微分方程及其应用课件

第六章第六章 微分方程及其应用微分方程及其应用6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法常微分方程的基本概念与分离变量法 6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 6.4 常微分在经济中应用常微分在经济中应用 6.1 6.1 常微分方程的基本概念与分离变量法常微分方程的基本概念与分离变量法 6.1.1 6.1.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念1. 微分方程 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程。 注：在微分方程中，如果未知函数是一元函数，则方程称为常 微分方程，简称微分方程。2. 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶.22(1)dyx ydx如一阶 5(2)cos40yyx五阶(3)4130yyy二阶2(4)20 xyyyx一阶一般地，n 阶微分方程的一般形式为： ,0nFx yyy， ， ，3. 微分方程的解、通解 （1）若某函数代入微分方程后，能使该方程两端恒等，则这个函 数为该微分方程的解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的解, 显然 y = x2 + C 也是方程（1）的解. （2）如果微分方程的解中所含独立常数的个数等于微分方程的阶 数，这样的解称为微分方程的通解. 如 y = x2 + C 是方程（1）的通解. 4微分方程的初始条件和特解 （1）确定通解中任意常数值的附加条件叫做初始条件； 一般地 一阶微分方程的初始条件为： 二阶微分方程的初始条件为： 00 x xyy00001(x xyyxyy， ， 为给定值)01x xyy（2）由初始条件确定了通解中任意常数后所得到的解，称为微 分方程的特解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的特解.211210?,2?yCxxyy 例函数是方程的解吗 若是解 是通解 还是特解2122yxyCx解将及代入所给方程左端得22221221221 102CxCxCxCx 21.2yCx是所给方程的解212yCx又中含有一个任意常数C，而所给方程又是一阶微分方程， 212yCx是所给方程的通解. 120021011xxxyC xC ex yxyyyy 例验证是微分方程的通解,并求出满足初始条件及的特解.12122,:xxxyC xC eyCC eyC e解将及代入所给方程左端得 2121210 xxxx C ex CC eC xC e1210 xyC xC ex yxyy是微分方程的解12xyC xC e又中含有两个任意常数，而所给方程又是二阶的， 12xyC xC e是所给方程的通解.2011;xyC 将代入通解中得12121011,2,xxyyCC eCCC将代入中得,则2.xyxe于是所求特解为6.1.2 6.1.2 分离变量法分离变量法 1定义 形如 (1)dyf x g ydx的方程称为可分离变量的方程. 特点 - 等式右端可以分解成两个函数之积，其中一个只是x 的函数，另一个只是y的函数 ygxfdxdy2解法 设 10dyf x dxg yg y分离变量得当g(y)0时，两端积分得通解 1dyfx dxg y 11220.Mx Ny dxMx Ny dy(2)方程也是变量可分离的方程注 (1)当g(y)=0时，设其根为y =，则y =也是原方程的解； 2112120,0NyMxdydxNyMxNyMx 事实上3dyxdxy 例求微分方程的通解.解 分离变量，得 ydy = -xdx , 2211122yxC 两边积分得2212.xyCCC即为所给方程的通解212141.1xxydyydxyx 例求方程满足初始条件的特解2211yxdydxyx 解分离变量,得22111,ln 1ln 1ln222yxC 两端积分 得2211xyC即原方程的通解为11,4,xyC由得22,114.xy因此 满足初始条件的特解为 说明：在解微分方程时，如果得到一个含对数的等式，为了利用对数的性质将结果进一步化简，可将任意常数写成klnC的形式，k的值可根据实际情况来确定，如例2中取k=1/2. 例5 设降落伞从跳伞台下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞 离开塔顶(t = 0)时的速度为零。求降落伞下落速度与时间的函 数关系.解 设 降落伞下落速度为v(t)时伞所受空气阻力为-k （负号表示阻力与运动方向相反（k为常数） 伞在下降过程中还受重力P = mg作用， 由牛顿第二定律得 00tdvmmgkvvdt且于是所给问题归结为求解初值问题 00tdvmmgkvdtvdvdtmgkvm分离变量得,dvdtmgkvm两边积分得11lntmgkvCkm11,ktkCmmgvCeCekk整理得00,mgmgCeCkk由初始条件得,即1ktmmgvek故所求特解为 由此可见，随着t的增大，速度趋于常数mg/k，但不会超过mg/k，这说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动. 6.2 6.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程6.2.1 6.2.1 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 1定义： 形如 (1)dyP x yQ xdx 的方程，称为一阶线性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的连续函数, Q(x)称为自由项特点： 方程中的未知函数y及导数 dydx都是一次的 2分类若 Q(x)= 0, 即 0(2)dyP x ydx 称为一阶线性齐次微分方程若Q(x)0, 则方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程yxyx如是非齐次方程，201dyxydxx是齐次方程，sinxyyx是非齐次方程.3一阶线性齐次方程的解法 0dyP x ydx 类型： 可分离变量的微分方程 1dyP x dxy 分离变量得 lnlnyP x dxC 两边积分得 3P x dxyCe即（ ）其中 C 为任意常数. 4一阶线性非齐次方程的解法 用常数变易法 1dyP x yQ xdx设（） 在方程（1）所对应的齐次方程的通解的基础上进行变易,假设方程（1）有如下形式的解： P x dxyC x e其中 C（x）为待定函数 1P x dxP x dxC x eP xC x eQ x代入方程（）得 P x dxP x dxP x dxCx C x eC x eP xP xC x eQ x P x dxCxQ x e即 P x dxC xQ x eC于是方程(1)的通解为： 4P x dxP x dxyeQ x edxC（ ）（4）式称为一阶线性非齐次方程（1）的通解公式上述求解方法称为常数变易法 用常数变易法求一阶线性非齐次方程的通解的一般步骤为：(1)先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解；(2)根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解将所求 出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数C(x)即可；(3)将所设解带入非齐次线性方程，解出C(x)，并写出非齐次线性 方程的通解 ln1yxxyx 例求方程的通解.1lnyyxx解原方程可变形为 式对应的齐次方程为 10yyx 将方程分离变量得 dydxyx两边积分得 lnlnlnyxC即 lnlnyCx所以齐次方程的通解为： yCx 将上述通解中的任意常数C换成待定函数C(x)，将其待入方程得 lnlnxxCxxCxx，则， 2ln1lnlnln2xC xdxx dxxCx将C(x)代入式 得原方程的通解： 2ln2xyxCx3221.1yyxx例求方程的通解 3211P xQ xxx 解，223111dxdxxxyexedxC由公式可得2321111xxdxCx221112xxC421112xC x例3在串联电路中，设有电阻R，电感L和交流电动势E = E0sint， 在时刻t = 0时接通电路，求电流i与时间t的关系（E0,为常 数）解设任一时刻t的电流为i 我们知道，电流在电阻R上产生一个电压降uR = Ri， LdiuLdt由回路电压定律知道，闭合电路中电动势等于电压降之和，即在电感L上产生的电压降是 RLuuE0sindiRiLEwtdt亦即0sinEdiRiwtdtLL整理为 0sinERP tQ twtLL，式为一阶非齐次线性方程的标准形式，其中 利用一阶非齐次线性方程之求解公式得通解： 000222sinsinsincosRRdttLLRRttLLRtLEi teewtdtCLEeewtdtCLECeRwtwLwtRw L022200twLEiCRw L由初始条件得， 0222sincosRtLEi twLeRwtwLwtRw L于是 1.nyf x型6.2.2 6.2.2 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程 特点：方程y(n) = f(x)的右端仅含有自变量解法：将两端分别积分一次，得到一个n-1阶微分方程;再积分 一次，得到n-2阶微分方程，连续积分n次，便可得到该 方程的通解 24.xyex 例求微分方程的通解解 将所给方程连续积分三次，得 2221,22xxxyex dxeC 23222112246xxxxyeC dxeCxC 3222421231146118242xxxyeCxCdxCexC xC xCC 2.yf xy，型特点：方程右端不含未知函数y解法：令y = t，则y= t，于是原方程可化为以 t 为未知函 数的一阶微分方程t= f(x ,t) 250.1yyx例求方程的通解解 令y= t，则y= t， 代入原方程得 21ttx 分离变量得 121dtdxtx两边积分得 2lnln1lntxC21tC x即21yC x 再积分得 32113yC xC3121113yCxCCC即例6 如图，位于坐标原点的我舰向位于x轴上A(1,0)点处的敌舰发 射制导鱼雷，鱼雷始终对准敌舰设敌舰以常速v0沿平行于 y 轴的直线行驶，又设鱼雷的速率为2v0，求鱼雷的航行曲线方程 解 设鱼雷的航行曲线方程为 y = y(x)， 在时刻，鱼雷的坐标为P(x,y)，敌舰 的坐标为Q(1, v0t) 因为鱼雷始终对准敌舰，所以 01v tyyx 01v tyxy即20012xOPy dxv t又的长度为令y= p，方程可化为 21112x pp 00,00yy这是不显含y的可降阶微分方程,根据题意，初始条件为 分离变量可解得 211211xCpp从上面两式消去v0t得： 201112xyxyy dx两边关于x求导得: 21112yxyyy即21112x yy211211xCyy即 1001yC将代入，得，12211yyx所以12221111yyxyy而1122111122yxx 所以132221113yxxC 积分得以 y(0)= 0代入，得 223C ，所以鱼雷的航行曲线方程为： 1322121133yxx 3. yfyy，型特点： 方程右端不含变量x yP y 解法： 令dPdP dydPyPdxdy dxdy 则从而将原方程化为一阶微分方程： dPPfyPdy，240.yyy例求方程的通解 yP y 解令dPyPdy 则代入原方程得 20dPyPPdy当y0，P0时，分离变量得： dPdyPy两端积分得： 1lnlnlnPyC12C xyC e当P 0时，则y = C（C为任意常数）， 显然，它已含在解 1210C xyC eC中 （）所以原方程的通解为： 12C xyC e6.3 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程 (1)ypyqyf x定义 形如 的方程，称为二阶常系数线性微分方程其中p,q为常数 .0(2)ypyqy注 当f(x)0时，方程(1)称为二阶常系数非齐次线性微分方程； 当f(x)=0时，即 方程(2)称为二阶常系数齐次线性微分方程 6.3.1 二阶常系数线性微分方程解的性质二阶常系数线性微分方程解的性质1齐次线性方程解的结构 定义：设y1 = y1(x)与y2 = y2(x)是定义在区间(a,b)内的函数，如果存在两个不全为零的常数 k1 , k2，使得对于 (a,b) 内的任一x恒有k1 y1 + k2 y2 = 0成立，则称y1与y2在 (a,b)内线性相关，否则称为线性无关由定义知： y1与y2线性相关的充分必要条件是 21,yxkxa byx21yy若不恒为常数，则y1与y2线性无关 22xxxxxeeeee如与线性无关；12.22xxxxeeee与线性相关定理1 （齐次线性方程解的叠加原理） 若y1与y2是齐次线性方程(2)的两个解，则y = C1 y1+C2 y2也是(2)的解，且当与线性无关时，y = C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解证 将y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程(2)的左端，得 1122112211221111222212000C yC yp C yC yq C yC yCypyqyCypyqyCC所以 y = C1 y1+C2 y2是方程(2)的解,又 y1 与 y2线性无关， C1和C2是两个独立的任意常数, 即 y = C1 y1+C2 y2中所含独立的任意常数的个数与方程(2)的阶数相同 , 所以 它又是方程(2)的通解.2非齐次线性方程解的结构 定理2 （非齐次线性方程解的结构） 若yp为非齐次线性方程(1)的某个特解，yc为方程(1)所对应的齐次线性方程(2)的通解，则 y = yp+ yc为非齐次线性方程 (1)之通解证 将y = yp+ yc代入方程(1)的左端有 所以 yp+ yc 确为方程(1)的解 又 yc 中含有两个独立的任意常数， 所以 y = yp+ yc 中也含有两独立的任意常数， 故 y = yp+ yc 为方程(1)的通解 (1)ypyqyfx设 0pcpcpcpppcccyyp yyq yyypyqyypyqyf xf x 1,ypyqyfx的解定理3 若y1为方程 y2为方程 2,ypyqyfx的解则 y = y1 + y2 为方程 12(3)ypyqyfxfx的解.证： 将y = y1 + y2代入方程 (3)左端得 121212yyp yyq yy 111222ypyqyypyqy 12fxfx 右端6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法0(2)ypyqy设其中 p, q 为常数.令方程(2)的解为 rxye（r为待定常数） 代入方程(2)得 20rxrxrxr epreqe0rxe 02qprr (4) 由此可见，只要r满足方程(4)，函数 rxye就是方程(2)的解 定义 称方程(4)为微分方程(2)的特征方程，方程(4)的两个根 r1 , r2 称为特征根 由于特征方程(4)的两个根 2422, 1qppr只能有三种 不同情形，相应地，齐次方程(2)的通解也有三种不同的形式 当= p2 - 4q 0时，特征方程(4)有两个不相等的实根r1 r2 由上面的讨论知道 1212r xr xyeye与是方程(1)的两个解 又y1与y2线性无关，因此方程(2)的通解为 :1212r xr xyC eC e 当= p2 - 4q = 0时，特征方程(4)有两个相等实根 r = r1 = r2 我们只能得到方程(1)的一个解 rxey 1 221,rxyu xyu x yu x e设即对y2求导得 2222rxrxrxrxyu eureuru eyurur u e222,yyy将代入方程(2)，得022 quruupururuerx0rxe220urp urprq u又 r是特征方程的二重根， 220,0rprprq所以0 u因为u(x)不是常数，不妨取u(x)= x， 这样得到方程（2）的另一个解 2,rxyxe从而方程（2）的通解为 1212rxrxrxyC eC xeCC x e 如果= p2 - 4q 0，即特征方程(4)有一对共轭复根 12,0riri12(2).ixixyeye则和是方程的两个复数形式的解为了求出方程(2)的两个实数形式的解，利用欧拉公式 cossiniei将y1与y2分别改写为 12cossincossinxixxxixxye eexixye eexix由定理1知， 1211221cos21sin2xxyyyexyyyexi仍是方程(2)的解，这时 21sintancosxxyexxexy不是常数， 1212(2).yC yC y所以是方程的通解1212cossincossinxxxyC exC exeCxCx即综上，求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤如下： 第一步 写出方程的特征方程20;rprq第二步 求出特征方程的两个根r1及r2 ;第三步 根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解 具体如下： 21,rr21rr xrxreCeCy2121rrr21rxexCCy21ir2, 1通解形式xCxCeyxsincos21特征方程的根120.yyy例求微分方程的通解解 特征方程为 220rr特征根 121,2rr 因此，方程的通解为 212.xxyC eC e240.yyy例求微分方程的通解解 特征方程为 24410rr 特征根 1212rr 因此，方程的通解为 1212xyCC x e3480yyy例求微分方程的通解.解 特征方程为 2480rr特征根为 122222riri于是方程的通解为 212cos2sin2xye CxCx 00412901,1xxyyyyy例求方程满足初始条件的特解.解 特征方程为 241290rr特征根 1232rr因此方程的通解为 3212xyCC x e01xy1由条件得,C =1,01,xy21由条件得, C =-2故所求特解为 3211.2xyx e三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法 (1)ypyqyfx设其中p,q为常数，f(x)0 它对应的齐次方程为： 0(2)ypyqy 1.xmf xPx e型 (5)xmypyqyPx e其中为常数，Pm(x)为x的m次多项式，即 110mmmmmPxa xaxa设想方程(5)有形如 ,xpyQ x e的解其中Q(x)是一 个待定多项式 xpyQ x e将代入方程(5)，整理后得到： 22mQxp Qxpq Q xpx (6) 当2+p+q 0时，设 1011mmmmmQ xb xb xbxbQx(7) 其中b0,b1,bm 为m+1个待定系数 将式(7)代入式(6)，比较等式两边同次幂的系数，得到以b0,b1,bm为未知数的m+1个线性方程的联立方程组，从而求出b0,b1,bm，即确定Q(x)，于是可得方程(5)的一个特解为 xpyQ x e 当2+p+q=0且2+ p 0 时，(即为特征方程的单根) 那么式(6)成为 2mQp QPx由此可见，Q与Pm(x)同次幂，故应设 mQ xxQx其中Q m(x)为m次待定多项式 将Q m(x)代入式(6) 确定Q m(x)的m+1个系数，从而得到方程(5)的一个特解： xpmyxQx e 当 2+p+q = 0 且2+ p =0 时，(即为特征方程的重根) 那么式(6)成为 mQPx 故应设 2mQ xx Qx将它代入式(6)， 确定Q m(x)的系数所以方程(5)的一个特解为 2xpmyx Qx e综上所述，我们有如下结论：二阶常系数非齐次线性微分方程 xmypyqyPx e (5) 具有形如 kxpmyx Qx e的特解，其中Q m(x)为m 次多项式，k的确定如下： 012k，不是特征根，是特征单根，是特征重根 2.cossinxlnf xeP xxPxx型根据欧拉公式及前面分析的结果可以推出下面的结论（讨论过程从略）： cossinxlnf xeP xxPxx如果 :ypyqyfx则微分方程有如下形式的特解 cossinkxpmmyx eQxxRxx 其中 Q m(x)与R m(x) 均为m次多项式(m = maxl，n)，其系数待定，而01iki，当不是特征根，当是特征根5.yy例求微分方程的一个特解解 原方程对应的齐次方程的特征方程为 20rr其特征根为 1201rr 00 xf xxe02xpyAxB xeAxBx令2,2ppyAxByA则代入原方程得 22AAxBx即22AxABx比较系数得： 1212201AAABB 所以212pyxx3669.xyyye例求微分方程的通解解 对应的特征方程为 2690rr特征根 123rr（重根）所以，齐次方程的通解为 312xcyCC x e 3xf xe又中,=3 恰是二重特征根 23xpyAx e令323322323xxxpyAxeAx eeAxAx32332323262129xxxpyeAxAxAAx eeAAxAx代入原方程后化简得： 1212AA 于是 2312xpyx e所以，原方程的通解为 3231212xxcpyyyCC x ex e2253.xyyxe例7求微分方程的通解解 对应的特征方程为 220rr特征根 120,2rr对应的齐次方程的通解为 0221212xxxcyC eC eCC e 53f xxe又中,=2 是特征单根， 2xpyx axb e所以,令22222xxpyaxb eaxbx e于是222224 24xxxpyaeaxb eaxbx e代入原方程得： 222224 24xxxaeaxb eaxbx e22222 2453xxxaxb eaxbx exe整理得： 42253axabx比较两端得 5144ab，于是 22251514444xxpyxxexx e故所给方程的通解为 222125144xxyCC exx e84cos2.yy例求微分方程的一个特解解 特征方程为 240r 特征根为 1222riri cos2,f xx又中2ii 是特征根0,cos2sin2xpyxeAxBx所以 令代入原方程得 4sin24cos2cos2AxBxx比较等式两端得： 014AB于是 1sin24pyxx2943cos2.xyyex例求微分方程的一个特解 2123cos2xfxfxfxex解因为由线性微分方程解的结构定理可知，所给方程的特解形式为12pppyyy12ppyy其中与分别是方程2434cos2xyyeyyx和的特解 221343.8xxpyyeye可以求出的一个特解为4cos2yyx由上例知的一个特解为21sin24pyxx因此所给方程的特解为 21231sin2 .84xpppyyyexx6.4 常微分在经济应用常微分在经济应用 SgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%WkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPd6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPe