南通市高三数学参考题35题

2020年南通市高三数学参考题（35题）一、选择题1 （命题人：启东中学）函数f（x）|x2a| 在区间1，1上的最大值M（a）的最小值是 A B C1 D2【解析】选Bf（x）是偶函数，所以M（a）是在0，1内的最大值，当a0时，f（x）x2a，则M（a）1a；当a0时，由图像可知，若，则M（a）a，若，则M（a）f（1）1a，从而M（a） ， M（a）min2 （命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞）在网络游戏变形中，主人公每过一关都以的概率变形（即从“大象”变为“老鼠”或从“老鼠”变为“大象”），若将主人公过n关不变形的概率计为Pn，则AP5P4 BP8P7 CP11P16 【解析】由题（，即（，以n1代n，得，所以（而，所以（）所以所以偶数项比它相邻项大，所以答案为C3 （命题人：海门市悦来中学何振华，审题人：沈康生）在矩形ABCD中，AB3，AD4，P在AD和DC上运动，设，将沿BP折起，使得二面角成直二面角，当为（ ）时，AC长最小A B C D【解析】过A作AHBP于H，连CH，在，yAOxBC在，时，AC长最小；选B4 （命题人：通州中学陈颖，审题人：严东来）如图，非零向量与轴正半轴的夹角分别为 和，且，则与轴正半轴的夹角的取值范围是A B C D【解析】与轴正半轴的夹角的取值范围应在向量 与轴正半轴的夹角之间，故选B5 （命题人：通州中学严东来，审题人：王淦华）已知函数的定义域是，值域是，则满足条件的整数对共有A2个 B5个 C6个 D无数个【解析】在R上是偶函数，故的图象关于y轴对称，作出的图象，截取值域是 的一段，发现a，b的取值只可能在2，1，0，1，2中取得，但必须取0，22必须至少取一个，故选B6 （命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军）三角形ABC中AP为BC边上的中线，则A2 B3 C D【解析】，即，故选C7 （命题人：如皋中学薛钧，审题人：冒红玉）已知双曲线的左右两焦点分别为，是双曲线右支上的一点， 点满足，在上的投影的大小恰为，且它们的夹角为，则等于A B C D【解析】因为，所以是一对同向向量，且又因为在上的投影的大小恰为，所以在中，又，所以，所以，故选A8 （命题人：如皋一中潘佩，审题人：戴圩章）如图1，设P、Q为ABC内的两点，且，则ABP的面积与ABQ的面积之比为 A B C D 图1 图2【解析】如图2，设，则由平行四边形法则，知NPAB，所以，同理可得故，选B9 （命题人：海安中学王光华，审题人：王光华）现准备将台型号相同的电脑分配给所小学，其中、两所希望小学每个学校至少台，其他小学允许台也没有，则不同的分配方案共有A种 B种 C种 D种【解析】法一：分类，“42000型”，共有2种方案；“33000型”，共有1种方案；“32100型”，共有种种方案；“22200型”，共有3种方案；“22110型”，共有3种方案；故共有15种不同的分配方案选B10（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）已知f （x）x1，g （x）2x1，数列an满足：a11，an1则数列an的前2020项的和为A5220202020 B3220205020 C6220205020 D6210035020【解析】a2n2a2n11（2a2n1）12a2n2，a2n222（a2n2），数列a2n2是以2为公比、以a2a112为首项的等比数列a2n222 n1，a2n2 n2 又a2na2n1 a2n2a2n13a2n1，数列an的前2020项的和为a1（ a2 a3） （ a4 a5） （ a6 a7） （ a2020 a2020） a1（3a21） （3a41） （3a61） （3a20201） 1（325） （3225） （3235） （3210035） 1（325） （3225） （3235） （3210035） 3（22223210031510036（210031）151003621003 5020 ，故选D二、填空题11（命题人：启东中学）在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_【解析】答案：5 连A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值通过计算可得A1C1C90又BC1C45，A1C1C135 由余弦定理，可求得A1C512（命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞 ）已知函数f（x）、g（x）满足xR时，f（x）g（x），则x1、）【解析】记，则由已知，所以在R上单调递增，xPF1F2yO所以x1x2时，即f（x1）f（x2） f（cd）的解集为_【解析】ab2sin2x11， cdcos2x11，f（x）图象关于x1对称，f（x）在（1，）内单调递增由f（ab）f（cd）abcd，即2sin2x12cos2x1，又x0， ，x（）故不等式的解集为（）20（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设P为双曲线上除顶点外的任意一点，分别为左右点， 的内切圆交实轴于点M，则值为 【解析】 由已知，得 又， 因此三、解答题21（命题人：海门中学吴健，审题人：沈永飞）已知函数为实常数（1）a在什么范围内时，只有一个公共点？（2）若上有最小值2，求a的值【解析】（1）当时，所以在R上单调增，此时只有一个公共点；当时， 由，得在上列表：00极大值极小值因为只有一个公共点，所以或所以，得综上，只有一个公共点（2）由，可知为偶函数，则原题即为在上有最小值2设（），则时，所以在上单调增，所以因为在上有最小值2，所以，所以时，无最小值，不合题意时，（I）时，所以在上单调减，所以，此时在上的最小值为，不合（II）时，由，得在上列表：20极小值综上，的值为22（命题人：海门市悦来中学邢素琴，审题人：董卫平）设（a0）为奇函数，且min，数列an与bn满足如下关系：a12， （1）求f（x）的解析表达式；（2）证明：当nN时，有bn【解析】（1）由f（x）是奇函数，得 bc0由|f（x）min|，得a2，故f（x） （2） ，而b1， 当n1时，b1，命题成立 当n2时，21（11）111n，即 bn23（命题人：通州中学陈颖，审题人：王淦华）椭圆的两焦点为，（为坐标原点），P为椭圆上一点， 的斜率分别为和（1）求证：；（2）若的面积为3，求椭圆方程【解析】解法一 （1） 依题意，令，则，所以（2）在Rt中，所以所以椭圆方程为解法二 （1）令，由题意，得， 由、，可知 ，24（命题人：通州中学陈颖，审题人：羌达勋）某地区1986年以来人口总数和居民住宅总面积分别按等比数列和等差数列逐年递增已知1986年底人均住房面积为10，2020年底人均住房面积为20据此计算：（1）1996年底人均住房面积超过14，试给出证明；（2）若人口年平均增长率不超过3，能否确保2020年底人均住房面积比2020年底有所增加？为什么？【解析】（1）设86年底人口总数为a，住宅总面积10a，年人口增长的公比为（即后一年是前一年人口的倍），年住宅总面积的公差为，则2020年底人均住房面积为，则，故1996年底人均住房面积（2）2020年底人均住房面积，2020年与2020年底人均住房面积之差，只需考虑分子，单调递减又，此即表明，2020年底人均住房面积仍超过2020年底人均住房面积25（命题人：平潮高级中学吴杰，审题人：宋军）已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线yx对称（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；（3）设直线ymx1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M（2，0）及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围【解析】（1）设双曲线C的渐近线方程为ykx，即kxy0该直线与圆相切，双曲线C的两条渐近线方程为 设双曲线C的方程为，双曲线C的一个焦点为，双曲线C的方程为 （2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|OF1|；若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|QF1|根据双曲线的定义，|TF2|2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（），则代入并整理，得点N的轨迹方程为 （3）由令，直线与双曲线左支交于两点，等价于方程 上有两个不等实根，因此又AB的中点为，直线L的方程为令x0，得，故b的取值范围是26（命题人：如东中学赵延贵，审题人：刘卫东）已知，数列满足， （1）求证：数列是等比数列；（2）当n取何值时，取最大值，并求出最大值；（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围【解析】（1），即 又，可知对任何，所以 ，是以为首项，公比为的等比数列 （2）由（I），可知（） ， 当n7时，；当n7时，当n7或n8时，取最大值，最大值为（3）由，得 （*）依题意，（*）式对任意恒成立， 当t0时，（*）式显然不成立，因此t0不合题意当t0时，由，可知（）而当m是偶数时，因此t0时，由（），（）设（）， ，的最大值为所以实数的取值范围是27（命题人：如东中学葛张勇，审题人：刘卫东）在ABC中，已知A（0，1），B（0，1），AC、BC两边所在的直线分别与x轴交于E、F两点，且4（1）求点C的轨迹方程；（2）若，试确定点F的坐标；设P是点C的轨迹上的动点，猜想PBF的周长最大时点P的位置，并证明你的猜想【解析】（1）如图，设点C（x，y）（x0），E（xE，0），F（xF，0），由A，C，F三点共线，xE同理，由B、C、F三点共线可得xF化简，得点C的轨迹方程为x24y24（x0）4，xExF4（2）若，设F（xF，0），C（xC，yC），（xc，yc1）8（xFxc，yc）xc，yC代入x24y24， 得xFF（，0），即F为椭圆的焦点猜想：取F（，0），设F1（，0）是左焦点，则当P点位于直线BF1与椭圆的交点处时，PBF周长最大，最大值为8证明如下：|PF|PB|4|PF1|PB|4|BF1|，PBF的周长4|BF1|BF|828（命题人：如东县马塘中学张志军，审题人：徐永华）已知三角形ABC的两顶点A、B分别是曲线的左右焦点，且内角满足（1）求顶点C的轨迹方程E；（2）若x轴上有两点，过N的直线与曲线E的交点是D、E求的值【解析】由，得，所以顶点C的轨迹E的方程为（2）设l：（斜率不存在时不合题意），由得，则时，有29（命题人：如皋中学姚新国，审题人：薛钧）第一行是等差数列0，1，2，3，2020，将其相邻两项的和依次写下作为第二行，第二行相邻两项的和依次写下作为第三行，依此类推，共写出2020行（1）求证：第1行至第2020行各行都构成等差数列（定义只有两项的数列也称等差数列）；（2）各行的公差组成数列求通项公式；（3）各行的第一个数组成数列，求通项公式；（4）求2020行的这个数【解析】（1）记表示第行第列的项由已知知第1行是等差数列；，所以第2行数列是等差数列，所以第3行数列是等差数列同理可证，第4，5，都是等差数列（2），则是等差数列，（3），数列是等差数列，所以（4）30（命题人：如皋中学姚新国，审题人：刘建华）已知集合（1）求；（2）若以为首项，为公比的等比数列前项和记为，对于任意的，均有，求的取值范围【解析】（1）由得当时，当时， ，当时，综上，时，；时，；当时， （2）当时，而，故时，不存在满足条件的；当时，而是关于的增函数，所以随的增大而增大，当且无限接近时，对任意的，只须满足 解得 当时，显然，故不存在实数满足条件 当时，适合当时，且故故只需 即 解得综上所述，的取值范围是31（命题人：如皋一中潘佩，审题人：戴圩章）设轴、轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点、分别满足下列两个条件：且；且（1）求及的坐标；（2）若四边形的面积是，求的表达式；（3）对于（2）中的，是否存在最小的自然数M，对一切都有M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由【解析】（1）（2）（3） ， ，等等即在数列中，是数列的最大项，所以存在最小的自然数，对一切，都有M成立32（命题人：海安中学游余祥，审题人：王光华）函数的定义域为，设（1）求证： ；（2）确定t的范围使函数在上是单调函数；（3）求证：对于任意的，总存在，满足；并确定这样的的个数【解析】（1）设，则，所以（2），令，得当时，时，是递增函数；当时，显然在也是递增函数是的一个极值点，当时，函数在上不是单调函数当时，函数在上是单调函数（3）由（1），知，又， 我们只要证明方程在内有解即可记，则，当时，方程在内有且只有一解；当时，又，方程在内分别各有一解，方程在内两解；当时，方程在内有且只有一解；当时，方程在内有且只有一解综上，对于任意的，总存在，满足当时，满足，的有且只有一个；当时，满足，的恰有两个33（命题人：南通一中朱柏华）两名大学毕业生去某单位应聘，该单位要从参加应聘的人中录用5人，且两人同时被录用的概率为（1）求参加应聘的人数；（2）求两人中至少有一人被录用的概率【解析】（1）设参加应聘的人数为x，则，得x20（2）设两人中至少有一人被录用的概率为，则134（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设椭圆1，ab0的左焦点为F1，上顶点为A，过点A与AF1垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P、Q两点，且P分向量所成的比为（1）当（1，2）时，探求椭圆离心率（e）2的取值范围；（2）当时，过A、Q、F1三点的圆恰好与直线L：xy30相切，求椭圆的方程【解析】（1）设Q（x0，0），F1（c，0），A（0，b），P分向量所成的比为，P（，），（）2（）21 而（c，b），（x0，b），0，cx0b20 F1AQPxyO由、消去x0，得（）2（）21，即2（1）21，即（e）21（2，3） （2）当时，e，e，a2c又AF1Q是直角三角形，其外接圆圆心是斜边中点，圆心为（，0）（，0）（c，0），半径为ra由圆恰好与直线L：xy30相切，得a，a2，b椭圆方程为135（命题人：南通市小海中学夏志辉，审题人：夏志辉）设一动点M在x轴正半轴上，过动点M与定点的直线交yx（x0）于点Q，动点M在什么位置时，有最大值，并求出这个最大值【解析】 设，要它与相交，则 令，令，得 于是由，而当l的方程为x2时，u2， 对应得k2，进而求得