四川省达州市高三上学期10月月考数学理试题解析版

2018届四川省达州市高三上学期10月月考数学（理）试题一、单选题1若复数（1i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是A. （，1） B. （，1）C. （1，+） D. （1，+）【答案】B【解析】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得： ，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)复数zabi(a，bR) 平面向量.2设向量， 满足， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】,所以3在张丘建算经有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布几何？” （ ）A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺【答案】C【解析】由题意知该女子每天织布的尺数成等差数列，等差数列中，首项与第三十项分别为（尺），故选C.4已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大，所以 两点连续的斜率大小，在点处的切线斜率与点的切线斜率之间， ，故选B.5已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由，可得，那么，故选B.6如图所示的Venn图中， 是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合若， ， ，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依据定义， 就是指将除去后剩余的元素构成的集合，对于集合，求的是函数的定义域，解得，对于集合，求的是函数的值域，解得，所以 ， 或，故选D.7在中，角的对边分别为， ， 若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 所以，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有， ， 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.8根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080则下列各结论正确的是 （ ）（参考数据：lg30.48）A. 1053 B. =1053 C. = 1093 D. 1093【答案】D【解析】由题意， ，根据对数性质有， ， ，故选D.9以下判断正确的是（ ）A. 函数为上可导函数，则是为函数极值点的充要条件B. 命题“”的否定是“”C. “”是“函数是偶函数”的充要条件D. 命题“在中，若，则”的逆命题为假命题【答案】C【解析】对于，函数为上可导函数，则是为函数极值点的必要不充分条件，如，满足，但不是函数的极值点，故错误；对于，命题“”的否定是“”，故错误；对于，若，则， ，函数为偶函数,反之，若函数是偶函数，则，即，“”， 是“函数是偶函数”，的充要条件，故正确；对于，在中，若“，则，” 的逆命题为“若，则”，由正弦定理可知，在中， ，逆命题为真命题，故错误，故选C.10设a, c为正数，且， ， . 则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 , , ,所以 ,选C.11已知角始边与x轴的非负半轴重合，与圆相交于点A，终边与圆相交于点B，点B在x轴上的射影为C， 的面积为，则函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，所以，所以排除C,D又当时， ，综上可知，B选项是正确的.12若函数，则方程的根的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】当时， ，据此可得函数在区间上单调递减，在区间单调递增，且 ，绘制函数图象如图所示，由可得或，当时，函数有两个根，当为区间上的某一个定值时， 有唯一的实数根，综上可得：方程的根的个数为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.二、填空题13函数的定义域是_.【答案】【解析】试题分析：根据题意有，从而求得函数的定义域为【考点】函数的定义域14已知函数在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若，则_.【答案】【解析】根据函数在平面直角坐标系中的部分图象， ， ， ， ，即，故答案为.15在中， ， ， . 若， ，且，则的值为_.【答案】【解析】 ,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.16对于三次函数，给出定义：设是函数的导数， 是的导数，若方程=0有实数解，则称点(， )为函数的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数，则 _.【答案】【解析】依题意得， ，令，得， 函数的对称中心为，则， ,故答案为.【方法点睛】本题主要考查导数的应用、函数的对称性数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题将求和问题转化为函数的对称问题解答是解题的关键.三、解答题17在等差数列中， ， 求数列的通项公式；设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和【答案】(1)(2) 当时， ,当时， 【解析】试题分析：(1)设等差数列的公差是，由已知求出首项与公差，即可求出数列的通项公式；(2)由数列是首项为，公比为的等比数列，结合(1)的结果，求出的通项公式，再利用等差数列与等比数列的前项和公式求解即可.试题解析：设等差数列的公差是由已知，得，数列的通项公式为由数列是首项为，公比为的等比数列，当时， ，当时， .【考点】等差等比数列.18某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60x120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数，若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L.（1）求k的值；（2）求该汽车每小时油耗的最小值【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）将代入每小时的油耗11.5，解方程可得；（2）该汽车每小时的油耗为y (60x120),利用导数研究函数的单调性，即可得到该汽车每小时油耗的最小值.试题解析：（1）由题意，当x120时， 11.5， k100. （2）该汽车每小时的油耗为y L，则y (60x120)求导知，函数在区间上单调递增答： 升19已知，（1）求函数的单调递增区间；（2）设的内角满足，而，求证： .【答案】（1）所求单调递增区间为 （2）【解析】试题分析：（1）利用两角和与差正弦余弦公式、倍角公式及辅助角公式可得，再利用三角函数的单调性，解不等式即可得函数的单调递增区间；（2）由得，由平面向量数量积公式可得，再利用余弦定理以及基本不等式可得结果.试题解析：（1） 由得，故所求单调递增区间为 （2）由得， ，即， ，又中， 【方法点睛】本题主要考查三角函数的单调性、两角和与差正弦余弦公式、倍角公式及辅助角公式以及余弦定理、平面向量数量积公式，属于中档题. 的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间， 求得增区间；若,则利用诱导公式先将的符号化为正，再利用的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.20已知函数（1）求在区间的最小值的表达式；（2）设，任意，存在，使，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）的取值范围是【解析】试题分析：（1）讨论三种情况: ,结合二次函数的图象与性质，分别求出在区间的最小值，从而可得结果；（2）利用导数研究函数的单调性可得，只需存在，使得，从而可得在时有解，求出的最小值，即可得结果.试题解析：（1）当时， 当时， 当时， （2）函数的定义域为， 令，则令，则或，可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意的，有， 由条件知存在，使，所以即存在，使得 分离参数即得到在时有解，由于（）为减函数，故其最小值为， 从而所以实数的取值范围是21己知函数， （I）求函数上零点的个数； （II）设，若函数在上是增函数求实数的取值范围【答案】（）零点个数为 （II）的取值范围是【解析】试题分析：（1）先求得， 时， 恒成立，可证明时， ，可得在上单调递减，根据零点定理可得结果；（2）化简为分段函数，利用导数研究函数的单调性，讨论两种情况，分别分离参数求最值即可求得实数的取值范围.试题解析：（）函数 ,求导，得，当时， 恒成立，当时， ， ，在上恒成立，故在上单调递减又， ，曲线在1，2上连续不间断，由函数的零点存在性定理及其单调性知，唯一的（1，2），使，所以，函数在上零点的个数为1 （II）由（）知：当时， 0，当时， 0当时， =求导，得由于函数在上是增函数， 故在， 上恒成立. 当时， 0在上恒成立，即在上恒成立，记， ，则，所以， 在上单调递减，在上单调递增， min= 极小值= ，故“在上恒成立”，只需 ，即当时， ，当时， 在上恒成立，综合知，当时，函数在上是增函数故实数的取值范围是22【选修44：坐标系与参数方程】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.（）写出C的参数方程；（）设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.【答案】（） 得参数方程为 （ 为参数） （II） 【解析】试题分析：（1）根据变换得，再利用三角换元得（2）先求出直角坐标方程：由直线方程与椭圆方程解得交点坐标P1（2，0），P2（0，1），得中点坐标，利用点斜式得直线方程，最后根据得极坐标方程试题解析：（I）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变为C上点（x，y），依题意得：圆的参数方程为（t为参数）所以C的参数方程为（t为参数）（II）由解得或所以P1（2，0），P2（0，1），则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k，于是所求直线方程为，并整理得化为极坐标方程， ，即.【考点】椭圆参数方程，极坐标与之间坐标互化23【选修45：不等式选讲】已知函数，且的解集为 （）求的值； （）若，且，求证： 【答案】（） （II）证明见解析【解析】试题分析：(1)由的解析式得到解析式,解不等式求出的范围,对比已知解集,得出的值；(2)由基本不等式得到证明.试题解析：（1）因为，所以等价于，由有解，得，且其解集为，又的解集为，故（2）由（1）知， ， ， ，由基本不等式得： 【考点】1.绝对值不等式的解法；2.基本不等式的应用.