数列的极限96840学习教案

数列数列(shli)的极限的极限96840第一页，共38页。1. 割圆术 我国古代数学家刘徽在九章算术我国古代数学家刘徽在九章算术(ji zhn sun sh)中利用圆内接正多边形计算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何上的应用。中利用圆内接正多边形计算圆面积的方法割圆术，就是极限思想在几何上的应用。“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽刘徽第1页/共38页第二页，共38页。R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正 形的面积126 nnA 说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416 。第2页/共38页第三页，共38页。二、数列二、数列(shli)的极限的极限 1. 数列：数列就是由数组成(z chn)的序列。缩写为 ，称为通项。 nxnxnO.例如无限接近无限接近0 无限接近无限接近0 1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：第3页/共38页第四页，共38页。)(1n趋势(qsh)不定收 敛发 散第4页/共38页第五页，共38页。注：2）数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx1）数列(shli)是以自然数为定义域的函数第5页/共38页第六页，共38页。2. 数列极限(jxin)的定义从前面的实例可以看出，他们具有(jyu)一个共同的属性收敛性。正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正 形的面积126 nnA,321nAAAASnnX211 1抛开具体含义，抽象得到数学模型数列极限。第6页/共38页第七页，共38页。图形(txng)演示播放播放(b fn)第7页/共38页第八页，共38页。问题问题(wnt)(wnt)当n时, xn某确定数值(shz)？若是, 如何确定？问题问题 “无限接近”意味什么？如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:第8页/共38页第九页，共38页。发散：如果(rgu)数列没有极限，就说数列是发散的。定性定义：设xn为一数列, 若存在常数a , 对任给定的正数(不论它多么小), 总存在正数N , 使得当n N 时，不等式 | xn -a |都成立,那么就称 a是数列xn 的极限(jxin),或者称数列xn 收敛于a,记为 或 。 注：b)的任意性，N的存在性， N依赖。a)不等式| xn-a |0 ,使得对一切xn ,恒有|xn |M成立,则称数列xn有界;否则,称为无界。注：数轴上对应(duyng)于有界数列的点xn都落在-M,M上.例如: 数列xn = n /(n+1) 有界；数列 xn =2n 无界。第18页/共38页第十九页，共38页。定理定理2 2 收敛收敛(shulin)(shulin)的数列必定有界的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设注注1 1 有界性是数列有界性是数列(shli)(shli)收敛的必要条件收敛的必要条件. .注注2 无界数列必定发散.注注3 有界数列不一定收敛. .第19页/共38页第二十页，共38页。定理(dngl)3证3. 收敛(shulin)数列的保号性.第20页/共38页第二十一页，共38页。4. 收敛数列(shli)与其子数列(shli)的关系.第21页/共38页第二十二页，共38页。注：若 有两个子列收敛于不同的极限， 则 发散。如： 。 nxnx定理(dngl)4由定义由定义(dngy),第22页/共38页第二十三页，共38页。数列极限：极限思想，精确定义，几何(j h)意义收敛数列的性质：有界性，唯一性，保号性第23页/共38页第二十四页，共38页。五、思考五、思考(sko)判断题判断题下列定义(dngy)是否可作为数列极限的定义(dngy)1、对任意的2、对任意的否否作业：作业： P30. 2、3（1、2） 第24页/共38页第二十五页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示第25页/共38页第二十六页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示第26页/共38页第二十七页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示第27页/共38页第二十八页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示第28页/共38页第二十九页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形图形(txng)演示演示第29页/共38页第三十页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示第30页/共38页第三十一页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示第31页/共38页第三十二页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示第32页/共38页第三十三页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示第33页/共38页第三十四页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示第34页/共38页第三十五页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示第35页/共38页第三十六页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示第36页/共38页第三十七页，共38页。.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn图形(txng)演示返回返回(fnhu)第37页/共38页第三十八页，共38页。