合情推理与演绎推理

合情推理与演绎推理目标要求：1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发展中的作用.2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异考查角度合情推理1甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_解：由题意可推断：甲没去过B城市,但比乙去的城市多,而丙说三人去过同一城市,说明甲去过A,C城市,而乙没去过C城市,说明乙去过城市A,由此可知,乙去过的城市为A.答案A2观察下列等式：21,2213,23135,照此规律,第n个等式可为_解：从给出的规律可看出,左边的连乘式中,连乘式个数以与每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致,其中左边连乘式中第二个加数从1开始,逐项加1递增,右边连乘式中从第二个乘数开始,组成以1为首项,2为公差的等差数列,项数与第几等式保持一致,则照此规律,第n个等式可为2n13答案2n133古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为n2n.记第n个k边形数为N,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数Nn2n,正方形数Nn2,五边形数Nn2n,六边形数N2n2n,可以推测N的表达式,由此计算N_.解：由Nn2,N2n2n,可以推测：当k为偶数时,Nn2n,于是N11n210n.故N1110210101 000.答案1 000命题规律预测命题规律从近几年的高考试题看,对本节内容的考查主要体现在以下两个方面：1.对归纳推理的考查是命题的热点,对类比推理的考查相对较弱2.题型主要以填空题的形式出现,难度中高档考向预测预测2016年高考仍将以考查归纳推理和类比推理为主,估计试题难度稍大,对学生的数学能力的考查是重点考查方向.考向一归纳推理例1已知f,x0,若f1f,fn1ffn,nN,则f2 014的表达式为_由fn1ffn分别求出f2,f3,然后观察f1,f2,f3中等式的分子与分母系数间的关系,猜想f2 014的表达式解：f1,f2,f3,由数学归纳法得f2 014.答案f2 014常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项与项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳对点练习如图1121所示,一个质点在第一象限和坐标轴上运动,在第一秒钟内它由原点运动到点,然后按图中所示在与x轴、y轴平行的方向上运动,且每秒移动一个单位长度,那么2 000秒后,这个质点所处位置的坐标是图1121ABC D解析质点到达点处,走过的单位长度是2,接下来质点运动的方向与y轴方向相反；质点到达点处,走过的单位长度是624,接下来质点运动的方向与x轴方向相反；质点到达点处,走过的单位长度是12246,接下来质点运动的方向与y轴方向相反；质点到达点处,走过的单位长度是202468,接下来质点运动的方向与x轴方向相反；猜想：质点到达点处,走过的单位长度是2462nn,且n为偶数时,接下来质点运动的方向与x轴方向相反；n为奇数时,接下来质点运动的方向与y轴方向相反所以2 000秒后是指该质点到达点后,继续移动了20个单位,由图中规律可得该质点沿与x轴相反的方向前进了20个单位,即该质点所处位置的坐标是答案D考向二类比推理例2已知数列an为等差数列,若ama,anb,则amn.类比等差数列an的上述结论,对于等比数列bn,若bmc,bnd,则可以得到bmn_.在平面上,若两个正三角形的边长为12,则它们的面积比为14,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为_类比等差和等比数列的性质求解；类比平面图形与空间图形的内在联系求解解：法一：设数列an的公差为d1,则d1.所以amnamnd1an.类比推导方法可知：设数列bn的公比为q,由bnbmqnm可知dcqnm,所以q,所以bmnbmqnc.法二：设数列an的公差为d1,数列bn的公比为q,在等差数列中,ana1d1,在等比数列中,bnb1qn1,因为amn,所以bmn.两个正三角形是相似三角形,它们的面积比是相似比的平方同理,两个正四面体是两个相似几何体,体积比为相似比的立方,它们的体积比为18.答案18类比推理的分类与处理方法类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法：类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助原定义来求解；类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手,提出类比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的转化过程是求解的关键；类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性,我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中,注意知识的迁移 对点练习在平面上,设ha、hb、hc是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为Pa,Pb,Pc,我们可以得到结论：1.把它类比到空间,则三棱锥中的类似结论为_解：设ha,hb,hc,hd分别是三棱锥ABCD四个面上的高,P为三棱锥ABCD内任一点,P到相应四个面的距离分别为Pa,Pb,Pc,Pd.于是我们可以得到结论：1.答案1考向三演绎推理例3数列an的前n项和记为Sn,已知a11,an1Sn,证明：数列是等比数列；Sn14an.按照三段论的模式给予求解证明：an1Sn1Sn,an1Sn,Snn,即nSn12Sn.故2故是以2为公比,1为首项的等比数列由可知4,Sn144Sn14an又a23S13,S2a1a21344a1,对于任意正整数n,都有Sn14an.演绎推理的结构特点：演绎推理是由一般到特殊的推理,其最常见的形式是三段论,它是由大前提、小前提、结论三部分组成的三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断：结论演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系,解题时要找准正确的大前提一般地,若大前提不明确时,一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提对点练习如图1122所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,BFDA,且DEBA.求证：EDAF图1122证明：同位角相等,两条直线平行,BFD与A是同位角,且BFDA,所以DFEA.两组对边分别平行的四边形是平行四边形,DEBA且DFEA,所以四边形AFDE为平行四边形平行四边形的对边相等,ED和AF为平行四边形的对边,所以EDAF.上面的证明可简略地写成：四边形AFDE是平行四边形EDAF.例如图1123所示,坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列an的前12项,按如此规律下去,则a2 013a2 014a2 015等于图1123A1 005B1 006C1 007D2 015解：观察点坐标的规律可知,偶数项的值等于其序号的一半,奇数项的值有正负之分则a4n3n,a4n1n,a2nn.此处在求解时常因找不出a4n3与a4n1的关系,导致结论错误又2 01345043,2 01545041,a2 013504,a2 015504,a2 0141 007,a2 013a2 014a2 0151007.答案C正确书写数列an的前n项,为归纳探索项与项间的关系作出铺垫仔细观察数列an中各项的特征,明确a2nn,a4n3a4n10是解题的关键所在对点练习如图1124是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行,依次类推,则按网络运作顺序第n行第1个数字是_；第63行从左至右的第3个数字应是_图1124解：设第n行的第1个数字构成数列an,则an1ann,且a11,an,而偶数行的顺序从左到右,奇数行的顺序从右到左,第63行的第1个数字为1 954,从左至右的第3个数字是从右至左的第61个数字,从而所求数字为1 954602 014.答案2 0141下面几种推理过程是演绎推理的是A某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人B由三角形的性质,推测空间四面体的性质C平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D在数列an中,a11,an,由此归纳出an的通项公式解：A、D是归纳推理,B是类比推理；C运用了三段论是演绎推理答案C2观察2x,4x3,sin x,由归纳推理可得：若定义在R上的函数f满足ff,记g为f的导函数,则gAfBfCgDg解：由所给等式知,偶函数的导数是奇函数ff,f是偶函数,从而g是奇函数gg答案D3正弦函数是奇函数,fsin是正弦函数,因此fsin是奇函数,以上推理A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确解：fsin不是正弦函数,上述推理过程中小前提不正确答案C4通过圆与球的类比,由半径为R的圆的内接矩形中,以正方形的面积为最大,最大值为2R2猜想关于球的相应命题为A半径为R的球的内接六面体中,以正方体的体积为最大,最大值为2R2B半径为R的球的内接六面体中,以正方体的体积为最大,最大值为3R3C半径为R的球的内接六面体中,以正方体的体积为最大,最大值为D半径为R的球的内接六面体中,以正方体的体积为最大,最大值为解：正方形类比到空间的正方体,即半径为R的球的内接六面体中,以正方体的体积为最大,此时正方体的棱长a,故其体积是3.故选D.答案D合情推理与演绎推理练习一、选择题1如图1125是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是图1125解：该五角星对角上的两盏花灯依次按顺时针方向亮两盏,故下一个呈现出来的图形是A.答案A2数列2,5,11,20,32,x,中的x等于A28B32C33D47解：由数与数间的关系,我们发现相邻两数间依次相差3,6,9,12,15,故x321547.答案D3观察下列各式：112,23432,3456752,4567891072,可以得出的一般结论是Ann2Bn2Cnn2Dn2解：由前四个等式我们发现第n个等式左边共有2n1项,故为n2.答案B4定义一种运算*：对于自然数n满足以下运算性质：1An Bn1 Cn1 Dn2解：由*1n*11,得n*1*11*121答案A5当x时可得到不等式x2,x23,由此可以推广为xn1,取值p等于Ann Bn2 Cn Dn1解：x时可得到不等式x2,x23,在p位置出现的数恰好是不等式左边分母xn的指数n的指数次方,即pnn.答案A6类比两角和与差的正弦公式的形式,对于给定的两个函数：Saxax,Caxax,其中a0,且a1,下面正确的运算公式是SSCCS；SSCCS；2SSCCS；2SSCCSA B C D解：经验证易知错误依题意,注意到2S2,SCCS2,因此有2SSCCS；同理有2SSCCS综上所述,选B.答案B二、填空题7观察分析下表中的数据：多面体面数顶点数棱数三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是_解：观察分析、归纳推理观察F,V,E的变化得FVE2.答案FVE28如图1126,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC2,过点A作BC的垂线,垂足为A1,过点A1作AC的垂线,垂足为A2；过点A2作A1C的垂线,垂足为A3；,依此类推,设BAa1,AA1a2,A1A2a3,A5A6a7,则a7_.图1126解：根据题意易得a12,a2,a31,an构成以a12,q的等比数列,a7a1q626.答案9二维空间中圆的一维测度l2r,二维测度Sr2,观察发现Sl；三维空间中球的二维测度S4r2,三维测度Vr3,观察发现VS.则四维空间中超球的四维测度W2r4,猜想其三维测度V_.解：由已知,可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数类比上述结论,超球的三维测度是四维测度的导函数,即VW8r3.答案8r3三、解答题10某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2cos248sincos 48；sin2cos255sincos 55.试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数；根据的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论解：选择式,计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 30.归纳三角恒等式sin2cos2sin cos.证明如下：sin2cos2sin cossin cos 2sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 21cos 2cos 2.11在RtABC中,ABAC,ADBC于D,求证：,那么在四面体ABCD中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由证明：如图所示,由射影定理AD2BDDC,AB2BDBC,AC2BCDC,.又BC2AB2AC2,.猜想,四面体ABCD中,AB、AC、AD两两垂直,AE平面BCD,则.证明：如图,连接BE并延长交CD于F,连接AF.ABAC,ABAD,AB平面ACD.ABAF.在RtABF中,AEBF,.ABCD,AECD,CD平面ABF.在RtACD中,AFCD,.,故猜想正确12对于三次函数fax3bx2cxd,给出定义：设f是函数yf的导数,f是f的导数,若方程f0有实数解x0,则称点x0,f为函数yf的拐点某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心若fx3x23x,请你根据这一发现求函数fx3x23x的对称中心；计算fffff解：fx2x3,f2x1,由f0,即2x10,解得x.f3231.由题中给出的结论,可知函数fx3x23x的对称中心为.由,知函数fx3x23x的对称中心为,所以ff2,即ff2.故ff2,ff2,ff2,ff2.所以fffff22 0142 014.19 / 19