测试技术课件：CH 1 信号及其描述

第第1 1章章 信号及其描述信号及其描述Signal and Its Description1.0 序（序（Introduction）1.1 信号的分类（信号的分类（Signal Classification）1.2 信号的描述（信号的描述（Signal Description）1.3几种典型信号的频谱（几种典型信号的频谱（Several Typical Signals Spectrum）信号信号（signal）：随时间或空间变化的物理量。）：随时间或空间变化的物理量。信号是信息的载体，信息是信号的内容。信号是信息的载体，信息是信号的内容。依靠信号实现电、光、声、力、温度、压力、流量等的传输依靠信号实现电、光、声、力、温度、压力、流量等的传输电信号易于变换、处理和传输，非电信号电信号易于变换、处理和传输，非电信号 电信号。电信号。信号分析与处理信号分析与处理（signal analysis and processing）不考虑信号的具体物理性质，将其抽象为变量之间的函数关系，不考虑信号的具体物理性质，将其抽象为变量之间的函数关系，从数学上加以分析研究，从中得出具有普遍意义的结论。从数学上加以分析研究，从中得出具有普遍意义的结论。序序1.0 1.0 序序（Introduction）信号无处不在信号无处不在通信通信 古老通信方式：烽火、旗语、信号灯。古老通信方式：烽火、旗语、信号灯。 近代通信方式：电报、电话、无线通讯。近代通信方式：电报、电话、无线通讯。 现代通信方式：计算机网络通信、视频电视传播、现代通信方式：计算机网络通信、视频电视传播、卫星传输、移动通信。卫星传输、移动通信。序序0001 1010 0111 1100 0110 01010101 0111 0110 0101 0001 1000摩尔码摩尔码序序故障诊断故障诊断序序心电图波形心电图波形医学医学序序生物医学信号处理应用举例生物医学信号处理应用举例滤波以前干扰严重滤波以前干扰严重滤波以后干扰去除滤波以后干扰去除序序生物医学信号处理应用举例生物医学信号处理应用举例 左下图是一段听觉响应的时间信号，没有表现出可以识别左下图是一段听觉响应的时间信号，没有表现出可以识别的特征。的特征。 右下图是经过小波分析后得到的时间右下图是经过小波分析后得到的时间-频率关系平面，得到频率关系平面，得到明显可识别的特征。明显可识别的特征。05101520-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.2t (ms)TEOAE (mPa)0246810121416020406080100120n (n=1128)(ms)序序1.1 1.1 信号的分类信号的分类 （Signal Classification）非平稳随机信号非各态历经信号各态历经信号平稳随机信号非确定性信号一般非周期信号准周期信号非周期信号一般周期信号谐波信号周期信号确定性信号 信号信号 确定性信号确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达的信：能用明确的数学关系式或图像表达的信号称为确定性信号。号称为确定性信号。 )cos()(0tmkAtx1.1.1. 确定性信号和非确定性信号确定性信号和非确定性信号信号的分类信号的分类mx(t)0 x(t) 0 0Atk周期信号周期信号(period signal)：依一定的时间间隔周而复始、重：依一定的时间间隔周而复始、重复出现；无始无终。复出现；无始无终。)/(0mk周期周期：满足上式的最小满足上式的最小T 值。值。频率频率(frequency)：周期的倒数，周期的倒数，f = 1/T，单位：（，单位：（Hz 赫兹）赫兹）圆频率圆频率/角频率角频率：频率乘以频率乘以2 f, 即即 =2 f =2 /T 实际应用中，实际应用中，n 通常取为正整数。通常取为正整数。数学表达：数学表达：信号的分类信号的分类), 2, 1()()(0nnTtxtxT0 = 2 / 0 =1/ f0(a) 正弦信号：正弦信号：(b) 复杂周期复杂周期信号信号：x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 tx(t)t0tT0Ax(t)00)sin()(00tAtx信号的分类信号的分类这种频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信号。这种频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信号。谐波谐波(harmonious)信号信号常用特征参量：均值、绝对均值、均常用特征参量：均值、绝对均值、均 方差值、均方根值（有效值）和均方值（平均功率）方差值、均方根值（有效值）和均方值（平均功率） 描述。描述。一般周期信号一般周期信号（如周期方波、周期三角波等）由多个乃至无（如周期方波、周期三角波等）由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公共周期。后存在公共周期。准周期信号准周期信号(quasi-periodic signal)也由多个频率成分叠加而也由多个频率成分叠加而成，但不存在公共周期。成，但不存在公共周期。信号的分类信号的分类一般一般非周期信号非周期信号是在有限时间段存在，或随着时间的增加是在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号。而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号。ttAtAtx31sin9sin)(例：准周期信号例：准周期信号信号的分类信号的分类x(t)ttx(t)瞬变信号瞬变信号：在有限时间段存在，或随时间的增加幅值衰减在有限时间段存在，或随时间的增加幅值衰减至零。至零。ttxtsine)(信号的分类信号的分类非确定性信号非确定性信号又称为随机（又称为随机（random）信号，是无法用明确）信号，是无法用明确的数学关系式表达的信号。如：的数学关系式表达的信号。如：加工零件的尺寸加工零件的尺寸机械振动机械振动环境的噪声等环境的噪声等 根据是否满足平稳随机过程的条件，非确定性信号又可以分根据是否满足平稳随机过程的条件，非确定性信号又可以分为：为：平稳随机信号平稳随机信号非平稳随机信号非平稳随机信号 信号的分类信号的分类t0 x(t)随机信号：白噪声随机信号：白噪声t0 x(t)随机信号：随机信号：叠加白噪声的正弦信号叠加白噪声的正弦信号非确定性信号。非确定性信号。具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性。一样）、不确定性、不可预估性。采用概率和统计的方法进行描述。采用概率和统计的方法进行描述。l 随机信号随机信号信号的分类信号的分类与独立变量均离散）数字信号（信号的幅值量离散）一般离散信号（独立变离散信号量连续）一般连续信号（独立变与独立变量均连续）模拟信号（信号的幅值连续信号 1.1.2 连续（连续（continuous）信号和离散（）信号和离散（discrete）信号）信号t0连续信号连续信号t0离散信号离散信号信号的分类信号的分类1.1.3 能量信号和功率信号能量信号和功率信号 如周期信号、准周期信号、随机信号等。如周期信号、准周期信号、随机信号等。)()(2txtPdttxdttPtE)()()(2dttxtE)()(2ttxttttPttd )(1),(2121221l 信号的瞬时功率：信号的瞬时功率：l 信号能量：信号能量：l 能量（有限）信号：能量（有限）信号：l 功率（有限）信号功率（有限）信号： 信号在有限区间信号在有限区间（t1, t2）上的平均功率上的平均功率： 如各类瞬变信号。如各类瞬变信号。信号的分类信号的分类 信号的时域描述信号的时域描述 以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征，以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征， 反映信号幅值随时间变化的关系。反映信号幅值随时间变化的关系。 波形图：时间为横坐标的幅值变化图。波形图：时间为横坐标的幅值变化图。 优点优点：形象、直观。：形象、直观。 缺点缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。1.2 1.2 信号的描述信号的描述 （Signal Description） 信号的频域描述信号的频域描述 应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。函数关系。 频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。l 幅值谱：幅值幅值谱：幅值- -频率图频率图l 相位谱：相位相位谱：相位- -频率图频率图 频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。小，描述更简练、深刻、方便。信号的描述信号的描述 信号时域与频域描述的关系信号时域与频域描述的关系 时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换，时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换， 两者蕴涵的信息相同。两者蕴涵的信息相同。 时域描述与频域描述各有用武之地。时域描述与频域描述各有用武之地。 将信号从时域转换到频域称为将信号从时域转换到频域称为频谱频谱(specrtrum)分析分析， 属于信号的变换域分析。属于信号的变换域分析。 采用频谱图描述信号，需要同时给出采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱幅值谱(amplitude spectrun)和和相位谱相位谱(phase spectrum)。信号的描述信号的描述 狄里赫利（狄里赫利（Dirichet）条件）条件 在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。 在一在一个个周期内，极大值和极小值数目为有限个。周期内，极大值和极小值数目为有限个。 在一在一个个周期内，信号绝对可积，即周期内，信号绝对可积，即 1.2.1 周期信号的描述周期信号的描述（1 1）三角函数展开式）三角函数展开式 Tttttx00d| )(|信号的描述信号的描述)sincos()(0010tnbtnaatxnnnttxTaTTd)(12/2/0000ttntxTaTTndcos)(202/2/000ttntxTbTTndsin)(202/2/000其中其中则可以展开为则可以展开为信号的描述信号的描述)3sin()2sin()sin()sin()(032021010010nnnntAtAtAAtnAAtx22nnnbaAnnnbaarctan式中式中进一步，可以改写为进一步，可以改写为信号的描述信号的描述 例：方波信号的描述例：方波信号的描述 时域描述时域描述)02()20()(, 3, 2, 1),()(000tTATtAtxnnTtxtxT0T0T02T020tx(t)信号的描述信号的描述 频域频域tnnAtttAtxn00000) 12sin(12145sin513sin31sin4)(002T，4A 4A34A50A()03050003050 ()/2幅值谱幅值谱相位谱相位谱信号的描述信号的描述x(t)0tT0周期方波信号的合成周期方波信号的合成信号的描述信号的描述周期方波信号的时、频域描述周期方波信号的时、频域描述 信号的描述信号的描述例：周期性三角波的傅里叶级数例：周期性三角波的傅里叶级数 , 3, 2, 1),()()20(2)02(2)(00000nnTtxtxTttTAAtTtTAAtx0T0/2-T0/2Ax(t)t. . . . .信号的描述信号的描述解：解：2d)2(2d)(12/0002/2/00000AttTAATttxTaTTT2/00002/2/00000dcos)2(4dcos)(2TTTnttntTAATttntxTa), 6, 4, 2(0), 5, 3, 1(42sin422222nnnAnnA0sin)(22/2/0000TTndttntxTb信号的描述信号的描述), 5, 3, 1(cos142)(1022ntnnAAtxn因此，有：因此，有：1022)2sin(142ntnnAA4A 24A92 4A2520A()03050003050 () A 22信号的描述信号的描述00aC )j(21nnnbaC)j(21nnnbaC，（2）复指数展开式）复指数展开式)ee(2jsin)ee(21cossinjcos00000jj0jj000jtntntntntntntntntnee )j(21e )j(21)(00jj10tnnntnnnnbabaatx所以：所以：)ee()(00jj10tnntnnnCCCtxtnnnC0je)sincos()(0010tnbtnaatxnnn欧拉公式欧拉公式信号的描述信号的描述nnnnnCCCCjeImjRe按实频谱和虚频谱形式按实频谱和虚频谱形式 幅频谱和相频谱形式幅频谱和相频谱形式 22)(Im)(RennnCCCnnnCCReImarctan幅频谱图：幅频谱图：| Cn | - 实频谱图：实频谱图： CnR - 虚频谱图：虚频谱图： CnI - 相频谱图：相频谱图： n - nnnnCC,信号的描述信号的描述例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。 解：解：)ee(21cos00jj0ttt)ee(2jsin00jj0tttC-1 = 1/2，C1 = 1/2，Cn = 0（n=0, 2, 3, ）C-1 = j/2，C1 = -j /2，Cn = 0（n = 0, 2, 3, ）信号的描述信号的描述1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0CnR00-01/21/2CnR00-000-01/2-1/2CnICnI00-0|Cn|00-01/21/2|Cn|00-01/21/2An001An001单边幅频谱单边幅频谱双边幅频谱双边幅频谱 负频率负频率l “负频率负频率”是运算的需要。实际中，只有把负频是运算的需要。实际中，只有把负频 率项与相应的正频率项成对合并起来，才是实率项与相应的正频率项成对合并起来，才是实 际的频谱函数。际的频谱函数。l 从向量旋转的角度：从向量旋转的角度： 一个向量的实部可以一个向量的实部可以 看成两个旋转方向相看成两个旋转方向相 反的矢量在其实轴上反的矢量在其实轴上 的投影之和，虚部为的投影之和，虚部为 其在虚轴上的投影之其在虚轴上的投影之 差。差。 A AA/2 0- - 00ReIm - - 负频率的说明负频率的说明信号的描述信号的描述 几点结论几点结论 l 复指数函数形式的频谱为复指数函数形式的频谱为双边谱双边谱（ 从从 - 到到 + ），三角函数形式的频谱为三角函数形式的频谱为单边谱单边谱（ 从从 0 到到 + ）。）。l 两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系： 00, 2/aCACnnl 双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数 nnnnCC,l 一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱l 总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。 信号的描述信号的描述综上所述，综上所述，周期信号频谱的特点周期信号频谱的特点如下：如下： 周期信号的频谱是周期信号的频谱是离散谱离散谱； 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的诸分量频率的公约数公约数； 一般周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无限一般周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无限的。工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的。工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小的增高而减小 在频谱分析中没有必要取次数过高的在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。谐波分量。信号的描述信号的描述1.2.2 非周期信号的描述非周期信号的描述 瞬变信号例瞬变信号例参见下页参见下页 频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期，是公共周期，是周期信号周期信号。 当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号准周期信号。 一般非周期信号是指瞬变信号。一般非周期信号是指瞬变信号。信号的描述信号的描述非周期信号 准周期信号 信号中各简谐成分 的频率比为无理数 具有离散频谱 瞬变信号 在一定时间区间内 存在或随时间的增 长衰减至零准周期信号x(t)0tx(t)0t瞬变信号I0tx(t)瞬变信号IItAtAtx31sin9sin)(ttxtsine)(（1）傅里叶变换）傅里叶变换 （fourier transform）非周期信号可以看成是周期非周期信号可以看成是周期T0 趋于无穷大的周期信号。趋于无穷大的周期信号。 02000 TT谱线无限靠近，变为连续谱谱线无限靠近，变为连续谱 。谱线长度：谱线长度：0nC22j0000e )(1TTtnndttxTC此时根据傅里叶级数展开所表示的谱线失去意义。此时根据傅里叶级数展开所表示的谱线失去意义。信号存在就必然含有一定的能量，无论信号怎样分解，其信号存在就必然含有一定的能量，无论信号怎样分解，其所含总能量应当不变。所含总能量应当不变。无论周期增大到何种程度，信号能量沿频率域的分布特征无论周期增大到何种程度，信号能量沿频率域的分布特征总存在，即非周期信号的频谱依然存在总存在，即非周期信号的频谱依然存在。 信号的描述信号的描述设周期信号设周期信号x(t)在一周期内的傅里叶级数表示为在一周期内的傅里叶级数表示为ntnnCtx0je)(其中：其中： 22j0000e )(1TTtnndttxTCT0时，时， = 0 0，n 0 ，Cn0。但但 Cn T0 存在：存在：ttxttxTCtTTtTnTde )(de )(limlimj22j00000dttxCTCXtnTnTj00e )(2limlim)(00信号的描述信号的描述Cn表示表示n 0（即（即 ）处的频谱值，而）处的频谱值，而 反映了单位频反映了单位频带的频谱值（带的频谱值（ 0为谱线间隔），称为非周期信号的为谱线间隔），称为非周期信号的频谱密频谱密度度(spectrum density)函数函数，简称，简称频谱函数频谱函数，它反映了信号，它反映了信号能量沿频域的分布状况。能量沿频域的分布状况。若以若以 的值为高、以间隔的值为高、以间隔 0为宽画一个小矩形，为宽画一个小矩形，则该小矩形的面积等于则该小矩形的面积等于 = n 0频率处的频谱值频率处的频谱值Cn(n 0)。0nC0nC信号的描述信号的描述de)de)(21e)d)(2de )de)(1limelim)(limjjjjjj2/2/0j00000000tttttnntnTTTtnnnTTttxtetxttxTCtx Cn信号的描述信号的描述ttxXtde)()(jd)(21)(j teXtx傅里叶变换（傅里叶变换（FT） 傅里叶逆变换（傅里叶逆变换（IFT） f 2以以代入得代入得ttxfXftde )()(2jffXtxftde )()(2j记为：记为：x(t)X()FTIFT信号的描述信号的描述用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为 )()()(Imj)(Re)(fjefXfXfXfX22)(Im)(Re)(fXfXfX)(Re)(Imarctan)(fXfXf非周期信号的幅频谱非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱和周期信号的幅频谱 很相很相似，但是两者量纲不同。似，但是两者量纲不同。 为为信号幅值的量纲。信号幅值的量纲。 为为信号单位频宽上的幅值信号单位频宽上的幅值，是频谱密度函数。工程测试，是频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。中为方便，仍称为频谱。 )( fXnCnC)( fX信号的描述信号的描述)2(0)2(1)(TtTttw例：矩形窗函数的频谱例：矩形窗函数的频谱 222j2jdede)()(TTftfttttwfWfTfTTeeffTfTsin2 j1jj)(sincfTTW(f)中中 T 称为窗宽，称为窗宽， sinsinc1-T/2T/2tw(t)0信号的描述信号的描述W(f )T01T1Tf3T3T (f ) 01T2T3T1T2T3T2T2TW(f)函数只有实部，没有虚部。函数只有实部，没有虚部。 sinc 以以2 为周期并随为周期并随 的的增加作衰减振荡。增加作衰减振荡。sinc 是偶函数，在是偶函数，在n （n= 1, 2, ）处其值为）处其值为0。 信号的描述信号的描述 非周期信号频谱的特点非周期信号频谱的特点 l 基频无限小，包含了从基频无限小，包含了从 0 的所有频率分量。的所有频率分量。 l 频谱连续。频谱连续。l |X( )|与与|Cn|量纲不同。量纲不同。|Cn|具有与原信号幅具有与原信号幅 值相同的量纲，值相同的量纲，|X( )|是单位频宽上的幅值。是单位频宽上的幅值。 l 非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换。非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换。 信号的描述信号的描述应用应用某齿轮箱各特征频率值某齿轮箱各特征频率值齿数齿数1X2X3X4X5X6X7X电动机工频电动机工频16.90 33.80 50.70 67.60 84.50 101.40 118.30 II轴转频轴转频3.73 7.46 11.18 14.91 18.64 22.37 26.10 III轴转频轴转频0.95 1.89 2.84 3.79 4.73 5.68 6.63 VI轴转频轴转频0.26 0.53 0.79 1.05 1.31 1.58 1.84 V 轴转频轴转频0.08 0.15 0.23 0.31 0.38 0.46 0.54 电动机与电动机与II轴啮合轴啮合15 / 68253.50 507.00 760.50 1 014.00 1 267.50 1 521.00 1 774.50 II轴与轴与III轴啮合轴啮合16 / 6359.65 119.29 178.94 238.59 298.24 357.88 417.53 III轴与轴与VI轴啮合轴啮合15 / 5414.20 28.40 42.61 56.81 71.01 85.21 99.41 VI轴与轴与V轴啮合轴啮合14 / 483.68 7.36 11.05 14.73 18.41 22.09 25.77 信号的描述信号的描述Hz某齿轮箱体实测振动速度频谱图某齿轮箱体实测振动速度频谱图 信号的描述信号的描述（2） 傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质 积 分x(t t0) 时 移 频域微分x(kt) 尺度变换 时域微分x(-f) X(t) 对 称 性 X1(f)X2(f)x1(t) x2(t)频域卷积AX(f)+bY(f) ax(t)+by(t) 线性叠加 X1(f) X2(f)x1(t)x2(t)时域卷积实奇函数虚奇函数X*(-f)x*(t)共 轭虚偶函数虚偶函数X(-f) x(-t) 翻 转 虚奇函数实奇函数X(f f0) 频 移 实偶函数实偶函数函数的奇偶虚实性频 域时 域性 质频 域时 域性 质0,1kkfXk02je )(ftfXtftx02je )(nnttxd)(d)(2 jfXfn)(2 jtxtnnnffXd)(dtttxd)(存在ffXfXf)(),(2 j1信号的描述信号的描述 频域分析：傅里叶变换，自变量为频域分析：傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析：拉普拉斯变换复频域分析：拉普拉斯变换, 自变量为自变量为 S = +j Z域分析：域分析：Z 变换，自变量为变换，自变量为z TsTz)j(ee频域、复频域、频域、复频域、Z域的关系域的关系信号的描述信号的描述 傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质 奇偶虚实性奇偶虚实性 )(Imj)(Rede )()(2jfXfXttxfXfttfttxfXd2cos)()(RetfttxfXd2sin)()(Im若若x(t)为实偶函数，则为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数。为实偶函数。若若x(t)为实奇函数，则为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数。为虚奇函数。若若x(t)为虚偶函数，则为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数。为虚偶函数。若若x(t)为虚奇函数，则为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数。为实奇函数。若若x(t)为实函数，则为实函数，则 ReX( f ) = ReX( -f ) ImX( f ) = - ImX( -f ) 信号的描述信号的描述对称性对称性：X(t) x(-f )证明：证明： 互换互换 t 和和 f从而：从而：X(t) x(-f)ffXtxftjde )()(2fefXtxftd)()(2jttXfxftjde )()(2信号的描述信号的描述尺度改变性尺度改变性 证明：)(1)(d)(1de )()()(2j2jkfXkktektxktktxktxktkfftFkfXkxkxkktxkfkf1de )(1de )(1)(2j2jF（k 0）（k 1，变化速度加快），变化速度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。信号的描述信号的描述尺度改变性质举例尺度改变性质举例000000证明：证明： 若若 t0为常数为常数 则则 时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱时移性质时移性质 信号的描述信号的描述02j0e )()(ftfXttx00002j02j)(2j02j00e )()d(ee )(de )()(ftftttfftfXttttxtttxttxF02j0e )(1)(tafafXatatxF(c) 时移的时域矩形窗时移的时域矩形窗 (d) 图图(c)对应的幅频和相频特性曲线对应的幅频和相频特性曲线 时移性质举例时移性质举例信号的描述信号的描述（a）时域矩形窗）时域矩形窗图（图（a）对应的幅频和相频特性曲线）对应的幅频和相频特性曲线000000例：求三个窗函数的频谱。例：求三个窗函数的频谱。x(t)tT/2-T/21)(csinsin)(fTTfTfTTfW对于矩形窗函数对于矩形窗函数w(t)问题描述为求问题描述为求w(t -)+ w(t)+ w(t +)的频谱的频谱根据时移性质根据时移性质信号的描述信号的描述)2cos21)(csin)1)(csin)()()(2j2jffTTeefTTtwtwtwffF频移特性频移特性 若若f0为常数为常数信号的描述信号的描述)(e )(02j0ffXtxtftftftfffttxfffXfffXffX0002j2j)(2j02j001e )(dee )(de )()(F证明证明卷积特性卷积特性 证明：证明： 函数函数x(t)与与y(t)的卷积定义为的卷积定义为( )( )( ) ()x ty txy td信号的描述信号的描述)()()()(2121fXfXtxtxttxxtxtxFftde d)()()(*)(2j2121 ttxxtffde )(de )()(2j22j1)()(21fXfX同理可得同理可得( ) ( )()()x t y tXfYfnnttxd)(d)(2 jfXfnffXtxftde )()(2jffXfttxftde )()2 j (d)(d2j)()2 j (d)(dfXfttxF)()2 j (d)(dfXfttxnnnF微分特性：微分特性：证明：证明：同理：同理：信号的描述信号的描述傅里叶的两个最主要的贡献傅里叶的两个最主要的贡献 周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 傅里叶的第一个主要论点傅里叶的第一个主要论点 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示 傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点信号的描述信号的描述1.2.3 随机随机(random)信号的描述信号的描述 随机信号是非确定性信号随机信号是非确定性信号 随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性结果都不一样）、不确定性、不可预估性 随机信号必须采用概率和统计的方法进行描述随机信号必须采用概率和统计的方法进行描述 相关概念相关概念 随机现象随机现象：产生随机信号的物理现象：产生随机信号的物理现象 样本样本(sample)函数函数：随机现象的单个时间历程，即对：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作作xi(t)，i表示第表示第i次观测。次观测。 样本记录样本记录：在有限时间区间上观测得到的样本函数：在有限时间区间上观测得到的样本函数 随机过程随机过程：在相同试验条件下，随机现象可能产生的：在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样本函数的集合（总体）。记作全体样本函数的集合（总体）。记作x(t)，即，即 x(t) = x1(t)，x2(t)，xi(t)，信号的描述信号的描述随机变量随机变量：随机过程在某一时刻：随机过程在某一时刻t1的取值的取值x(t1)是一个随机变是一个随机变量，随机变量一般定义在样本空间上。量，随机变量一般定义在样本空间上。集合平均集合平均：一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代：一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代表随机过程表随机过程 x(t) ，随机过程在任何时刻的统计特性需，随机过程在任何时刻的统计特性需用其样本函数的集合平均来描述。用其样本函数的集合平均来描述。时间平均时间平均：按单个样本函数的时间历程进行平均计算。：按单个样本函数的时间历程进行平均计算。平稳与非平稳随机过程平稳与非平稳随机过程：平稳随机过程指其统计特性不随：平稳随机过程指其统计特性不随时间而变化，或者说，不随时间坐标原点的选取而变化；时间而变化，或者说，不随时间坐标原点的选取而变化；否则，则为非平稳随机过程。否则，则为非平稳随机过程。信号的描述信号的描述各态历经过程各态历经过程：若平稳随机过程任一样本函数的时间平：若平稳随机过程任一样本函数的时间平均统计特性等于该过程的集合平均统计特性，则称该均统计特性等于该过程的集合平均统计特性，则称该随机过程是各态历经的（遍历性）。随机过程是各态历经的（遍历性）。各态历经过程的物理含义：任一样本函数在足够长的时各态历经过程的物理含义：任一样本函数在足够长的时间区间内，包含了各个样本函数所有可能出现的状态。间区间内，包含了各个样本函数所有可能出现的状态。对于各态历经过程，其时间平均等于集合平均，因此各对于各态历经过程，其时间平均等于集合平均，因此各态历经过程的所有特性都可以用单个样本函数上的时态历经过程的所有特性都可以用单个样本函数上的时间平均来描述。工程中绝大多数随机过程都是各态历间平均来描述。工程中绝大多数随机过程都是各态历经的或可以近似为各态历经过程进行处理。经的或可以近似为各态历经过程进行处理。一般，随机过程需足够多（理论上为无限个）的样本函一般，随机过程需足够多（理论上为无限个）的样本函数才能描述，即使是各态历经过程，理论上也需要无数才能描述，即使是各态历经过程，理论上也需要无限长的时间记录。限长的时间记录。 信号的描述信号的描述随机过程的样本函数随机过程的样本函数信号的描述信号的描述00000 x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)t1t2ttttt随机信号的主要统计特征描述各态历经随机信号的主要特征参数有：描述各态历经随机信号的主要特征参数有：幅值域幅值域：均值、方差、均方值、概率密度函数等：均值、方差、均方值、概率密度函数等时间域时间域：自相关函数、互相关函数：自相关函数、互相关函数频率域频率域：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数、相干函：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数、相干函数等数等信号的描述信号的描述均值、均方值、均方根值和方差均值、均方值、均方根值和方差 均值均值( (mean) )反映信号的静态分量，即常值分量：反映信号的静态分量，即常值分量：TTxttxT0d)(1lim均方值均方值(mean square)反映信号的能量或强度：反映信号的能量或强度： TTxttxT022d)(1lim均方根值均方根值(root of mean square)为均方值正的平方根：为均方值正的平方根： 2rmsxx信号的描述信号的描述方差方差(Variance)反映信号偏离均值的波动情况：反映信号偏离均值的波动情况： TxxxTxdttxT02222)(1lim标准差标准差(standard variance)为方差的正的平方根：为方差的正的平方根： 222xxxx信号的描述信号的描述概率密度概率密度(probability density)函数函数 概率密度函数概率密度函数表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率。表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率。 随机信号随机信号 的时间历程，幅值落在的时间历程，幅值落在 区间的区间的总时间为总时间为 ，当观测时间，当观测时间T 趋于无穷大时，概率趋于无穷大时，概率记为记为)(lim)(TTxxtxxPxT)(tx),(xxxkiixtT1信号的描述信号的描述xx+x0 x(t)t1t2t3t4tT0 xp(x)定义概率密度函数定义概率密度函数 )1(limlim1lim)(lim)(1000kiiTxxTxxtxTTTxxxxtxxPxp概率密度函数提供了随机信号的幅值分布信息，是随机信概率密度函数提供了随机信号的幅值分布信息，是随机信号的主要特征参数之一。在实际应用中，当不知道所处理号的主要特征参数之一。在实际应用中，当不知道所处理的随机数据服从何种分布时，可以用统计概率分布图和直的随机数据服从何种分布时，可以用统计概率分布图和直方图来估计方图来估计p(x)。xxptxxExd)()(xxptxtxExd)()()(222如果知道信号的概率密度函数，则如果知道信号的概率密度函数，则信号的描述信号的描述1.3 1.3 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱 （several typical signals spectrum）1.3.1 单位脉冲函数单位脉冲函数(函数函数) 的频谱的频谱1. 函数定义函数定义)0(0)0()(lim)(0tttt1d)(d)(limd)(lim00tttttt且其面积（强度）：且其面积（强度）： /201/t(t)0t(t)2. 函数的性质函数的性质 1) 函数的采样性质函数的采样性质 )()0()()(txttx)()()()(000tttxtttx2)筛选性筛选性 )0(d)()0(d)()(xttxtttx)(d)()(d)()(0000txttttxttttx筛选结果为筛选结果为x(t)在发生在发生函数位置的函数值函数位置的函数值( (又称为采样值又称为采样值) ) 3)卷积性卷积性 )(d)( )()()(txtxttx)(d )( )()()(000ttxttxtttx几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱 函数与其他函数的卷积示例函数与其他函数的卷积示例 (t)0t1x(t)0tA0tAx(t) (t)(tt0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t) (t t 0)-t0t0-t0t03. 函数的频谱函数的频谱 对对(t)取傅里叶变换取傅里叶变换 1ede )( )(02 j2 jfftttfftftde1)(2j函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱均匀谱”。 函数是偶函数，即函数是偶函数，即 ，则利用对称、，则利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对 )()()()(fftt、02j0e)(fttt)(e02j0fftf几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱0t(t)10f(f )1（各频率成分分别移相（各频率成分分别移相2 ft0） (t t0) (f) （单位脉冲谱线）（单位脉冲谱线） 1 （幅值为（幅值为1的直流量）的直流量） 1 （均匀频谱密度函数）（均匀频谱密度函数） (t) （单位瞬时脉冲）（单位瞬时脉冲） 频频 域域 时时 域域 02jefttf02je)(0ff 单位脉冲函数的时、频域关系单位脉冲函数的时、频域关系几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱1.3.2 矩形窗函数和常值函数的频谱矩形窗函数和常值函数的频谱 （1）矩形窗）矩形窗(rectangle window)函数的频谱函数的频谱222j2jede)()(TTftftdtttwfWfTfTTffTfTsinee2 j1jj)(sincfTT几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱W(f )T01T1Tf3T3T(f )01T2T3T1T2T3T2T2T1-T/2T/2tw(t)0几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱（2）常值函数）常值函数(又称直流量又称直流量) 的频谱的频谱 幅值为幅值为1 1的常值函数的频谱为的常值函数的频谱为 f = 0 = 0处的处的函数。函数。)(e020fftfj 当矩形窗函数的窗宽当矩形窗函数的窗宽 T 趋于无穷时，矩形窗函数就趋于无穷时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域为成为常值函数，其对应的频域为函数。函数。几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱（3）指数）指数(exponent)函数的频谱函数的频谱双边指数衰减函数双边指数衰减函数 22j2j2j20j202j)2(j4)j2(1)j2(10)j2(ee0)j2(eedeedeede )()(faffafafafattttxfXftatftatftatftatft其傅里叶变换为其傅里叶变换为 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱)0, 0(e)0, 0(e)(tatatxatat单边指数衰减函数及其频谱单边指数衰减函数及其频谱 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱（4） 符号符号(sign)函数和单位阶跃函数和单位阶跃(unit step)函数的频谱函数的频谱 符号函数的频谱符号函数的频谱符号函数可以看作是双边指数衰减函数当符号函数可以看作是双边指数衰减函数当a 0时的极限时的极限形式，即：形式，即：ffafadttefXaaftataftataj)j2(1lim)j2(1limeelimdelim)(00j200j200几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱)0, 0(elim1)0, 0(elim1)(00tatatxataata 单位阶跃函数的频谱单位阶跃函数的频谱单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数a 0时的极时的极限形式。限形式。fefatttxfXtfaaftataft2jj21limdeelimde )()(0)j2(00j20j2几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱)0, 0(elim1)0(0)(0tattxata单位阶跃函数及其频谱单位阶跃函数及其频谱 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱01tx(t)0X(t)11（5）正余弦）正余弦(sine/cosine)函数的频谱密度函数函数的频谱密度函数 正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅里叶变换。由欧拉公式知：傅里叶变换。由欧拉公式知：tftftftftftf0000j2j20j2j20ee212cosee2j2sin)()(212cos)()(2j2sin000000fffftffffftfFF几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱1/21/20fReX(f)-f0f01/2-1/20fImX(f)-f0f00tsin2f0t0tcos2f0t几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱（6）梳状）梳状(comb)函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱 nnTtTt)(),(combssTs为周期；为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数 ktkfkCTtsj2se),(comb22j2ssssde ),(comb1TTtkfktTtTCs（fs = 1 / Ts）因为在（因为在（-Ts /2，Ts /2）区间内只有一个）区间内只有一个 函数函数 (t)，故，故s22j2s1de )(1ssTttTCTTtkfks几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱ktkfsTTtj2sse1),(comb从而从而 kskffTTtff)(1),(comb),(COMBsssF所以所以 kTkfT)(1ss即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），脉冲强度为），脉冲强度为1/Ts。 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱.comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts.COMB(f,fs)1/Ts0 1Ts2Ts 1 Ts2Ts