第10讲一元一次方程奥数学而思超常班

2011春季班三年级超常班7而思侯晓卅第十讲一元一次方程一、一元一次方程的解法相关概念：等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；（2）等式两边同时乘以或除以（除数不为零）同一个数，等式 仍然成立。方程：含有未知数的等式。（两个注意：（1）含有未知数：（2）等式。）元：未知数的个数（儿种木知数就是儿元）；次：未知数最高次项的次数。解一元一次方程步骤：（1）去括号（注意乘；丿、分配律;括号前是减号要变号）（2）移项（过桥变号）（3）合并（4）求解前两步易错。例 1： 2X+12=4X-12解：12+12=4X-2X （移项注意过桥变号：未知数放左边不够减就放右边） 24=2X （合并）X=12 （求解；最后一步建议把X写左边）10 （X+2） =4 （2X+7）解:10X+20=8X+28 （去摇号,注意乘法分配律）10X-8X=28-20 （移项，注意变号）2X=8X=4超常学案1：8X2 （7+X） =4解：8X-14-2X=4 （注意去括号更同时完成两个任务乘法分配 律：括号前是减号要变号8X-2X=4+146X=18X=3补充题：6 （3-X） -5 （X-1） =1 X=23X+2-2 （2X-1） =0 X=4二、列方程解应用题步骤：设、列、解、（检验）、答。我们学习方程具以后，复杂的应用题不需要绕來绕去分析。K接根据题意 列方程求解即可。设未知数有血接设耒知数和间接设未知数。(一)直接设未知数例2：(年龄问题)今年，爷爷的年龄是小李的5倍，小李发现，12年后， 爷爷的年龄将是他的3倍，试求出今年小李的年龄。解:设小李今年X岁，爷爷今年5X今年的年龄12年后的年龄小李XX+12爷爷5X5X+12根据“12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，” 列得方程：5X+12=3 (X+12) 解得X“2答：小李今年12岁。注：表格助r分析整理条件，熟悉后可略去。例4：(盈,j问题)一个工人接到加工一批零件的任务，限期完成。如果每 天做10个，还差3个完成任务：如果每天做11个，就可以提前1天完成。他的 工作期限是多少天？解:设工作期限是X天。(根据总量相等列方程)10X+3=ll (X-1)解得，X=14答：工作期限是14天。【附:本题的算术解法:(11+3) 4- (11-10) =14 (天)而解方程的过程10X+3=ll (X-1)1OX+3=11X-1111+3=11X-1OXX= (11+3) 4- (11-10)冷见算术方法和方程是对W的。算术方法对应着解方程的过程。有的题冃有 多种并术方法就可以列得多个不同的方程。如鸡兔同笼，有兴趣的同学可以试试, 有助丁加深对方程的理解C】例5：(和差问题)把161分成两个数，使两数之和是两数之差的7倍，求 这两个数各是多少？解：两数差为1617=23,设较小数为X,则大数为X+23,根据两数和为161 解方程 X+ (X+23) =161解得X=69则较大数为69+23=92答：大数为92,小数为69。例6：(迎春杯真题)土二小放一群鸭子到池塘，邻居李大妈问二小一共有 2011祚乍班三年级超帘班7而思侯晓卅多少只鸭子。二小答道“头数加只数，只数减头数，只数乘头数，只数除头数, 把四个得数相加恰好是100王二小一共有多少只鸭子？解：设王二小有X只鸭子。根抑“头数加只数只数减头数.只数乘头数.只数除头数.把四个得数相加恰好是100”.列方程： X+X + X-X + XXX + X4-X = 100化简得，X+2X+l=1.00此方程为一元二次方程，一般看到都感觉不太会解。可以采用如下三种方法：方法一：尝试法由于数字不太大，可以尝试得X=9方法二：X2+2X+l=100X:+2X=99X (X+2) =99X与X+2是两个相差二的门然数，乘积为99,只能分解为9X11X=9,X+2=11方法三：(完全平方公式)(a + b) =cF + 2ab + b(o + by =a2 + 2ah + h2(X4-1)2 = X2+2XX1+12 = X2 +2X+1原方程华为(X+1)=100CP(X+l)2=10:X+l=10X=9答：王二小有9只鸭子。【附：完全平方公式的证明：如图所示：正方形边长为a+b,而积为(d + b门又可以如图分割：面积为，+ 2ab+b所以(d + b) = d + 2ab+b2口诀：首平方，尾平方；二倍乘积在中央。】补充两道小升初真题：补充1：大小两池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨 水：若从人池抽水将小池注满，则人池还剩30吨水。已知人池容最是小池的1.5 倍，问：两池中共有多少吨水？解：设两池中共有水X吨。若从小池抽水将人池注满，则小池还剩5吨水，说明人池容臺为X-5： 若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水，说明小池容鼠为X30。根据“大池容最是小池的1.5倍，”列方程：X-5=1.5 (X-30 )解,得X=80答：两池中共有80吨水.补允2： 群学生进行篮球测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分 情况如下表：进球数0128910人数754341还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进球不到8个球的人平均投进3 个球，问：共有多少人参加测验？分析与答：【平均数问题：总数二平均数X数最本题乍一看毫无头绪，就是因为中间的信息不全，但从条件入手，就可以巧 妙的回避省略号处不全的信息。列方程解应用题定耍找到等量关系，同个量, 用两种不同的表达方式把它表示出來，就得到方程。本题中：投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的 人的进球数，也等进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进 球数。设共有X人参加测验。至少投进3个球的人数为(X-7-5-4)人，已知至少投进3个球的人平均投进 6个球，则至少投进3个球的人共投进6X (X-7-5-4)个球，则投中的总球数(等 丁进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数)为0X7+1 X5f2X4+6X (X-7-5-4) =6X-83；投进不到不到8个球的人数为(X-341)人，己知投进球不到8个球的人平 均投进3个球，则投进球不到8个球的人共投进3X (X-3-4-1)个球，则投球的 总数(等丁进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数)为 3X (X-3-4-1) +8X3+9X4+10Xl=3X+46：列方程 6X-83=3X+46解：设共有X人参加测验。0X7+1X5+2X4+6X (X-7-5-4) =3X (X-3-4-1) +8X3+9X4+10X1解，得X=43答：共有43人参加测验。(二)间接设未知数超常123学案3：水果店运來的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，如果每天卖 130个西瓜和36个哈密瓜，那么哈密瓜买完后还剩下70个西瓜。问：水果店运 來的西瓜和哈密瓜共多少个？解：设卖了 X天。(由丁两种水果卖的个数和天数紧密相关，故选择设天数2011祚季班三年级超常班7而思侯晓卅为未知数）卖剩共西瓜130X70130X+70哈密瓜36X036X根据“水果店运來的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，”列方程:130X+70=4 X36X解得X=5西瓜：130X5+70=720 （个）哈密瓜:36X5=180 （个）共 720+180=900 （个）答：水果店运來的西瓜和哈密瓜共900个。例7： 次数学竞赛，某校八年级学生参加的人数是未参加的3倍，如果六 年级人数学生减少16人，耒参加的学生增加8人，那么参加的是耒参加的2倍。 六年级总人数是多少？解：根据“六年级学生参加的人数是未参加的3倍”，选择设未参加的人数 为X,参加的为3X。变化前变化后参加3X4X-16-( X+8)=3X-24未参加XX+8一共4X4X-16根据“参加的是未参加的2倍”得方程:3X-24=2 （X+8）解得，X=40总人数4X=160 （人）答：六年级总人数160人。超常123班学案4：今年兄弟俩的年龄和是55岁，曾经有一年，哥哥的年 龄刚好是弟弟今年的年龄，而那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的2倍。兄弟俩今 年分别多少岁？解：根据“那时躡盼的年龄恰好是弟弟年龄的2倍”设那时弟弟年龄为X, 则那时哥哥年龄为2X。隐含信息：年龄差为X哥哥弟弟曾经有一年2XX今年2X+X=3X （年龄公不变为X）2X （曾经有一年,哥哥的年龄刚 好足弟处今年的年龄）今年兄弟俩的年龄和是55岁，列方程3X+2X=55解得X=ll哥哥今年:3X=33；弟弟今年：2X=22答：哥哥今年33岁；弟弟今年22岁。例8：甲乙内三人，当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22岁；当乙的年龄是 丙的2倍时，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁？解：由“当甲的年龄是乙的2倍时，”可知年龄：屮乙； 由“当乙的年龄是丙的2倍时，”可知年龄：乙内1 综上，甲乙丙根据“当甲的年龄是乙的2倍时，内是22岁”设这时乙X岁，则甲2X。 隐含条件甲乙年龄差：甲-乙二X；甲丙年龄差:甲丙=2X22.甲乙丙年份12XX22年份23131-X(甲乙年龄基：甲乙=x)31- (2X-22) =53-2X(甲丙年龄基：甲内=2X-22)年份360?根据“当乙的年龄是内的2倍时，甲是31岁”，列方程:31*2 (53-2X)解,得 x=25至此，表格信息b全，无论原题问什么都可求:屮乙丙年份12X=50X=2522年份23131-X=653-2X=3年份360? =32或由甲丙=2X-22=28直接列式:60-28=32答：当甲60岁时，丙是32岁。