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1.写出表示下列语言的正则表达式。 0, 1*。解：所求正则表达式为：(0+1)*。 0, 1+。解：所求正则表达式为：(0+1)+。 xx0,1+ 且x中不含形如00的子串 。解：根据第三章构造的FA，可得所求正则表达式为：1*(01+)*(01+0+1)。 xx0,1*且x中不含形如00的子串 。解：根据上题的结果，可得所求正则表达式为：+1*(01+)*(01+0+1)。 xx0,1+ 且x中含形如10110的子串 。解：所求正则表达式为：(0+1)*10110(0+1)*。 xx0,1+ 且x中不含形如10110的子串 。解：根据第三章的习题，接受x的FA为：S0110q0q1q2101110q3q4要求该FA对应的正则表达式，分别以q0、q1、q2、q3、q4为终结状态考虑：q0为终态时的正则表达式：(0*(11*0(10)*(+111*11*0(10)*)0)*)*q1为终态时的正则表达式：0*1(1*(0(10)*111*1)*(0(10)*00*1)*)*q2为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*(111*11*0)*(00*11*0)*)*q3为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*1(11*11*0(10)*(00*11*0)*)*1)*q4为终态时的正则表达式：0*11*0(10)*11(1*(11*0(00*11*0)*(10)*)*11)*)*将以上5个正则表达式用“+”号相连，就得到所要求的正则表达式。 xx0,1+ 且当把x看成二进制数时，x模5与3同余和x为0时，x=1且x0时，x的首字符为1。解：先画出状态转移图，设置5个状态q0、q1、q2、q3、q4，分别表示除5的余数是0、1、2、3、4的情形。另外，设置一个开始状态q.由于要求x模5和3同余，而3模5余3,故只有q3可以作为终态。由题设，x=0时，x=1，模5是1，不符合条件，所以不必增加关于它的状态。下面对每一个状态考虑输入0和1时的状态转移。q: 输入1，模5是1，进入q1。q0: 设x=5n。输入0，x=5n*2=10n，模5是0，故进入q0输入1，x=5n*2+1=10n+1，模5是1，故进入q1q1：设x=5n+1。输入0，x=(5n+1)*2=10n+2，模5是2，故进入q2 输入1，x=(5n+1)*2+1=10n+3，模5是3，故进入q3q2：设x=5n+2。输入0，x=(5n+2)*2=10n+4，模5是4，故进入q4 输入1，x=(5n+2)*2+1=10n+5，模5是0，故进入q0q3：设x=5n+3。输入0，x=(5n+3)*2=10n+6，模5是1，故进入q1 输入1，x=(5n+3)*2+1=10n+7，模5是2，故进入q2q4：设x=5n+4。输入0，x=(5n+4)*2=10n+8，模5是3，故进入q3 输入1，x=(5n+4)*2+1=10n+9，模5是4，故进入q4则状态转移图如下：q1q1S01q2q30q410101q001则所求的正则表达式为：1(010*1+(1+001*0)(101*0)*(0+110*1)*(1+001*0)(101*0)* xx0,1+ 且x的第10个字符是1 。解：所求正则表达式为：(0+1)91(0+1)*。 xx0,1+ 且x以0开头以1结尾 。解：所求正则表达式为：0(0+1)*1。 xx0,1+ 且x中至少含两个1 。解：所求正则表达式为：(0+1)*1(0+1)*1(0+1)*。 xx0,1*和如果x以1结尾，则它的长度为偶数；如果x以0结尾，则它的长度为奇数。解：所求正则表达式为：(0+1)2n+11+(0+1)2n0 (nN)或0+(0+1)(0+1)(0+1)*1+(0+1)(0+1)(0+1)(0+1)*0。 xx是十进制非负实数 。解：首先定义 .,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9则所求正则表达式为：(0+1+9)*. (0+1+9)*。 。解：所求正则表达式为：。 。解：所求正则表达式为：。*2.理解如下正则表达式，说明它们表示的语言（1）(00+11)+表示的语言特征是0和1都各自成对出现（2）(1+0)*0100+表示的语言特征是以010后接连续的0结尾（3）(1+01+001)*(e+0+00) 表示的语言特征是不含连续的3个0（4）(0+1)(0+1)*+ (0+1)(0+1)(0+1)* 表示所有长度为3n或2m的0，1串（n0,m0）（5）(0+1)(0+1)* (0+1)(0+1)(0+1)* 表示所有长度为3n+2m的0，1串（n0,m0）（6）00+11+（01+10）（00+11）*（10+01）表示的语言特征为长度为偶数n的串.当n=2时，是00或11的串。n4时，是以01或10开头，中间的子串00或11成对出现，最后以10或01结尾的串*4.3.证明下列各式 褚颖娜 02282072（1）结合律 (rs)t=r(st) (r+s)+t= r+(s+t)1）证明 对 x(rs)t 总可以找到一组x1 x2 x3 使得 x=x1x2x3 其中x3t x1x2rs 且 x1r, x2s,则 x2x3st 因此x1(x2x3)r(st) 即 x1x2x3r(st) xr(st)得证 因此 (rs)tr(st)同理可证r(st) (rs)t 则 (rs)t=r(st) 成立2) 证明 对x(r+s)+t x(r+s)或xt 对于xr+sxr或rs ，因此xr或xs或xtxr或x(s+t) xr+(s+t)所以(r+s)+t r+(s+t)同理可证r+(s+t) (r+s)+t则(r+s)+t= r+(s+t) 成立（2）分配律 r(s+t)=rs+rt (s+t)r=sr+tr1) 证明 对于xr(s+t) 总可以找到x1 x2 使得x=x1x2 其中x1r, x2（s+t）由x2（s+t） x2s或x2t则x1x2rs或x1x2rt所以r(s+t)rs+rt对于xrs+rt xrs或xrt 且总可以找到一组x1 x2 使得x=x1x2 其中x1r, x2s或x1r, x2tx1r，x2s或x2t x1r，x2(s+t) x1x2r(s+t)所以rs+rtr(s+t)则r(s+t)=rs+rt2) 证明 对于x(s+t)r 总可以找到x1 x2 使得x=x1x2 其中 x1（s+t），x2r由x1（s+t） x1s或x1t则x1x2sr或x1x2tr所以(s+t)rsr+tr对于xsr+tr xsr或xtr 且总可以找到一组x1 x2 使得x=x1x2 其中x1s, x2r或x1t, x2r x1s或x1t, x2r x1(s+t) ,x2r x1x2(s+t)r所以sr+tr (s+t)r则(s+t)r=sr+tr(3)交换律 r+s=s+r 证明 对于 xr+sxr或xsxs或xrxs+r 所以r+ss+r 同理可证s+rr+s则r+s=s+r（4）幂等律 r+r=r 证明 对于 xr+r xr或xr xr 所以r+rr对于 xrxr或xrxr+r 所以rr+r 因此 r+r=r（5）加法运算零元素：r+F=r 证明 对于 xr+F xr或xF xr 所以r+Fr对于 xrxr或xFxr+F 所以rr+F因此 r+F=r(6) 乘法运算单位元：r=r=r证明：对xR xe=ex=x Re=eR=R re=er=r(7)乘法运算零元素：r=r=证明：对xR x=x= R=R=R r=r=(8) F*=证明F*=F0F1F2F3.=F1F2F3.=(9) (r+)*=r*由第一章的作业1.30中的第九题 (L1)*=L1*其中L1为正则语言又r为正则表达式 正则语言可以用正则表达式表示，因此显然有(r+)*=r*成立(10) (r*s*)*=(r+s)*由第一章的作业1.30中的第八题 (L2L1)*=( L2* L1*)* 其中L1、L2 为正则语言又r、s为正则表达式 正则语言可以用正则表达式表示，因此显然有(r+s)*= (r*s*)*成立 即(r*s*)*=(r+s)*成立(11) (r*)*=r*由第一章的作业1.30中的第三题 (L1*)*= L1*其中L1为正则语言又r为正则表达式 正则语言可以用正则表达式表示，因此显然有(r*)*= r*成立*4下面各式成立吗？请证明你的结论(1) (r+rs)*r=r(sr+r)*证明：成立。如果对所有的k=0, (r+rs)k r=r(sr+r)k 成立，则(r+rs)*r=r(sr+r)*肯定成立可以用归纳法证明(r+rs)k r=r(sr+r)k对所有的k=0成立I. k=0时候，(r+rs)0 r=r= r(sr+r)0II. 假设k=n时候(r+rs)nr=r(sr+r)n成立，往证k=n+1时候结论成立 (r+rs)n+1r=(r+rs)n (r+rs)r=(r+rs)n (rr+rsr)= (r+rs)n r (r+sr)= r(sr+r)n (r+sr)= r(sr+r)n (sr+r)= r(sr+r)n+1这就是说，结论对k=n+1成立，即证明了(r+rs)k r=r(sr+r)k对所有的k=0成立，所以(r+rs)*r=r(sr+r)*(2) t(s+t)r=tr+tsr证明：不成立。不妨取r=0,s=1,t=2,则t(s+t)r=2(1+2)0=210+230,但tr+tsr=20+210.(3) rs=sr证明：不成立。不妨取r=0,s=1,显然rs=01,而sr=10.(4) s(rs+s)*r=rr*s(rr*s)*不成立，假设r,s分别是表示语言R，S的正则表达式，例如当R=0，S=1, L(s(rs+s)*r)是以1开头的字符串，而L(rr*s(rr*s)*)是以0开头的字符串.L(s(rs+s)*r) L(rr*s(rr*s)*)所以s(rs+s)*r rr*s(rr*s)*,结论不成立(5)(r+s)*=(r*s*)*证明：结论成立。I. L(r+s)=L(r)L(s), L(r)=L(rs0)L(r*s*), L(s)=L(r0s)L(r*s*)那么L(r+s)=L(r)L(s) L(r*s*)，(L(r+s)* (L(r*s*)*,L(r+s)*) L( (r*s*)* ),所以(r+s)* (r*s*)*II. (r+s)*= (r+s)*)*,对任意m,n=0,rmsn (r+s)m+n ，所以r*s*(r+s)*(r*s*)*(r+s)*)*= (r+s)*由I，II可以知道(r*s*)*(r+s)*，(r+s)* (r*s*)*得到(r+s)*=(r*s*)* (6)(r+s)*=r*+s*不成立，假设r,s分别是表示语言R，S的正则表达式，例如当R=0，S=1,L(r+s)*)=x| x=或者x是所有由0,1组成的字符串L(r*+s*)=L(r*)L(s*)=,0,00,000,1,11,111,L(r+s)*) L(r*+s*),例如10 L(r+s)*),10 L(r*+s*)*5.构造下列正则表达式的等价FA 吴丹 02282090*6、构造等价于下图所示DFA的正则表达式。仅给出（2）的构造过程（1）与他等价的正则表达式为：+（01+1）（01+10+11（01+1）*Sq1q0q2q310001110（2）答案(之一)：( 01+(1+00)(1+00*1)0)*(1+00*1)1) )* (e+(1+00)(1+00*1)0)*00*)q1q0q2q310001110eeXYe预处理：去掉q3：q1q0q21011+00*10eXYe00*去掉q1：q0q21+00(1+00*1)0eXYe00*(1+00*1)101q0eXYe+(1+00)(1+00*1)0)*00*01+(1+00)(1+00*1)0)*(1+00*1)1)去掉q2：去掉q0：XY(01+(1+00)(1+00*1)0)*(1+00*1)1)* (e+(1+00)(1+00*1)0)*00*)（3）（0+10）* 11）（01+(1+00）（0+10）* 11)*（0+（1+00）（0+10）*1）+（0+10）* 1(4）（0+11+10（0+1）（01）*+（00（0+1）*）*1）*（1+10+（0+11+10（0+1）（01）*+（00（0+1）*）*）（00+0+）*7.整理不同模型等价证明的思路 解：正则语言有5种等价的描述模型：正则文法（RG）、确定的有穷状态自动机（DFA）、不确定的有穷状态自动机（NFA）、带空移动的有穷状态自动机（）、正则表达式（RE）。这5种等价模型的转换关系可以用下图表示： （1）RG分为右线性文法和左线性文法。对于右线性文法，只需要采用模拟M的移动即可 ，M的开始符号就是G的开始符号。而对于左线性文法，G用规约模拟M的移动： 新增加的符号Z为G的识别符号，也就是开始符号。（2）同上，分为右线性和左线性文法。对于右线性文法：其中，G的开始符号为M的开始符号，新增的状态Z为M的终止状态。 对于左线性文法：增加Z为M的开始状态；对应形如的产生式，定义；对应形如的产生式，定义；G的开始符号为M的终止状态。（3）采用图上作业法：预处理：标记X、Y的状态为标记状态，删除不可达状态；并 弧：用从q到p的、标记为r1+r2rg的弧取代q到p的标记为r1,r2的并行弧。去状态：如果从q到p有一条标记为r1的弧，从p到t有一条标记为r2的弧，不存在从状态p到状态p的弧，将状态p和与之关联的这两条弧去掉，用一条从q到t的标记为r1r2的弧代替；如果从q到p有一条标记为r1的弧，从p到t有一条标记为r2的弧，从状态p到状态p标记为r3的弧，将状态p和与之关联的这三条弧去掉，用一条从q到t的标记为r1r3*r2的弧代替；如果图中只有三个状态，而且不存在从标记为X的状态到达标记为Y的状态的路，则将除标记为X的状态和标记为Y的状态之外的第3个状态及其相关的弧全部删除。处 理：从标记为X的状态到标记为Y的状态的弧的标记为所求的正则表达式。如果此弧不存在，则所求的正则表达式为。 （4） 由于NFA也是一个特殊的，则其转化可以参考（5）（6）：确定化
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