辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考数学(理)试题 含解析

辽宁省庄河市高级中学 沈阳市第二十中学 2018 届高三上学期 第一次联考数学 理 试题 第 卷 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 设集合 则 A B C D 答案 B 解析 集合 则 故选 2 是 复数 为纯虚数 的 A 充要条件 B 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 复数 为纯虚数 则 所以 是 复数 为纯虚数 的 充要条件 本题选择 A 选项 3 已知 是第二象限角 且 则 的值为 A B C D 答案 B 解析 试题分析 因为 是第二象限角 且 所以 考点 两角和的正切公式 4 函数 的图象 A 关于 轴对称 B 关于 轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线 对称 答案 B 解析 由 为偶函数可得 函数 的图象关于 y 轴对称 选 B 5 某校高二 1 班每周都会选出两位 迟到之星 期中考试之前一周 迟到之星 任选 揭晓之前 小马说 两个人应该是在小赵 小宋和小谭之中产生 小赵说 一定没有 我 肯定有小宋 小宋说 小马 小谭二人有且仅有一人是迟到之星 小谭说 小赵 说得对 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的 则 迟到之星 是 A 小赵 小谭 B 小马 小宋 C 小马 小谭 D 小赵 小宋 答案 A 解析 小马说 两个人选应该是在小赵 小宋和小谭三人之中产生 如果小马说假 话 则小赵 小宋 小谭说的都是假话 不合题意 所以小马说的是真话 小赵说 一定 没有我 肯定有小宋 是假话 否则 小谭说的是真话 这样有三人说真话 不合题意 小 宋说 小马 小谭二人中有且仅有一人是迟到之星 是真话 小谭说 小赵说的对 是假话 这样 四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的 且 迟到之星 是小赵和小谭 故选 A 6 已知函数 为常数 的图像关于直线 对称 则函数 的图象 A 关于点 对称 B 关于点 对称 C 关于直线 对称 D 关于直线 对称 答案 C 解析 因为函数 为常数 的图像关于直线 对称 所以 可得 函数 的对称轴方程为 当 时 对称轴为 数 的图象关于 关于直线 对称 故选 C 7 设 是定义在 上的奇函数 且其图象关于 对称 当 时 则 的值为 A 1 B 0 C 1 D 不能确定 答案 C 解析 定义在 上的奇函数 的图象是关于直线 对称 即 故函数 的周期为 则 故选 8 不等式 的解集为 则不等式 的 解集为 A 或 B C D 或 答案 B 解析 不等式 的解集为 的两根为 且 即 解得 则不等式可化为 解得 故选 9 在锐角 中 角 的对边分别为 若 则 的取值范围 A B C D 答案 B 解析 由题意 可得 故答案选 点睛 在解三角形中求范围问题往往需要转化为角的问题 利用辅助角公式 结合角的范围 求得最后结果 在边角互化中 注意化简和诱导公式的运用 10 已知 则 的最小值为 A B 4 C D 答案 D 解析 因 故 又因为 所以 当且 仅当 即 取等号 应选答案 D 点睛 解答本题的关键是变形 也是解答这个问题的难点所在 通 过这一巧妙变形从而将原式化为 然 后巧妙运用分组组合 借助基本不等式求出其最小值为 11 直线 分别为与半径为 1 的圆 相切于点 若点 在圆 的内部 不包括边界 则实数 的取值范围是 A B C D 答案 B 解析 因为 由切线长定理知 又 因此 解得 点睛 本题首先要学会问题转化 一般动点在圆内可转化为与圆心距离小于半径 因此写出 向量 再根据向量的平 方运算 求出 令其小于半径即可求出 12 函数 的导函数为 满足 且 则 的极值情况为 A 有极大值无极小值 B 有极小值无极大值 C 既有极大值又有极小值 D 既无极大值也无极小值 答案 D 解析 将 代入可得 则 令 则 当 时 当 时 故当 时 取最大值 0 故 恒成立 故 恒成立 故既无极大值也无极小值 故选 点睛 根据已知条件要先构造出 的解析式的形式 再根据 求出 当一阶导 数不能判定时可以求二阶导数 利用二阶导数反应一阶导数的单调性 从而反应出原函数的 性质 第 卷 共 90 分 二 填空题 每题 5 分 满分 20 分 将答案填在答题纸上 13 设 满足不等式组 则 的最小值为 答案 解析 试题分析 如下图 画出可行域 表示可行域内的点与定点 连线的斜 率 所以如图可得直线 为斜率的最小值 所以 所以 的最小值是 考点 线性规划 方法点睛 线性规划中求最值的几种题型包含 1 的最值 可转化为 的形式 斜率 当 时 那么可将 的最值问题转化为直 线的纵截距的最值问题 2 表示可行域内的点与点 间距离平 方的最值 3 表示可行域内的点与点 连线斜率的最值 4 可先变形为 而 表示可行域 内的点到直线 距离的最值 14 在 中 角 所对的边分别为 且 则 的最小值为 答案 解析 在 中 由 则 化简得 由余弦定理得 即 当且仅当 时成立 则 的最小值为 15 已知三个向量 共面 且均为单位向量 则 的取值范围为 答案 解析 三个向量 共面 且均为单位向量 可设 则 它表示单位圆上的点到定点 的距离 其最大值是 最小值是 的取值范围是 点睛 由本题题意均为单位向量 采用建立平面直角坐标系 给出点坐标 用点 坐标来表示向量后给出其几何意义 转化为点点距 继而求出范围 本题化归转化的思想 将向量题目转化为平面几何问题 借助距离问题来求范围 16 函数 若 使得 则 答案 解析 令 令 故 在 上是减函数 在 上是增 函数 当 时 有最小值 而 当且仅当 即 故 当且仅当等号成立时成立 故 即 点睛 根据题目意思给出 的解析式 运用导数求出 的最小值 运用基本不等式求出 的最小值 从而说明 由等号成立的条 件计算出 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知命题 指数函数 在 上单调递减 命题 关于 的方程 的两个实根均大于 3 若 或 为真 且 为假 求实数 的取值范 围 答案 或 解析 试题分析 根据指数函数的单调性求出命题 p 为真命题时 a 的范围 利用二次方程 的实根分布求出命题 q 为真命题时 a 的范围 据复合命题的真假与构成其简单命题真假的关 系将 p 或 q 为真 p 且 q 为假 转化为 p q 的真假 列出不等式组解得 试题解析 若 p 真 则 在 R 上单调递减 0 2a 6 1 3 a 若 q 真 令 f x x 2 3ax 2a2 1 则应满足 又由已知 或 为真 且 为假 应有 p 真 q 假 或者 p 假 q 真 若 p 真 q 假 则 a 无解 若 p 假 q 真 则 综上 知实数 的取值范围为 考点 复合命题的真假与简单命题真假的关系 二次方程实根分布 18 已知函数 将 的图象向右平移两个单位 得到函数 的图象 1 求函数 的解析式 2 若方程 在 上有且仅有一个实根 求 的取值范围 答案 1 2 解析 试题分析 1 借助平移的知识可以直接求出函数解析式 2 先换元 将问题转化为 有且只有一个根 再运用函数方程思想建立 不等式组分析求解 法 1 设 对称轴 则 或 由 得 即 由 得 无解 则 法 2 由 得 设 则 记 则 在 上是单调函数 因为故要使题设成立 只须 即 从而 点睛 在解答指数函数的综合题目时可以采用换元法 转化为一元二次函数的问题 根据题 目要求 如需要分类讨论 再加入分类讨论 19 在 中 内角 的对边分别为 已知 且 1 若 求 的面积 2 记边 的中点为 求 的最大值 答案 1 或 2 解析 试题分析 已知等式利用正弦定理化简 再利用余弦定理表示出 将得出的等式代入计算求出 的值 即可确定出角 由 又 即可求出 的最大值 解析 1 由余弦定理可得 由 1 可得 且 当 且 的面积 当 时 为等边三角形 2 由于 边的中点为 故 因为 且 故由余弦定理知 于是 而故 最大值为 当且仅当 时取等 点睛 在遇到中点时可以考虑采用向量的方法 如 那么这一步骤将会把题 目转化出来 然后再根据题目条件求解 20 已知函数 在区间 上单调递减 在区间 上单调递增 凸 四边形 中 为 的内角 的对边 且满足 证明 若 设 求四边形 面积的最大 值 答案 证明见解析 解析 试题分析 1 由题意知 解得 代入已知条件化简可得 再由正弦定理可得 2 由条件和 1 的结论可得 为等边三角形 可得 化简为 由 求得最大值 试题解析 1 由题意知 解得 2 因为 所以 所以 为等边三角形 当且仅当 即 时取最大值 的最大值为 21 已知函数 且 若 为定义域上增函数 求实数的取值范围 令 设函数 且 求证 答案 证明见解析 解析 试题分析 利用导函数研究函数的单调性 将原问题转化为恒成立的问题 讨论可得实数 的取值 范围是 由题意结合函数的单调性讨论函数 g x 的性质 结合函数的零点性质即可证得题中的结 论 试题解析 由 为增函数可得 恒成立 则由 设 则 若由 和 可知 在 上单调递减 在 上单调递增 所以 所以 当 时 易知 当 时 则 这与 矛盾 从而不能使 恒成立 所以 因为 所以 所以 所以 令 在 上增 在 上减 所以 整理得 解得 或 舍 所以 得证 请考生在 22 23 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 在平面直角坐标系中 以坐标原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 已知曲 线 的极坐标方程为 过点 的直线 的参数方程为 为参数 直线 与曲线 相交于 两点 1 写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程 2 若 求 的值 答案 1 直角坐标方程为 普通方程为 2 解析 试题分析 1 根据 将曲线极坐标方程转化 为直角坐标方程 利用代入消元将直线参数方程化为普通方程 2 根据 直线参数方程几何意义将条件 转化为 即 再联立直线参数方程与抛物线方程 利用韦达定理代入化简得 试题解析 1 由 得 曲线 的直角坐标方程为 由 消去 得 直线 的普通方程为 2 直线 的参数方程为 为参数 代入 得到 设 对应的参数分别为 则 是方程的两个解 由韦达定理得 因为 所以 解得 考点 极坐标方程转化为直角坐标方程 直线参数方程化为普通方程 直线参数方程几何意 义 23 已知函数 1 求不等式 的解集 2 若 对任意 恒成立 求 的最小值 答案 1 2 解析 试题分析 1 写出分段函数 再分段讨论解不等式 2 即求 f x 的最小值 由 1 中分段函数可知最小值为 即 由于 所以 再由重要不等式 可解 试题解析 1 或 或 解得 或 的解集为 或 2 由图知 即 当且仅当 时等号成立 解得 当且仅当 时等号成立 故 的最小值为