专题函数地周期性

word 专题 函数的周期性一 知识点精讲1周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，如此称函数具有周期性，叫做的一个周期，如此也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期周期函数的定义域一定是无限集2性质假如f(x)的周期中，存在一个最小的正数，如此称它为f(x)的最小正周期；假如周期函数f(x)的周期为T，如此是周期函数，且周期为。3几种特殊的具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数其中为常数1，如此的周期2，如此的周期3，如此的周期 4，如此的周期5，如此的周期6，如此的周期数7，如此的周期8函数满足，假如为奇函数，如此其周期为，假如为偶函数，如此其周期为9函数的图象关于直线和都对称，如此函数是以为周期的周期函数10函数的图象关于两点、都对称，如此函数是为周期的周期函数11函数的图象关于和直线都对称，如此函数是以为周期的周期函数 (12)，如此的周期.二 典例解析1设f(x)是(, +)上的奇函数，f(x+2)= f(x)，当0x1时，f(x)=x，如此f(7.5)=( )2假如y=f(2x)的图像关于直线和对称，如此f(x)的一个周期为 ABCD3在R上是奇函数满足，如此4定义在R上的奇函数满足，如此=例5函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。证明：； 求的解析式；求在上的解析式。9、函数定义域为R，且恒满足和，当时，求解析式。10、偶函数定义域为R，且恒满足，假如方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间中的根。附参考答案：y轴即：y轴：C ：方程的根为共9个根。2.是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，如此方程在区间内解的个数的最小值是 A5B4C3D24.是偶函数，且为奇函数，如此f(1992)=中7 是以2为周期的偶函数，且当时，.求在上的解析式。8的定义域是R，且,假如,求的值。9函数满足，假如，试求(2005)。2009某某理10. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，如此f2009的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】:由得,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f2009= f5=1,应当选C.，满足,且在区间0,2上是增函数,假如方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,如此-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如下列图,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案:-82009全国一11函数的定义域为R，假如与都是奇函数，如此( D )(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D)是奇函数解:与都是奇函数，函数关于点，与点对称，函数是周期的周期函数.，即是奇函数。应当选D专题 函数对称性一 知识点精讲：I 函数图象本身的对称性自身对称假如，如此具有周期性；假如，如此具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性。1、图象关于直线对称推论1：的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称推论3、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称推论3、的图象关于点对称II 两个函数的图象对称性相互对称利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解1、与图象关于Y轴对称2、与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于X轴对称4、函数与其反函数图象关于直线对称与图象关于直线对称推论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称推论3:函数与图象关于直线对称二 典例解析：1、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,如此_。解析：关于直线对称，又是奇函数，故有，,2、函数满足，如此图象关于_对称。解析：这是一个函数的对称性，由上述结论知图象关于对称3、函数与函数的图象关于关于_对称。解析：这是两个函数的对称性，两函数的图象关于对称4、设函数的定义域为R，且满足，如此的图象关于_对称。解析：这是一个函数的对称性，的图象关于y轴即对称5、设函数的定义域为R，且满足，如此的图象关于_对称。解析：关于直线对称，是由向左平移一个单位得到的， 故的图象关y轴对称6、设的定义域为R，且对任意，有，如此关于_对称，图象关于_对称，。解析：令， 如此有 关于直线 即关于对称，是由纵坐标不变，横坐标变为原来的，关于 对称。7、函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，如此这5个实根之和为 A、5 B、10 C、15 D、18解析：的图象关于直线对称，故五个实根，有两对关于直线对称，它们的和为，还有一个根就是。故这5个实根之和为15，正确答案为8、设函数的定义域为R，如此如下命题中，假如是偶函数，如此图象关于y轴对称；假如是偶函数，如此图象关于直线对称；假如，如此函数图象关于直线对称；与图象关于直线对称，其中正确命题序号为_。解析： 错 关于直线对称， 对 错 假如，如此函数图象关于直线对称； 对第十五讲 抽象函数问题一 知识点精讲： 1 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的根本函数，再由根本函数的相关结论，预测、猜测抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。2中学阶段常用抽象函数的“原型函数1(为常数2=且3且4(为常数5或=(常数6= 方法：想具体函数的运算法如此，代特殊值。二典例解析例1设函数满足，且()=0，、R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期例2函数对于任意实数、都有，且当0时，0，(-1)=-2，1求证在上的奇函数。 (2)求证在上的增函数3求函数在区间-2，1上的值域。例3函数对于一切实数、满足(0)0，且当0时，11当0时，求的取值X围2判断在R上的单调性例4函数定义域为(0,+)且单调递增，满足(4)=1，1证明：(1)=0；(2)求(16)；3假如+ (-3)1，求的X围；4试证()=nN例5函数对于一切正实数、都有且1时，1，(2)=(1)求证：0；2求证：3求证：在0，+上为单调减函数4假如=9，试求的值。三 课堂检测例22006某某函数对于任意实数满足条件，假如如此_ ；1.(2006某某)定义在R上的奇函数满足，如此= ( ) A-1B0C1D22.(2007启东质检)函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，对任意xR，都有f(x+4)=f(x)+f(4) 成立，如此f(2006)= ( )A4012B2006 C2008 D0y=f(2x+1)是偶函数，如此函数y=f(2x)的图象的对称轴是 A.x=1B.x=2C.x=D.x=4.是偶函数，当时，为增函数，假如，且，如此 5.(2006某某)函数对于任意实数满足条件,假如f(1)=5,如此f(f(5)=_6函数满足：，如此。7函数对一切，都有，求证:1是奇函数；2假如f(x)的图象关于直线x=1对称,如此f(x)恒等于0.8函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有，且当时，1求证：f(x)是偶函数；2f(x)在(0,+)上是增函数；3解不等式4 (2010某某)15函数满足：，如此_.中，满足“对任意，0，当的是A= B. = C .= D 5【答案】：A解析依题意可得函数应在上单调递减，故由选项可得A正确。2009某某理12定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.如此当时,有(A) (B)(C) (C) (D)答案：C是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，如此的值是A.0 B.C.1 D.【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法，综合题。同文12解析：令，如此；令，如此由得，所以，应当选择A。2008某某理11定义在上的函数满足，如此等于 A2 B3C6 D9解：令，令；令，再令得2007某某理6 给出如下三个等式：，。如下函数中不满足其中任何一个等式的是A B C D 【答案】:B【分析】：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式.2001某某理22(本小题总分为14分)设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称对任意，都有且()求；()证明是周期函数；22.()解：因为对，都有x,所以0， 3 分2008某某理(6)假如定义在R上的函数满足：对任意，有,如此如下说法一定正确的答案是A 为奇函数 B为偶函数C为奇函数 D为偶函数解：令，得，所以,即，所以为奇函数,选C(2007某某理)11定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，在闭区间上的根的个数记为，如此可能为D A0B1C3D5定义在R上的函数是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期，如此可能为5，选D。抽象函数问题的“原型解法抽象函数问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究发现，由抽象函数结构、性质，联想已学过的根本函数，再由根本函数的相关结论，预测、猜测抽象函数可能有的相关结论，是使抽象函数问题获解的一种有效方法。所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。由抽象函数构成的数学问题叫抽象函数问题，这类问题是学生学习中的一个难点，也是各种考试测评的热点问题之一。研究抽象函数问题的解法，对教师的教学，学生深刻理解并结实掌握函数的相关内容，学好大纲规定的根本函数知识显得尤为重要。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的。如有可抽象为。那么=就叫做抽象函数满足的“原型函数，分析抽象函数问题的解题过程与心理变化规律可知，一般均是由抽象函数的结构，联想到已学过的具有一样或相似结构的某类根本“原型函数，并由“原型函数的相关结论，预测、猜测抽象函数可能具有的某种性质使问题获解的，称这种解抽象函数问题的方法为“原型解法。下面给出中学阶段常用的“原型函数并举例说明“原型解法。一、中学阶段常用抽象函数的“原型函数1、(为常数2、=0且13、 (0且1)4、(为常数5、或=(为常数 6、=二、“原型解法例析【例1】 设函数满足，且()=0，、R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。分析与简证：由想：=2coscos原型：=，为周期函数且2为它的一个周期。猜测：为周期函数，2为它的一个周期令=+，= 如此=0为周期函数且2是它的一个周期。【例2】 函数满足，假如，试求(2005)。分析与略解：由想：(+)=原型：=为周期函数且周期为4=。猜测：为周期函数且周期为41=4=-(+4)=是以4为周期的周期函数又f(2)=2004=-f(2005)=-【例3】 函数对于任意实数、都有，且当0时，0，(-1)=-2，求函数在区间-2，1上的值域。分析与略解：由：想：(+)=+原型：为常数为奇函数。0时为减函数，0时为增函数。猜测：为奇函数且为R上的单调增函数，且在2,1上有4,2设0 ()0=0,为R上的单调增函数。令=0,如此(0)=0,令=，如此()=为R上的奇函数。(-1)=-(1)=-2 (1)=2，(-2)=2(-1)=-4-42(x-2,1)故在-2,1上的值域为-4，2【例4】 函数对于一切实数、满足(0)0，且当0时，11当0时，求的取值X围2判断在R上的单调性分析与略解：由：想：原型：=0,1，=10。当1时为单调增函数，且0时，1，0时，01；01时为单调减函数，且0时，1，0时，01。猜测： 为减函数，且当0时，01。1对于一切、R，且(0)0令=0，如此(0)=1，现设0，如此-0，f(-) 1又(0)=(-)=1 = 1012设，、R，如此0，()1且1， f(x)在R上为单调减函数【例5】 函数定义域为(0,+)且单调递增，满足(4)=1，1证明：(1)=0；(2)求(16)；3假如+(-3)1，求的X围；4试证()=nN分析与略解：由：想：、R+原型：0，0猜测：有(1)=0，(16)=2，1令=1，=4，如此(4)=(14)=(1)+(4)(1)=02(16)=(44)=(4)+(4)=2(3)+(3)=(3)1=(4)在0，+上单调递增3，44【例6】 函数对于一切正实数、都有且1时，1，(2)=(1)求证：0；2求证：3求证：在0，+上为单调减函数4假如=9，试求的值。分析与简证：由，想：原型：为常数=猜测：0，在0，+上为单调减函数，(1)对任意0，=)=0假设存在0，使=0，如此对任意0=f(=0，这与矛盾故对任意0，均有02，0, (1)=1()=()=(1)=1 (3)、(0,+)，且，如此1，()1， 即在0，+上为单调减函数。4(2)=，()=9 (2)()=1(2)=1=f(1)，而在(0，+)是单调减函数2=1 即=综上所述，由抽象函数问题的结构特征，联想已学过的具有一样或相似结构的根本原型函数，并由根本函数的相关结构，预测、猜测抽象函数可能具有的性质 “抽象具体抽象的“原型联想思维方式，可使抽象函数问题顺利获解，且进一步说明，学生学好大纲规定的几种根本函数相关知识的重要性。文案大全