分层抽样的应用，其中解答中认真审题，合理利用利用公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题19.如图，正三棱柱中（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长，底面边长，N是的中点（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的高【答案】（1）见解析 （2） 【解析】【分析】（1）取AB中点O，A1B1中点M，连结OC、OM，以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面ANB1平面AA1B1B（2）求出平面ABN的法向量，利用向量法能求出三棱锥B1ANB的高【详解】（1）取AB中点O，A1B1中点M，连结OC、OM，正三棱柱ABCA1B1C1中（底面为正三角形，侧棱垂直于底面），侧棱长AA12，底面边长AB1，N是CC1的中点以O为原点，OC为x轴，OM为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，A（，0，0），N（0，1，），B1（，2，0），（），（1，2，0），设平面ANB1的法向量（x，y，z），则，取y1，得（2，1，0），平面AA1B1B的法向量（0，0，1），0，平面ANB1平面AA1B1B（2）B（，0，0），（1，0，0），设平面ABN的法向量（x，y，z），则，取z2，得（0，2），点B1到平面ANB的距离d三棱锥B1ANB的高为【点睛】本题考查了利用空间向量解决面面垂直的证明及三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20.已知函数（1）证明：当时，恒成立；（2）若函数在R上只有一个零点，求a的取值范围【答案】（1）详见解析（2）或【解析】【分析】（1）对函数求导，得到函数的最小值为2，即可证明.（2对a分类讨论，易得a=0时无零点，a0时求函数的导数，判断函数的单调性和极值，通过分析特殊点的函数值即可得到结论【详解】（1）f（x）=，令f（x）=0，得到x=0,当x0时，f（x）0时，f（x）0，单调递增, 在x=0处取得最小值., .（2）当a=0时，0恒成立，无零点，与题意不符；当a0时，f（x）=,在R上单调递增,又x=时,=-1+a1-1+a0，根据零点存在性定理，在R上有唯一零点，当a0时，f（x）=令f（x）=，x=lna,，f(x)单减，f(x)单增，在x=lna处取得最小值，f（lna）=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0，Lna=2，所以a=当a0或a=时，在R上有唯一的零点.【点睛】本题考查了运用导数求函数的最值，考查了函数的零点的判断，注意运用分类讨论思想，考查逻辑思维能力，具有一定的难度21.如图，在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆的右顶点和上顶点分别为为线段的中点，且（1）求椭圆的离心率；（2）四边形内接于椭圆，记直线的斜率分别为，求证：为定值【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】，线段AB的中点从而，由，求出，由此能求出椭圆的离心率；椭圆的标准方程为，直线BC的方程为，联立直线BC和椭圆方程得到点C坐标，联立直线AD和椭圆方程，得，代入点坐标化简，由此能证明为定值【详解】，线段AB的中点，解得，椭圆的离心率证明：由得椭圆的标准方程为，直线BC的方程为，联立，得，解得，即，直线AD的方程为联立，化，解得，化为，为定值【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，考查两线段的斜率乘积为定值的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题22.已知直线l的参数方程为，点在直线上（1）求m的值；（2）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线与直线l交于两点，求的值 【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由点在直线上，代入直线的参数方程，即可求解；（2）根据极坐标与直角坐标的互化公式，曲线的方程，把直线的参数方程代入圆的方程，根据参数的几何意义，即可求解【详解】（1）由直线的参数方程为，因为点在直线上，故代入直线的参数方程得到：（2）曲线，根据极坐标与直角坐标的互化，可得直角坐标方程为：，由于圆与直线交于两点，直线的参数方程为，把直线的参数方程代入圆的方程得到：，所以（和为对应参数）故【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型23.设函数（1）若，求a的取值范围；（2）若对恒成立，求实数m的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由不等式，即，分类讨论，即可求解（2）由，利用绝对值的三角不等式，求得的最小值2，再由，恒成立，即可得到实数m的取值范围【详解】（1）由题意，可得，则不等式，即，等价于或，解得或，故a的取值范围为（2）由，则时，当且仅当时取等号，恒成立，【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题