自旋和角动量

第六章 自旋和角动量非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。但是，更进一步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细给构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于，以前的 理论只涉及轨道角动量。新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。本章的理论也只是局限在这样的框架内。 以后在相对论量子力学中，将证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程一狄拉克方程中。电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守恒量。本章将先从实验上引入自旋， 分析自旋角动童的性质， 建立包含自旋在内的非相对论量 子力学方程一泡利方程。 然后讨论角动量的藕合， 并进一步讨论光错线在场中的分裂和精细 结构，此外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。 6. 1电子自旋施特恩(Stern) 盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一，如图，由K源射出的处于s态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转由于这是处于s态的氢原子，轨道角动量为零,s态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁矩另外，由于实验上只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M，则它在沿z方向的外磁场 中的势能为U= -M =M cos(6.1.1)二为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按(6.1.1)式,原子在z方向所受的力是SUcaFz=-=Mcos v(6.1.2)(Zcz实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于COST =+1和-1两个值。为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电子具有自旋角动量的说法，他们认为：(1) 每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取两个值若将空间的任意方向取为z方向，则Sz= /2(6.1.3)(2) 每个电子均具有自旋磁矩 Ms,它与自旋角动量之间的关系是e亠eMs= -S (SI)或 Ms= -S (CGS)(6.1.4.)mmc式中(SI)表示国际单位，CGS表示CGSE单位。由于在许多量子力学参考书及文献中常用 CGSE单位，为方便读者，我们主要用CGSE单位但将SI单位的结果也写在这里。(6.1.4)式中，电子带的电荷是 一e,质量是m。由于s取值量子化，因此，Ms在空间任意方向上的投 影也只能取两个值。eeM szM B( SI)或 MszMb (CGS)(6.1.5)2m2mcMB是玻尔磁子。由(6.1.5)式可见，电子自旋磁矩和自旋角动量之比是Msze=Szm(SI晋Szeme(CGS)这个比值称为电子自旋的回转磁比率。另外，由于轨道角动量和轨道磁矩满足eeMlL (SI) ； MlL ( CGS)(6.1.7)mmeee因而轨道运动的回转磁比率是(SI),或(CGS )。自旋回转磁比率是轨道运动回转2m2me磁比率的两倍。自旋是电子的一种固有的属性。千万不要认为，电子自旋是因为电子在作机械的自转 引起。可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为 2.8 10-13em，要想使它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它的表面旋转速度将超过 光速。这当然是不可能的。(请读者自己证明)电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运 动完全无关。电子自旋是电子的内禀属性电子的自旋磁矩是内禀磁矩。事实上，随着人们认识的深入，越来越发现对于某些粒子，除了时空自由度还有其他的自由度。例如质子和中子，除时空、自旋外，还有同位旋。夸克则还具有“味”和“色”等自由度。不过，自旋自 由度是除时空自由度外的第一个新发现。值得指出的是，电子自旋角动量与轨道角动量不同，电子自旋的取值是土 一/2，而不是一的整数倍。电子自旋的 g因子|gs|是2,轨道的|gi |为 1当然，自然界中也存在着自旋取一整数值的粒子。我们在全同粒子一章中再作讨论。 6. 2电子的自旋算符和自旋函数电子具有自旋，这个新的自由度具有下述特色：(1) 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示。(2) 它完全是一种量子效应，没有经典的对应量。也可以说，当 0时，自旋效应消失这可以从(6.1.3)式看出。(3) 它是角动量，满足角动量算符的最一般的对易关系.而且电子自旋在空间中任何方向的投影只取土 /2两个值。根据电子自旋的上述特点，可以找出自旋算符的矩阵表示，以及自旋算符的本征函数。 首先，自旋既然是个物理量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。其次，既然是算 符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量算符J满足的对易关系是J di(6.2.1)在量子力学中，千万不要有一种误解，即角动量就是 r p， r p只是轨道角动量，是角 动量的一种，它也满足(6.2.1)式。在量子力学中，角动量的定义是通过对易子给出的。按定 义，凡满足对易关系(6.2.1)式的算符称为角动量。自旋既然是角动量，自旋算符必须满足S? S = i S?(6.2.2)写成分量形式是攻Sy -耳.唯丿 SySz ESy=S(6.2.3)聽-SxSzF 昭y由于S?在空间中任意方向的投影只能取土 / 2两个值。因此，任意选定X、y、z坐标后，Sx、Sy、S三个算符的本征值都是土/2 ； Sx2、Sy2、Sz2的值都是2/4，即Sx2 二 Sy2 二 Sz2 一 2/4(624)22223-2SSxSy Sz(6.2.5)4若将任何角动量平方算符的本征值记为J 2 = j (j 1) 一 2， j称为角动量量子数，则自旋角动量量子数s满足S2 =s(s 1) 22,s = 1/24为方便起见，引入算符出，令c hS ?2即- hJihSx?x ， Sy?y ， Sz? z222(6.2.6)(6.2.7)(6.2.8)由公式(6.2.2)及(6.2.7)式可得?满足的对应关系是:? ；:? = 2 i ；:?写成分量形式是&X由y -由y由x =2i?z- 由z由y =2i 由x， 疗z?x -哄?z =2叫(6.2.9)(6.2.10)由(6.2.7)式可见，:?x、；？y、?z的本征值为-1，而且2=二 z =1)定义任何算符A?和B的反对易关系为A,b二 a? ba)由(6.2.10)式得(c? c? -cP c? )CP2 y z z=0)同理,L?z,；?x= o(6.2.15)、-?、Wy、；？之间相互反对易。现在来找在特定表象下，岀X、；？y、；？z算符的矩阵形式。由于S与Sz对易(或称：?2与?对易)，在它们的共同表象中，?的矩阵必然是Sz(6.2.16)o【-1这是因为Sz只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是2X 2的矩阵，而且在 Sz自身表象(6.2.7)式，二z的矩阵(6.2.17)中，Sz对应对角矩阵，且矩阵对角线上的元素就是它的本征值。由于是；1 0 16 =0 -1 一与也只能是矩阵，令(6.2.18)为求出、在 表象的矩阵形式，注意与反对易,a bCT =X _c d+ CT CT = F z x甘bWd00 1-1一一1+ I1。;b_a-b_ab 1=屮+=0(6.2.19)-d 一_d 一得_0 bla =0,d =0fx =L 0一()又因 x2 =1,故有2lb201 “(Jx1 11 12 ! = 1(6.2.21)0b|a、b、c、是待求的矩阵元。由于S厄米，因此；？x也厄米，在(6.2.18)式中必有C=b”,再由2i丹即b =1, b = e 若取。=0，则(6.2.22)利用(6.2.17)式、(6222)及(6.2.10)式，可求得匚y为12i(*-z)， J2Z j2,mi2)= m)2办 j2,m)2)(6.5.33)则无耦合表象中的基矢ji,mi,j2,m2.是ji,mi, j2, m0ji,mj| j2,m2)()现在转而讨论耦合表象。角动量 J?和乙:之和是?JJiJ2(6.5.35)容易证明，了也是角动量，也满足J J i J(6.5.36)而且J2和JZ与J2、J2等满足下述对易关系式炉,J?2 L 同 + J2)2, J2=+ J?2 +2乙,J?2 = 0(6 .5.37)因为j2与向量j；的任何分量对易。同理0,釦=0(6.5.38)另外显然还存在JZ,J2Lo , J?z,J；Lo(6 .5.39)J?2,JZ Lo(6.5.40)这些对易关系表明J?2，了2, f2, fz这四个算符两两对易，它们具有共冋的正交、归一、完备、封闭的本征函数系。记相应于量子数j1 j2, j,m的本征函数为j-jzjm)有爾 ji, j2, j，m) = j(j +1)鬥 ji , j2, j，m(6.5.41)Jz ji, j2, j,m =m ji,j2,j,m()显然，总角动量量子数j,它的z分量量子数m与j1, j2 ,m1 ,m2有关，为了找出它们之间的 关系，首先必须将耦合表象和无耦合表象这两个表象联系起来。为此，将耦合表象的基矢j1, j2, j,按无耦合表象的基矢j1, m1, j2 ,m展开，得j1, j2, j, m)=瓦 | j1,m1, j2,m(j1,m1, j2,m2 j1,j2,j,m),m2(6.5.43)(6.5.43)式中的系数j1, m1, j2, m2 j1, j2, j, m称为矢童辆合系数或克莱布希一高登(Clebsch Gordon)系数。(6.5-43)式中的求和只对。；和二:进行。以算符乡二分别作用于(6.5.43)式的两端，得JZ j1 , j 2 , j , =(J1Z* Ez ) j 1, m1, j 2 , m j 1, m1, j 2 , m2 j1 , j2 , j , mmi ,g(6.5.44) 于是有m = gm2(6.5.45)(6.5.43)式可写成 j1, j2, j,m)1,0,2,口一耳)行1,2,口一0 j1,j2,j,m)m1(6.5.46) 公式(6.5. 43)或者(6. 5.46)式其实就是将耦合表象和无耦合表象联系起来的表象变换公式。表象变换是个么正变换。克莱布希-戈尔登系数其实就是幺正变换所对应的幺正矩阵的矩阵元。我们已经找出 m和mi,m2之间的关系(6.5.45)式，进一步，我们来求量子数j和j1, j2之间的关系。由于j, ij , J2的最大值依次分别为m,mi,m2而m=mi m?,因此j的最大值jmax必然是jmax = j1 j2 5. 47)为求出当ji , j?给定时j的最小值jmin ,可以这样考虑：当ji给定时，mi可取- ji,-ji T,，ji -1, ji 共(2ji + 1)个值。同徉，当 m2给定时，m2可取-j2,-j2 T,，j2-i,j2共(2 j2十i)个值。因此，当ji和j2同时给定时， 无耦合表象中基矢ji,m)| j2,m| ji,mi, j2,m的数目是(2ji + i)( 2 j2十i)个，这些基矢构成一个(2 ji + i) ( 2 j2十i)维的子空间。作表象变换，从无耦合表象变换到耦合表象后，子空间的维数不变。公式(6-5-43)无非是将无耦合表象中的基矢用克莱布希-戈尔登系重新组合后变成祸合耦合表象中的基矢，耦合表象中基矢的数目与无耦合表象中基矢的数目相同，只有这样，才能保证变换是幺正的，各个基矢是线性无关的，而且彼此正交。另外，再注意到对于确定的j,rn的取值(一 j, j i,，j 一 i, j )是共十i)个值，于是有Jmax (2j i) =(2ji + i) ( 2 j2十 i)(6.5.48)j Tm i n(6. 5.48)式左端是个等差级数，可以用等差级数的求和公式求出，结果是j max22(2j i) = jmax 2 jmax - jmin i(6 .5.49)j Tmin将(6-5-49)，(6.5.47)式代入(6-5. 48)式，得jmin = ji - j2(6. 5.50)由此得出，当ji, j 2给定时,.j可能取的值是j = ji + j2, ji +j2 T,，ji - j2(6. 5. 5i)在耦合表象中，总角动量平方和总角动量二分量的本征值就全部给定了，它们分别为j(j i) 2,及m_，而j和m分别由()和()式给出。 6.7光谱线的精细结构作为角动量藕合计算的一个例子，本节讨论在无外场情况下，电子自旋对类氢原子的能级和谱线的影响。对于类氢原子，电子的波函数在不考虑自旋时可用三个量子数n,l,m表征。但能级只与n有关，存在n2度简并。若考虑自旋，但略去自旋和轨道之间的藕合，即略去哈密顿量中 和L之间的藕合项，则Ho1 U(r)2m(6.7.1)Ze2若不考虑屏蔽，U一 7，能级E = En，本征函数显然是扁皿=尺1()Ymi(T,)3ms(Sz)(6.7.2)(6.7.2)式中，为区分轨道和自旋，轨道角动量z分量的量子数用 mi表示，自旋角动量z分量的量子数用ms表示,ms = -M2 ms(Sz)表示s2和Sz的共同本征态。显然，(6.7.2)式表示的本征函数nlmlms是R。、l2、共同本征函数，可作为无耦合表象的基矢。注意算符S2 =3h24，对应对角矩阵，它与任何算符均对易，实际上相当于一个常数，因此，我们选算符R0代替？。进一步.为考虑自旋和轨道的耦合，引入耦合表象。令(6.7.3)由于这四个算符相互对易， 它们构成一个完备系。 记这四个算符的共同本征函数是；：nljm 二 Rnl(r)Djm(l，Sz)(6.7.4)屮屮nljm是藕合表象的基矢，nljm与式nlmi ms之间满足(6.6.15)及(6.6.16)式。上面的所有讨论是在略去自旋和轨道之间的辐合能的基础上给出的。在相对论量子力学一章中将证明.自旋和轨道之间的相互作用能是(r)L* SL* S2me c r dr(6.7.5)11 dU(r)三2即2me r dr ,U是电子的势能，它仅是r的函数。因此，若考虑自旋轨道祸合能,体系的哈密顿算符是H?匚2 U(r)(r)L*4H H2me(6.7.6)H (r)L?*S?(6.7.7)注意H中含L?* 项，而？*= ?xSx - LySy ?zSz； Lx, Ly与L?z不对易，恳与S不对 易，因此 H与 E,SZ 不对易。mi与ms不再是好量子数。无辐合表象在处理这个问题时不再 是好的表象。另一方面，由P =(1? S)2 = I? S2 2L?* S?L?* S J(?2 一1? 一？)24可见，了： 2,1?都和H?对易。H?的本征函数就是耦合表象的基矢，j,m,l仍是好量子数。但是，必须指出，这里指的是 H?的本征函数而不是 h。的本征函数。事实上，由于H?中 含有H = (r)L?*S ， (r)与H?0中的动量算符不对易，因而与H/也不对易。H? 的本征值和本征函数应该由的 H?本征方程(6.7. 8)(6.7. 9)H- =(H0 H?y = E-(6.7 .10)求出。J与乩 的本征函数不同。不过，由于H实际上是相对论修正，在一般情况下,HH。，我们可以用微扰论的办法求解(6.7.10)式。由于R0的本征值简并，须要用简并微扰论讨论。将按Ho的本征态展开。考虑到 H与孑3,1?对易，与？z,Sz不对易，显然用H。在祸合表象中的本征态nljm二Rnl (r) Dljm , , Sz)展开必然比用Ho在无藕合表象中的本征态nlml叫 :RnlYmlms展开计算时要方便得多，因为更易于使的矩阵对角化。令八 Cjmnljmljm简并微扰论中的久期方程是Z H；./ /1.l j m ,ljm ljmE ” jm/mCljm =0(6-7. 11)(6 .7.10)其中H lz jzmz ,ljm=Inl/ j/m/ H nljm (6.7.13)二 o R (r) (r)r2dr l / j/m/ I?* J?ljml/j/m/L?* S?ljmI1,1 /j m1 (?2 -1? -3h2)ljm2 4再j（j Z 1）弓”(6.7.14)在（6. 7. 14）式的最后一步我们考虑了jm是J2和I?的本征态。（6.7. 14）式是对角的，这正是用荆合表象优越的地方，它可以让f矩阵更易于对角化。令 H/nj为 2 一/ h3 二 22Hnj =yj(j +1)1(1+1)n打 Rnl(r)(r)r dr(6 .7.15)并将（6. 7. 13）和（6. 7. 15）式代入（6.7. 10）式，得-E(1)Cjm =0(6 .7.16)于是得出= hj(j +1)1(| +1)3Rl(r)C(r)r2dr(6. 7.17)E表示微扰对能量的一级修正值。注意到只与n,d,j量子数有关，而与m无关，因此简并只是被部分地消除，仍存在对量子数m的2j十1度简并。由于当n ,1给定后，的取值为j =l 士 1/2（除1=0外），因此，自旋轨道根合也消除了部分简并，使原来对应于n,l量子数的能级Enl分裂为两个能级，由于两个能级之间的差别很小，从而导致光谱线出现精细结沟。2以3 B/2表示n =3=1（P）,j=3/2的能级,P的左上角的2表示属于二重线的项。我们来计算类氢原子2P项的精细结构丨=0时的积分：22Ze2o Rni(r) (r)r dr=2mcdr re2Z42 232meC a。31n l(l 列 1)(6.7.18)(6.7.19)(6 .7.20)h2ao =2其中 讥。，代入(6.7.17)式后得(0)mec： Z 4nE 1 = En()njy 22 n (2l 1)(l 1)(0)讥C2 / Z 4 nE 1 - En()nj 52 n l(2l 1)-e /he 二式中137称为猜细结构v数。用(6. 7.19)及(6.7.20)式算出的钠原子2P能级的精细结构如图 6. 7. 1所示.2P能级分裂为 22P1/2，及22P3/2两个能级。在上面的计算中只考虑了L,S耦合，严格说来，应该考虑所有相对论修正项才能得出与实验符合得很的结果。由于Hl/j/m/,ljm是对角矩阵，因此H?0在耦合表象中的基矢无须重新组合即可以作为零级近屮似作微扰计算。因此，零级波函数是nljm，用无耦合表象的波函数表示是21 1Rm(r)丫 1(日卩)46) +m_2 21,1平Rnl(r) 丫丄 1)/ 1(Sz)lm +22I m+221+1(6.7.21)ll 1(r,6,Sz) =n ,1,1 ,m211 2l _m +221+1Rni (r)Ym(B,)S(Sz)十2211 |2l +m +22l 1Rnl(r)丫(e,“ 1(Sz)lm七2从无耦合表象到耦合表象波函数的变换，合.以使得H在简并子空间中对应的矩阵对角化。(6.7.22)也可以认为是简并微扰中零级波函数的重新组 6. 8塞曼效应碱金属，氢原子和类氢原子的最外层有一个价电子。在磁场中，由于磁场对电子的作用，将使这些原子的光谱线发生分裂。具体的分裂情况与所考虑的自旋在磁场中的附加能量、自旋与轨道相互作用能等有关。下面分两种情况讨论。1.简单塞受(Zeennan)效应先考虑磁场的附加能量远大于自旋轨道相互作用能的情况。在这种情况下，略去自旋轨道相互作用能。在实验室范围内，磁场可近似视为均匀磁场，记为H。选磁场方向为z轴，得Bx = By = 0B =Bz(681)相应的矢势A和标势 是BB.Axy, Ay, Az = 0, =022x记一价金属的价电子在其他电子屏蔽下与原子核的库仑场为式的形式电子的电荷为一 e,质量为me，则体系的哈密顿函数为(682)V (r),外加磁场具有(6.7.2)f(pxeB 2eB 22Ey)2 (py H2 pz2 V(r)2: P2歆处汨)2 2eB4c2(x2 + y2+V(r)eBLc(X +y ) +V(r)(6.8.3)在(6.8. 3)式中,(x? +) 乂(。匚口亍，a是原子的大小，实验室磁场b 一般小于10T，(6.8.3)中2 2 2 2e B (x +y ) / eB 1c4c2因而(6.8.3)式右端正比于P2eBH V(r) eB 2mc4c cB2的项可以略去，得2mcc Lz(6.8.4)(6 .8.5)eLz一匚2IL 2讥V(r) -nlEn；nlm(6.8.6)式中nlm量 E=En。两个量子数,=Rnm是Ro, ?,Lz的共同本征函数只与主量子数有关，一般情况下，由于E=Eni。Enl是本征值.如果是纯粹的库仑场，则能V (r)是屏蔽的库仑势，能量仅依赖于n,L(6. 8.5)式右端的第三项实际上就是轨道磁矩与外磁场的相互作用2B.H=$+V(r)的本征方程为U = Ml*B 2mcc2mceBEnlm 二 Enimh2mec(687)式表明：加上外磁场后，对m的21 + 1度简并被消除，原来的Eni能级分裂为21+1条能h -级，相邻两个能级之间的间隔是eB2meC2meC称为拉摩(Lamor)频率。光谱线在外磁场中的分裂的现象称为塞至效应。实验上，钠原子黄线在强磁场中的分裂为简单塞曼效应提供了实验证据。实验证明：原来的一条钠黄线，波长 =589.3nm分裂为三条，对应的角频率分别是J，L，与(6.8.7)式的结论一致。上述计算中并未考虑电子的自旋。现在考虑电子的自旋。泡利方程 况下变为(6.3.28)式在现在情2mc2eB、2 V(r)(Lz W2mec(688)。式可以分解为两个方程h2丄、2，-1 VW)：2me2- 2 V(r)- 22 meeBfB(Lz hm 2mec害(Lz h八心22mec)比较(6.8.6)及(6.8.9)式可见，相应的能谱是eBSz =h/2,Enlm 二 Enl(m 1)2mec(6.8.10)eBSzEmm洛药叶D(6.8.11)在外磁场中，能级与 m有关，原来由于。而引起的简并被消除，而且，能量与自旋有关。图表示原子从2P至1S态的跃迁和能级的分裂。对于S态，l=m=0，原来的能级分裂为两个，分别相应于Sz八h/2及Sz二h/2,对于p态，对Sz二-h/2时，分裂(6.8.10)及为三个能级，对 二h/2时，也分裂为三个能级，但能级的相对位置不同，由(6.8.11)式决定。但由于偶极跃迁的选择定则由坐标矩阵决定，与自旋无关，只有自旋量子 数相同的能级才能跃迁。因此仍然是原来对应于相同s二的一根谱线在外磁场中分裂为三根谱线。谱线的角频率是E Enlm n/l/m/eB2mec式中0h是无外磁场时的跃迁频率，二m-m，是跃迁中磁量子数的改变。 :m =0, _1根据选择定则(6.8.13)所以eB2mec(6814)2.反常塞曼效应在强磁场下，不考虑自旋轨道耦合， 原子光谱发生分裂的现象称为简单塞曼效应或正常 塞曼效应。在磁场较弱时，要考虑电子的自旋轨道耦合能的贡献，这时原子光谱线的分裂现象，称为一般塞曼效应或反常塞曼效应。哈密顿量为(6 .8.15)(6 .8. 16)H? 匚 V(rp -eB(Lz 2SzP (r)L?*S? 2me2mec式中()？*由(6.7-5)式表示。在藕合表象中，令，(6.8.15)式可表示为H?匪 V(r)咀 Jz ()？*2me2mec2mc在()式中，如果不考虑右端最后一项，比较(6.8.16)式及(6.7.6)式后可知，这时可以用和处理光谱线的双线分裂同样的方法求出它的能量一级修正和零级波函数。由于这时的守恒量仍然是L2,J2,Jz，因此相应的波函数仍是Rnl(r)Djm(U，能量经一级修正后的值是+.旦 JzEnjmjh ，其中Enj由 7.19)及(6.7-20)式表示，mjh项来自(6.8.16)式中的2讥。于是,mj的简并由于存在 mjh L后已被完全消除，原来Enj的能级进一步分裂为2j+1个能级，j =l -1/2是半奇数，2j+1是偶数，Enj的能级分裂为偶数个Enjmj能级。6. 9自旋单态和自旋三重态前面两节讨论了自旋和轨道的耦合，研究了类氢原子的精细 结构和在磁场中的塞曼效应。在这一节里，我们将讨论两个自旋都 是1/2的粒子，自旋和自旋之间的耦合，它适用于两个电子的耦 合，也适用于一个电子和另一个自旋为1/2的粒子的藕合。当然,如果是两个电子，还要考虑全同性。我们在多体问题一章中要再深入讨论这个问题。当两粒子体系的哈密顿算符不含自旋时，两个自旋为1/2的粒子的总的自旋波函数是每个粒子自旋波函数的乘积。gfzAQSz）：）SY却（691）事实上，利用单个粒子的自旋波函数 可以按以下四种方式构成两 个粒子的总自旋波函数；af）=。1 （灵疋1 6z）2 2）=a（3z）a丄（S2z）22+ %(S2zW_1(Slz)2231 一:S3)：1(S1z1(S2z),2 2P(Siz)-： 1(S2z)2=：1(S2z)=： 1(Sz)2 2脚标S表示波函数是对称的，交换两个粒子将变作S.-后，波函数不变号。脚标 A表示波函数是反对称的，交换两个粒子，将，变作S2二后，波函数反号。两个自旋为合的k子组成的体系具有三个对称的自旋波函数，是自旋三重态，一个反对称的自旋波函数，是 自旋单态。现在来计算耦合表象中算符彳和比的本征值。令S=S1+S2,Sz=S1z+S2z(6.9.6)2 2S =(S1 +S2)2 2=S1 + S2 +2S1 S2(6.9.7)-2S1xS2xSlyS2yS1zS2z(6.9.8)又因=h 01 1 =h 0 =h2|10 0 2 1 2丿卩呼12 10120一 2h 0 - i 丨 0 I hi 1 I hi2 iO 11一 2 o2(6.9.9)(6.9.10)由此直接给出Sy12h 0 -i2 |ti 0Sz 12Sz 1_2S2s1)类似的计算得1卫11(02|t_02hi12 (6.9.12)2-1)=訥1)+2?/1(*)厶(氐)+2 2 2?y1(S1z 腿 y1 (s2z )+?z1 (s1z 卑2；L (s2z )221(S1z)1(S2Z)-42h21 (Sz)1(S2z)42 2H2h2 r()缁=(?z +S2z)S(S1z)勺(S2z)2 2h s)(3)s上时，其本s=1,这正是= 2h2s()=-h(2)s()=2h2(3)s()=0()=0()二 0()SZs3)sz Ag ASzs2)彳s(综合(6. 9. 15)至(6. 9. 22)式得出，彳作用在对称波函数对称波函数征值均为2h2，若将S2的本征值表示为s(s十1)h2即得总自旋角动量最子数s=0,1 -1耦合的结果。同理，将 少作用在反对称波函数A上，其本征值为零，相应的1 1这是 耦合的结果。2 2 (2)但是，应该指出，态s、 s和S)是不同的。表现在 Sz作用在这些波函数上时，分别得出。三个h、-h、0不同的值。这表示虽然两(1)个自旋平行，但对这三个态各有不同在s态，两个粒子自旋不/但平行，而且都平行于 z袖，它们的方向都朝上。在s态，两个粒(3)子自旋也平行，但都反平行于Z轴，它们的方向都朝下。在 s态，两个粒子虽则仍然平行，但合成后的总自旋角动量与Z轴垂直。对于A态，由于 ？和Sz的本征值均为零，因此两个粒子的自旋是反 平行的，它们的总自旋为零。图是两个自旋为1/2的粒子自旋角动量耦合的形象化的示意图。在图中，用沿锥面旋转的矢量来表示S的本征态。矢量沿z轴的投影等于定值，但沿x,y轴的投影却不固定,表示Sx、Sy没有确定值。这种表示的好处之一在于可以较形象地将SX、Sy、SZ这三个算符的不对易性表示出来。图中的 (a),(b),(c),(d)分别 表示 址、鼻S2、军術北 A态。前三个是三重态 .A是单态。