数学专升本考试试题

高等数学（二）命题预测试卷（二）一、 选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1下列函数中，当时，与无穷小量相比是高阶无穷小的是（ ）A BC D2曲线在内是（ ）A处处单调减小 B处处单调增加C具有最大值 D具有最小值3设是可导函数，且，则为（ ）A1 B0C2 D4若，则为（ ）A BC1 D5设等于（ ）A BC D二、 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。6设，则= 7设，则 8，则 9设二重积分的积分区域D是，则 10= 11函数的极小值点为 12若，则 13曲线在横坐标为1点处的切线方程为 14函数在处的导数值为 15 三、解答题：本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。16（本题满分6分）求函数的间断点17（本题满分6分）计算18（本题满分6分）计算19（本题满分6分）设函数，求20（本题满分6分）求函数的二阶导数21（本题满分6分）求曲线的极值点22（本题满分6分）计算23（本题满分6分）若的一个原函数为，求24（本题满分6分）已知，求常数的值25（本题满分6分）求函数的极值26（本题满分10分）求，其中D是由曲线与所围成的平面区域27（本题满分10分）设，且常数，求证：28（本题满分10分）求函数的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近线并作出函数的图形参考答案一、 选择题1B 2B 3D 4D 5D二、填空题6 78 910 11125 1314 150三、解答题16解 这是一个分段函数，在点的左极限和右极限都存在 故当时，的极限不存在，点是的第一类间断点17解 原式=18解 设 由于是初等函数的可去间断点， 故 19解 首先在时，分别求出函数各表达式的导数，即 当时， 当时， 然后分别求出在处函数的左导数和右导数，即 从而，函数在处不可导 所以20解 又由解得 代入得 21解 先出求的一阶导数： 令 即 解得驻点为 再求出的二阶导数 当时，故是极小值 当时，在内，在内 故 不是极值点 总之 曲线只有极小值点22解 23解 由题设知 故 24解 又 故 解得25解 解方程组得驻点 又 对于驻点，故 驻点不是极值点 对于驻点 故 ，又 函数在点取得极大值 26解 由与得两曲线的交点为与 的反函数为 27证 于是28解 （1）先求函数的定义域为 （2）求和驻点：，令得驻点 （3）由的符号确定函数的单调增减区间及极值 当时，所以单调增加； 当时，所以单调减少 由极值的第一充分条件可知为极大值 （4）求并确定的符号： ，令得 当时，曲线为凸的； 当时，曲线为凹的 根据拐点的充分条件可知点为拐点这里的和的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：00 就表上所给的和符号，可得到： 函数的单调增加区间为； 函数的单调减少区间为； 函数的极大值为； 函数的凸区间为； 函数的凹区间为； 函数的拐点为 （5）因为， 所以曲线有 水平渐近线 铅垂渐近线 （6）根据上述的函数特性作出函数图形如下图