初三数学二次根式.doc

初三数学 二次根式一、教 法 建 议抛砖引玉本章及本单元主要内容是二次根式的性质与运算.在教学时，以上一章学的平方根，算术平方根的概念和利用平方运算求非负数的平方根，算术平方根的方法为基础，先给出了二次根式的概念，自然过渡到新一章的课题，自始至终围绕着二次根式化简与运算，由浅入深地讲解二次根式的性质及有关概念：一、讲授积的算术平方根的性质，进而完善了二次根式的化简方法，同时，还要讲述简单的二次根式的除法，并初步引出分母有理化的概念与方法.从这些初步知识出发，引导学生归纳出最简二次根式的概念与化简二次根式加减方法.然后，从分配律出发，引出二次根式加减，进而结合同类二次根式的概念给出了二次根式加减的方法.二、在基本的乘、除与加减法的基础上，讲述混合运算，包括进一步介绍分母有理化的方法.三、给出一个数的算术平方根的性质，在学习最后一个性质之前，算术中出现的字母，一般都只表示正数，在讲授最后一个性质时，则适当增加一些不限制字母只表示正数的练习，以进一步巩固二次根式的化简与运算.在教学中，要遵循以旧引新，不断扩充，层层递进，使所学新知识不断深化、强化、熟悉化，边讲边练，讲练结合，在实践中巩固，在实践中提高，以收到实效.指点迷津二次根式的有关概念是二次根式化简与运算的基础，其中最重要的概念是最简二次根式.二次根式的性质是二次根式化简与运算的依据，在进行二次根式的化简与运算时，先将式子中二次根式化简，注意运算顺序.二次根式乘、除运算中，使用公式时，要注意公式成立的条件，运算结果通常化为最简二次根式.只有明确，（）2，的成立条件，它们之间的区别与联系，才能在二次根次化简中正确使用.对本章中被开方数的规定要理解熟记，正确地进行二次根式化简与运算.二、学 海 导 航思维基础基础知识是思维的源泉，掌握好基础知识能拓宽思路.请回答下列问题，以巩固基础知识.1. 二次根式的有关概念（1）式子（a0）叫做， ，（a与必是非负数）.（2）最简二次根式的条件是 和 .（3） 叫做同类二次根式.（4） 叫做到为有理化因式.（5） 叫做分母有理化.2. 二次根式的性质：（1）若a0，则 .（2） （3）成立的条件是 .（4），则a ，b .3. 二次根式的运算：（1）二次根式加减法的步骤是 ，后合并 .（2）二次根式乘法的运算公式是 .（3）二次根式的除法通常把算式写成公式的形式，通过分母有理化进行运算，有时也可约分或利用公式 运算.学法指要一、 例1.x取什么实数时，下列各式有意义.（1）； （2）；（3）； （4）.【思考】1.要使二次根式有意义，被开方数有什么条件限制？请叙述.2.怎样求不等式或不等式组的解？【思路分析】要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，遵循这一原则，可找到思路.【解】（1）当3-4x0，即x时，有意义； （2）当3x-20，即x时，有意义. （3） 不论x取何实数，总有（x-3）20， x取任意实数，有意义. 3x-40 （4）由 ,得. 4-3x0 当时有意义.例2.计算（1）（）2； （2）（3） （4）（b0）.【思考】1.，a有什么条件限制？2.，a有什么条件限制？【思路分析】根据公式（a0）进行计算即可.【解】（1）. （2） （3）. （4）.例3.在实数范围内分解因式：（1） x2-5； (2)x3-2x； （3）x4-6x2+9.【思考】1.在有理数范围内分解因式通常使用的方法有哪些？在实数范围内这些方法还使用吗？2.中a有什么条件制约？【思路分析】根据以前学习的因式分解方法，再结合(a0)的公式，便可对上述各例进行因式分解了.【解】（1）原式 . （2）原式 . （3）原式 .二、 例1.化简（1）； （2）；（3）； （4）.【思考】1.二次根式的乘法：.a，b有什么条件？这个公式逆向也成立吗？2.如果一个二次根式的被开方数中有因式（或因数），可以开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，可将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简，你说对吗？【思路分析】根据二次根式乘法：（a0,b0）进行计算.【解】（1）.（2）.（3）.（4）.例2.计算（1）； （2）；（3）；（4）.【思考】1.单项式乘以单项式的法则内容是什么？2.单项式乘以多项式的法则的内容是什么？3.被开方数是多项式应先因式分解吗？4.（a0，b0）这一公式成立吗？【思路分析】本例被开方数有单项式或多项式，有多项式必须考虑因式分解.被开方数相乘的运算必须按单项式乘以单项式或单项式乘以多项式的运算法则进行，然后再应用公式（a0,b0）正、逆进行思考例可求得结果.【解】（1） .（2）.（3） .（4） .三、 例1.化简：（1）； （2）；（3）.【思考】1.商的算术平方根中a，b有什么条件限制？2.被开方数是带分数，通常要化成假分数吗？3.被开方数相除时用以一个数（不为零）等于乘以这个数的倒数进行转化为乘法运算，你说对吗？【思路分析】本例只要按（a0，b0）这一公式思考，进行计算即可.【解】（1）.（2） .（3） .例2.对下列各式分母有理化.（1）；（2）；（3）；（4）.【思考】1.什么叫做分母有理化？2.在进行分母有理化之前，应先对二次根式化简吗？3.分式的基本性质请你叙述出来？4.（）2=a，对于a有什么限制条件？【思路分析】把分母中的根号化去，叫做分母有理化.弄清楚分母有理化的意义后，便好入手解决了.但分母有理化前，应先对二次根式化简.【解】1.2.3. .4.例3.计算1.；2.；【思考】1.二次根式的乘除是系数相乘除，被开方数相乘除，你说对吗？2.中的a、b所限制的条件一样吗？若不一样，请指出它们的限制范围.【思路分析】对于二次根式的乘除混合运算，必须系数相乘除，被开方数相乘除.再结合二次根式的乘，除公式进行.结果必须化成最简形式.【解】1. .2. .四、 例1.把下列各式化成最简二次根式：1.； 2.2.5；3(ab)【思考】1.请你说出最简二次根式的概念？2.最简二次根式应满足两个条件，你知道吗？请说出.3.被开方数为带分数或小数，必须将带分数化成假分数，小数化成分数，你说对吗？请思考.4.被开方数是多项式，需因式分解，使之化成因式积，你注意到了吗？【思路分析】要理解最简二次根式的概念，并熟练把握它满足的条件，在这两个前提下进行化简，便可顺利求得准确结果.【解】1.2.3.(ab).例2.下列各式中，哪些是同类二次根式.【思考】1.什么叫同类二次根式？2.判断几个二次根式是否为同类二次根式，要首先看其是否为最简二次根式，如果不是，应该怎么办？请说出你的办法？3.同类二次根式与根号前面的系数有无关系？【思路分析】什么叫同类二次根式，这一概念必须理解，才能找出哪些二次根式是同类二次根式，再看是否是最简二次根式，若不是，必须先化简，再找出同类二次根式，本例必须遵循这一原则进行思维，才能找到思路.【解】 - 由上可知：是同类二次根式.例3.计算：1.；2.【思考】1.二次根式的加减，首先一步应做什么？请说出.2.合并同类二次根式与合并同类项相类似吗？3.二次根式的加减法与整式加减法完全类似，你说对吗？【思路分析】二次根式的加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并即可.【解】1.原式 . 2.原式 .例4.把下列各式分母有理化：1.； 2.；3.； 4.【思考】1.请说出分母有理化的意义.2.什么叫互为有理化因式？3.分母有理化通常采用哪些方法？4.请写出平方差公式.【思路分析】分母有理化的概念必须理解，互为有理化因式必须熟知，以此找出有理化因式，此类问题便可“降服”.【解】1. 2. .3. . 又解:原式 .4. 原式 .五、 例1.化简1.（xy）；a（a0）-a (a0)3.（-3a5）.【思考】1. 是二次根式的性质，你会应用吗？2.你知道吗？应用公式要特别注意符号.3.如何脱去绝对值的符号？【思路分析】在没有学习的化简之前，被开方数均是非负数，而a2也非负数.但a便不一定是非负数，所以在应用此公式时，要特别注意a的符号，只有确定a的符号，才能正确地运用好公式进行化简，只要把握住这一点，此类问题便可迎刃而解.【解】1.原式（x0）. 2.原式 . 3.原式 -3a5 原式 .例2.把（a-1）中根号外面的因式移到根号里面.【思考】1.把根号外的数移至根号内，关键是看根号外面的因式是正还是负，你想一想，是不是这样？2.你知道什么是隐含条件吗？如何挖掘隐含条件，利用隐含条件？【思路分析】将根号外面的因式移到根号里面，关键是看根号外面的因式是正还是负，由已隐含告知a-10、a0） .并会正、逆应用.对二次根式加、减、乘、除的运算法则要掌握，会用它们进行运算.了解分母有理化的概念和作用，会将分母中含有一个或二个二次根式的式子进行分母有理化.对这一部分内容，必须认真学好，不断提高的思维能力，适应灵活多变的二次根式运算，计算能力才能得到进一步锤炼.动脑动手1.（1）若a0，化简二次根式 .8.当0x0,b0）为 .12. ， .13.如果x满足x2，化简的结果是 .14. .15.已知，则 .二、 选择题16.使分数式有意义的x值为（ ）. （A）x4的正实数 （B）x4的非负实数 （C）x0的实数 （D）x2的实数.17.下列各等式中，正确的是（ ）. （A） （B） （C） （D）.18.如果x-2，那么的值等于（ ）. （A）x+2 (B)a为正实数 （C）a为非负实数 （D）a为零19.若成立的条件是（ ）. （A）a为一切实数 （B）a为正实数 （C）a为非负实数 （D）a为零20.二次根式，中最简根式有（ ）. （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个21.当ab1，下列式子正确的是（ ）. （A） （B） （C） （D）26.若a0，b0，则等于（ ）. （A） （B） （C） （D）27.当x0 （C）ab0且b0 （D）ab0且a029.把（a-b）中（a-b）称到根号内，正确的结果是（ ）. （A） （B） （C） （D）30.等式中错误的有（ ）. （A）一个 （B）二个 （C）三个 （D）四个三、 解答题31.计算：.32.当x=2,时，求.33.设a0，b0，且ab，化简：.34.当，b=2时，求代数式.35.化简再求值：其中，.36.当时，求的值.37.已知，其中ab0，求.38.已知，其中a、b是实数.且a+b0，把.39.已知，求和ba的值.40.若，求参 考 答 案动脑动手1. 略2.原式，求值为83.原式4.原式 原式 亦可这样运算： 原式 5. 故创新园地1.（1）证明： 又证： （2ax1+b）2=b2-4ac （2） 的证法与（1）相仿，留给读者练习.2. 原式 当a=3，b=4时， 原式. 又解：换元法 设则原式可变为： 即原式 当a=3，b=4时 原式.3. 由算术根的意义，得 2x-10 1-2x0进而可求 即原式 4. 2A=5-2 A 原式5. 又解: 再解: 同步题库一、 填空题1. a0 2. 3. 4., 5.x3 6. 7. 8.x 9.-5a2 10.3.46 11. 12. 13. 14. 15.22二、 选择题16.B 17.C 18.A 19.C 20.C 21.A 22.D 23.C 24.D 25.B 26.C 27.D 28.B 29.D 30.D三、 解答题31.【解】 32.【解】 把x=2，代入 33.【解】 34.【解】 把代入原式 35.【解】 . 把代入原式 36.【解】 m-10 把代入原式 37.【解】 或（舍） a=16b 38.【解】 (a+b)(a+b-x)=0 a+b0 a+b-x=0 即 a+b=x x=a+b， 原式=4a+4b+239【解】 a=3 b=-2 40【解】 把代入原式 原式