2018年中考数学二次函数压轴题汇编

1 如图 直线 y x c 与 x 轴交于点 A 3 0 与 y 轴交于点 B 抛物线 y x2 bx c 经过点 A B 1 求点 B 的坐标和抛物线的解析式 2 M m 0 为 x 轴上一动点 过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P N 点 M 在线段 OA 上运动 若以 B P N 为顶点的三角形与 APM 相似 求点 M 的坐标 点 M 在 x 轴上自由运动 若三个点 M P N 中恰有一点是其它两点所连 线段的中点 三点重合除外 则称 M P N 三点为 共谐点 请直接写出 使得 M P N 三点成为 共谐点 的 m 的值 2 如图 1 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 C y ax 2 bx c 与 x 轴相交于 A B 两点 顶点为 D 0 4 AB 4 设点 F m 0 是 x 轴的正半轴 上一点 将抛物线 C 绕点 F 旋转 180 得到新的抛物线 C 1 求抛物线 C 的函数表达式 2 若抛物线 C 与抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的公共点 求 m 的取 值范围 3 如图 2 P 是第一象限内抛物线 C 上一点 它到两坐标轴的距离相等 点 P 在抛物线 C 上的对应点 P 设 M 是 C 上的动点 N 是 C 上的动点 试 探究四边形 PMP N 能否成为正方形 若能 求出 m 的值 若不能 请说明 理由 3 在平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 M 给出如下的定义 若在图形 M 上存在一点 Q 使得 P Q 两点间的距离小于或等于 1 则称 P 为图形 M 的关联点 1 当 O 的半径为 2 时 在点 P1 0 P 2 P 3 0 中 O 的关联点是 点 P 在直线 y x 上 若 P 为 O 的关联点 求点 P 的横坐标的取值范 围 2 C 的圆心在 x 轴上 半径为 2 直线 y x 1 与 x 轴 y 轴交于点 A B 若线段 AB 上的所有点都是 C 的关联点 直接写出圆心 C 的横坐标 的取值范围 4 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 ax b 交 x 轴于 A 1 0 B 3 0 两点 点 P 是抛物线上在第一象限内的一点 直线 BP 与 y 轴相 交于点 C 1 求抛物线 y x2 ax b 的解析式 2 当点 P 是线段 BC 的中点时 求点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 求 sin OCB 的值 5 如图 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于点 A 和点 B 与 y 轴交于点 C 点 B 坐标为 6 0 点 C 坐标为 0 6 点 D 是抛物线的顶点 过点 D 作 x 轴的垂线 垂足为 E 连接 BD 1 求抛物线的解析式及点 D 的坐标 2 点 F 是抛物线上的动点 当 FBA BDE 时 求点 F 的坐标 3 若点 M 是抛物线上的动点 过点 M 作 MN x 轴与抛物线交于点 N 点 P 在 x 轴上 点 Q 在坐标平面内 以线段 MN 为对角线作正方形 MPNQ 请写出点 Q 的坐标 6 已知抛物线 y x2 bx 3 b 是常数 经过点 A 1 0 1 求该抛物线的解析式和顶点坐标 2 P m t 为抛物线上的一个动点 P 关于原点的对称点为 P 当点 P 落在该抛物线上时 求 m 的值 当点 P 落在第二象限内 P A2 取得最小值时 求 m 的值 7 在同一直角坐标系中 抛物线 C1 y ax 2 2x 3 与抛物线 C2 y x 2 mx n 关 于 y 轴对称 C 2 与 x 轴交于 A B 两点 其中点 A 在点 B 的左侧 1 求抛物线 C1 C 2 的函数表达式 2 求 A B 两点的坐标 3 在抛物线 C1 上是否存在一点 P 在抛物线 C2 上是否存在一点 Q 使得 以 AB 为边 且以 A B P Q 四点为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出 P Q 两点的坐标 若不存在 请说明理由 8 已知函数 y x2 m 1 x m m 为常数 1 该函数的图象与 x 轴公共点的个数是 A 0 B 1 C 2 D 1 或 2 2 求证 不论 m 为何值 该函数的图象的顶点都在函数 y x 1 2 的图 象上 3 当 2 m 3 时 求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围 9 已知直线 y 2x m 与抛物线 y ax2 ax b 有一个公共点 M 1 0 且 a b 求抛物线顶点 Q 的坐标 用含 a 的代数式表示 说明直线与抛物线有两个交点 直线与抛物线的另一个交点记为 N 若 1 a 求线段 MN 长度的取值范围 求 QMN 面积的最小值 10 在平面直角坐标系中 设二次函数 y1 x a x a 1 其中 a 0 1 若函数 y1 的图象经过点 1 2 求函数 y1 的表达式 2 若一次函数 y2 ax b 的图象与 y1 的图象经过 x 轴上同一点 探究实数 a b 满足的关系式 3 已知点 P x 0 m 和 Q 1 n 在函数 y1 的图象上 若 m n 求 x0 的取值范围 11 定义 如图 1 抛物线 y ax2 bx c a 0 与 x 轴交于 A B 两点 点 P 在该抛物线上 P 点与 A B 两点不重合 如果 ABP 的三边满足 AP2 BP2 AB2 则称点 P 为抛物线 y ax2 bx c a 0 的勾股点 1 直接写出抛物线 y x2 1 的勾股点的坐标 2 如图 2 已知抛物线 C y ax 2 bx a 0 与 x 轴交于 A B 两点 点 P 1 是抛物线 C 的勾股点 求抛物线 C 的函数表达式 3 在 2 的条件下 点 Q 在抛物线 C 上 求满足条件 S ABQ S ABP 的 Q 点 异于点 P 的坐标 12 如图 二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 点 C OB OC 点 D 在函数图象上 CD x 轴 且 CD 2 直线 l 是抛物线的 对称轴 E 是抛物线的顶点 1 求 b c 的值 2 如图 连接 BE 线段 OC 上的点 F 关于直线 l 的对称点 F 恰好在线 段 BE 上 求点 F 的坐标 3 如图 动点 P 在线段 OB 上 过点 P 作 x 轴的垂线分别与 BC 交于点 M 与抛物线交于点 N 试问 抛物线上是否存在点 Q 使得 PQN 与 APM 的面积相等 且线段 NQ 的长度最小 如果存在 求出点 Q 的坐标 如果不存在 说明理由 13 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 x 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 对称轴与 x 轴交于点 D 点 E 4 n 在抛物线上 1 求直线 AE 的解析式 2 点 P 为直线 CE 下方抛物线上的一点 连接 PC PE 当 PCE 的面积 最大时 连接 CD CB 点 K 是线段 CB 的中点 点 M 是 CP 上的一点 点 N 是 CD 上的一点 求 KM MN NK 的最小值 3 点 G 是线段 CE 的中点 将抛物线 y x2 x 沿 x 轴正方向平移 得到新抛物线 y y 经过点 D y 的顶点为点 F 在新抛物线 y 的对称轴上 是否存在点 Q 使得 FGQ 为等腰三角形 若存在 直接写出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 14 如图 抛物线 y ax2 bx 2 经过点 A 1 0 B 4 0 交 y 轴于点 C 1 求抛物线的解析式 用一般式表示 2 点 D 为 y 轴右侧抛物线上一点 是否存在点 D 使 S ABC S ABD 若存 在请直接给出点 D 坐标 若不存在请说明理由 3 将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转 45 与抛物线交于另一点 E 求 BE 的 长 15 如图 直线 y kx b k b 为常数 分别与 x 轴 y 轴交于点 A 4 0 B 0 3 抛物线 y x2 2x 1 与 y 轴交于点 C 1 求直线 y kx b 的函数解析式 2 若点 P x y 是抛物线 y x2 2x 1 上的任意一点 设点 P 到直线 AB 的距离为 d 求 d 关于 x 的函数解析式 并求 d 取最小值时点 P 的坐标 3 若点 E 在抛物线 y x2 2x 1 的对称轴上移动 点 F 在直线 AB 上移动 求 CE EF 的最小值 16 如图 已知二次函数 y x2 4 的图象与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交 于点 C C 的半径为 P 为 C 上一动点 1 点 B C 的坐标分别为 B C 2 是否存在点 P 使得 PBC 为直角三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 连接 PB 若 E 为 PB 的中点 连接 OE 则 OE 的最大值 17 已知点 A 1 1 B 4 6 在抛物线 y ax2 bx 上 1 求抛物线的解析式 2 如图 1 点 F 的坐标为 0 m m 2 直线 AF 交抛物线于另一点 G 过点 G 作 x 轴的垂线 垂足为 H 设抛物线与 x 轴的正半轴交于点 E 连接 FH AE 求证 FH AE 3 如图 2 直线 AB 分别交 x 轴 y 轴于 C D 两点 点 P 从点 C 出发 沿射线 CD 方向匀速运动 速度为每秒 个单位长度 同时点 Q 从原点 O 出发 沿 x 轴正方向匀速运动 速度为每 秒 1 个单位长度 点 M 是直线 PQ 与抛物线的一个交点 当运动到 t 秒时 QM 2PM 直接写出 t 的值 18 已知直线 y kx b 与抛物线 y ax2 a 0 相交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴正半轴相交于点 C 过点 A 作 AD x 轴 垂足为 D 1 若 AOB 60 AB x 轴 AB 2 求 a 的值 2 若 AOB 90 点 A 的横坐标为 4 AC 4BC 求点 B 的坐标 3 延长 AD BO 相交于点 E 求证 DE CO 19 如图 抛物线 y mx2 16mx 48m m 0 与 x 轴交于 A B 两点 点 B 在点 A 左侧 与 y 轴交于点 C 点 D 是抛物线上的一个动点 且位于第四 象限 连接 OD BD AC AD 延长 AD 交 y 轴于点 E 1 若 OAC 为等腰直角三角形 求 m 的值 2 若对任意 m 0 C E 两点总关于原点对称 求点 D 的坐标 用含 m 的式子表示 3 当点 D 运动到某一位置时 恰好使得 ODB OAD 且点 D 为线段 AE 的中点 此时对于该抛物线上任意一点 P x 0 y 0 总有 n 4 my02 12 y0 50 成立 求实数 n 的最小值 20 如图 在平面直角坐标系中 直线 y x 2 与 x 轴交于点 A 与 y 轴交 于点 C 抛物线 y x2 bx c 经过 A C 两点 与 x 轴的另一交点为点 B 1 求抛物线的函数表达式 2 点 D 为直线 AC 上方抛物线上一动点 连接 BC CD 设直线 BD 交线段 AC 于点 E CDE 的面积为 S1 BCE 的面积为 S2 求 的最大值 过点 D 作 DF AC 垂足为点 F 连接 CD 是否存在点 D 使得 CDF 中 的某个角恰好等于 BAC 的 2 倍 若存在 求点 D 的横坐标 若不存在 请说明理由 21 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y ax2 bx c 的开口向上 且经过点 A 0 1 若此抛物线经过点 B 2 且与 x 轴相交于点 E F 填空 b 用含 a 的代数式表示 当 EF2 的值最小时 求抛物线的解析式 2 若 a 当 0 x 1 抛物线上的点到 x 轴距离的最大值为 3 时 求 b 的值 22 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 bx 1 交 y 轴于点 A 交 x 轴 正半轴于点 B 4 0 与过 A 点的直线相交于另一点 D 3 过点 D 作 DC x 轴 垂足为 C 1 求抛物线的表达式 2 点 P 在线段 OC 上 不与点 O C 重合 过 P 作 PN x 轴 交直线 AD 于 M 交抛物线于点 N 连接 CM 求 PCM 面积的最大值 3 若 P 是 x 轴正半轴上的一动点 设 OP 的长为 t 是否存在 t 使以点 M C D N 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出 t 的值 若不存 在 请说明理由 23 如图 抛物线 y ax2 bx 3 经过点 A 2 3 与 x 轴负半轴交于点 B 与 y 轴交于点 C 且 OC 3OB 1 求抛物线的解析式 2 点 D 在 y 轴上 且 BDO BAC 求点 D 的坐标 3 点 M 在抛物线上 点 N 在抛物线的对称轴上 是否存在以点 A B M N 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求出所有符合条件的 点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 24 已知函数 y mx2 2m 5 x m 2 的图象与 x 轴有两个公共点 1 求 m 的取值范围 并写出当 m 取范围内最大整数时函数的解析式 2 题 1 中求得的函数记为 C1 当 n x 1 时 y 的取值范围是 1 y 3n 求 n 的值 函数 C2 y m x h 2 k 的图象由函数 C1 的图象平移得到 其顶点 P 落在 以原点为圆心 半径为 的圆内或圆上 设函数 C1 的图象顶点为 M 求点 P 与点 M 距离最大时函数 C2 的解析式 25 如图 抛物线 y x2 x c 与 x 轴的负半轴交于点 A 与 y 轴交于点 B 连结 AB 点 C 6 在抛物线上 直线 AC 与 y 轴交于点 D 1 求 c 的值及直线 AC 的函数表达式 2 点 P 在 x 轴正半轴上 点 Q 在 y 轴正半轴上 连结 PQ 与直线 AC 交于 点 M 连结 MO 并延长交 AB 于点 N 若 M 为 PQ 的中点 求证 APM AON 设点 M 的横坐标为 m 求 AN 的长 用含 m 的代数式表示 26 如图 过抛物线 y x2 2x 上一点 A 作 x 轴的平行线 交抛物线于另一 点 B 交 y 轴于点 C 已知点 A 的横坐标为 2 1 求抛物线的对称轴和点 B 的坐标 2 在 AB 上任取一点 P 连结 OP 作点 C 关于直线 OP 的对称点 D 连结 BD 求 BD 的最小值 当点 D 落在抛物线的对称轴上 且在 x 轴上方时 求直线 PD 的函数表达 式 27 如图 已知抛物线 y ax2 bx c a 0 的图象的顶点坐标是 2 1 并且经过点 4 2 直线 y x 1 与抛物线交于 B D 两点 以 BD 为直径 作圆 圆心为点 C 圆 C 与直线 m 交于对称轴右侧的点 M t 1 直线 m 上每一点的纵坐标都等于 1 1 求抛物线的解析式 2 证明 圆 C 与 x 轴相切 3 过点 B 作 BE m 垂足为 E 再过点 D 作 DF m 垂足为 F 求 BE MF 的值 28 平面直角坐标系 xOy 中 点 A B 的横坐标分别为 a a 2 二次函数 y x2 m 2 x 2m 的图象经过点 A B 且 a m 满足 2a m d d 为常数 1 若一次函数 y1 kx b 的图象经过 A B 两点 当 a 1 d 1 时 求 k 的值 若 y1 随 x 的增大而减小 求 d 的取值范围 2 当 d 4 且 a 2 a 4 时 判断直线 AB 与 x 轴的位置关系 并说明 理由 3 点 A B 的位置随着 a 的变化而变化 设点 A B 运动的路线与 y 轴分 别相交于点 C D 线段 CD 的长度会发生变化吗 如果不变 求出 CD 的长 如果变化 请说明理由 29 如图 抛物线 y x2 x 3 与 x 轴交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与 y 轴交于点 C 连接 AC BC 点 P 沿 AC 以每秒 1 个单位长度 的速度由点 A 向点 C 运动 同时 点 Q 沿 BO 以每秒 2 个单位长度的速度 由点 B 向点 O 运动 当一个点停止运动时 另一个点也随之停止运动 连 接 PQ 过点 Q 作 QD x 轴 与抛物线交于点 D 与 BC 交于点 E 连接 PD 与 BC 交于点 F 设点 P 的运动时间为 t 秒 t 0 1 求直线 BC 的函数表达式 2 直接写出 P D 两点的坐标 用含 t 的代数式表示 结果需化简 在点 P Q 运动的过程中 当 PQ PD 时 求 t 的值 3 试探究在点 P Q 运动的过程中 是否存在某一时刻 使得点 F 为 PD 的中点 若存在 请直接写出此时 t 的值与点 F 的坐标 若不存在 请说明 理由 30 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y x2 2x 3 交 x 轴于 A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 将该抛物线位于 x 轴上方曲线记作 M 将该抛物线 位于 x 轴下方部分沿 x 轴翻折 翻折后所得曲线记作 N 曲线 N 交 y 轴于点 C 连接 AC BC 1 求曲线 N 所在抛物线相应的函数表达式 2 求 ABC 外接圆的半径 3 点 P 为曲线 M 或曲线 N 上的一动点 点 Q 为 x 轴上的一个动点 若 以点 B C P Q 为顶点的四边形是平行四边形 求点 Q 的坐标 31 如图 是将抛物线 y x2 平移后得到的抛物线 其对称轴为 x 1 与 x 轴 的一个交点为 A 1 0 另一个交点为 B 与 y 轴的交点为 C 1 求抛物线的函数表达式 2 若点 N 为抛物线上一点 且 BC NC 求点 N 的坐标 3 点 P 是抛物线上一点 点 Q 是一次函数 y x 的图象上一点 若四 边形 OAPQ 为平行四边形 这样的点 P Q 是否存在 若存在 分别求出点 P Q 的坐标 若不存在 说明理由 32 如图 已知二次函数 y ax2 bx 3 a 0 的图象经过点 A 3 0 B 4 1 且与 y 轴交于点 C 连接 AB AC BC 1 求此二次函数的关系式 2 判断 ABC 的形状 若 ABC 的外接圆记为 M 请直接写出圆心 M 的坐标 3 若将抛物线沿射线 BA 方向平移 平移后点 A B C 的对应点分别记 为点 A1 B 1 C 1 A 1B1C1 的外接圆记为 M 1 是否存在某个位置 使 M 1 经过原点 若存在 求出此时抛物线的关系式 若不存在 请说明理 由 33 抛物线 y 4x2 2ax b 与 x 轴相交于 A x 1 0 B x 2 0 0 x 1 x 2 两点 与 y 轴交于点 C 1 设 AB 2 tan ABC 4 求该抛物线的解析式 2 在 1 中 若点 D 为直线 BC 下方抛物线上一动点 当 BCD 的面积 最大时 求点 D 的坐标 3 是否存在整数 a b 使得 1 x 1 2 和 1 x 2 2 同时成立 请证明你的 结论 34 如图 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象经过 A 1 0 B 4 0 C 0 2 三点 1 求该二次函数的解析式 2 点 D 是该二次函数图象上的一点 且满足 DBA CAO O 是坐标原 点 求点 D 的坐标 3 点 P 是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点 连接 PA 分别交 BC y 轴于点 E F 若 PEB CEF 的面积分别为 S1 S 2 求 S1 S2 的最大 值 35 如图 1 抛物线 y ax2 bx c 经过平行四边形 ABCD 的顶点 A 0 3 B 1 0 D 2 3 抛物线与 x 轴的另一交点为 E 经过点 E 的直线 l 将 平行四边形 ABCD 分割为面积相等的两部分 与抛物线交于另一点 F 点 P 为直线 l 上方抛物线上一动点 设点 P 的横坐标为 t 1 求抛物线的解析式 2 当 t 何值时 PFE 的面积最大 并求最大值的立方根 3 是否存在点 P 使 PAE 为直角三角形 若存在 求出 t 的值 若不存 在 说明理由 36 如图 某日的钱塘江观潮信息如图 按上述信息 小红将 交叉潮 形成后潮头与乙地之间的距离 s 千米 与时 间 t 分钟 的函数关系用图 3 表示 其中 11 40 时甲地 交叉潮 的潮头 离乙地 12 千米 记为点 A 0 12 点 B 坐标为 m 0 曲线 BC 可用二 次函数 s t2 bt c b c 是常数 刻画 1 求 m 的值 并求出潮头从甲地到乙地的速度 2 11 59 时 小红骑单车从乙地出发 沿江边公路以 0 48 千米 分的速 度往甲地方向去看潮 问她几分钟后与潮头相遇 3 相遇后 小红立即调转车头 沿江边公路按潮头速度与潮头并行 但 潮头过乙地后均匀加速 而单车最高速度为 0 48 千米 分 小红逐渐落 后 问小红与潮头相遇到落后潮头 1 8 千米共需多长时间 潮水加速阶段 速度 v v0 t 30 v 0 是加速前的速度 37 如图 1 抛物线 y ax2 bx 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C AB 4 矩形 OBDC 的边 CD 1 延长 DC 交抛物线于点 E 1 求抛物线的解析式 2 如图 2 点 P 是直线 EO 上方抛物线上的一个动点 过点 P 作 y 轴的平 行线交直线 EO 于点 G 作 PH EO 垂足为 H 设 PH 的长为 l 点 P 的横 坐标为 m 求 l 与 m 的函数关系式 不必写出 m 的取值范围 并求出 l 的 最大值 3 如果点 N 是抛物线对称轴上的一点 抛物线上是否存在点 M 使得以 M A C N 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 直接写出所有满足条 件的点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 38 如图 抛物线 y x2 bx c 与直线 AB 交于 A 4 4 B 0 4 两点 直线 AC y x 6 交 y 轴于点 C 点 E 是直线 AB 上的动点 过点 E 作 EF x 轴交 AC 于点 F 交抛物线于点 G 1 求抛物线 y x2 bx c 的表达式 2 连接 GB EO 当四边形 GEOB 是平行四边形时 求点 G 的坐标 3 在 y 轴上存在一点 H 连接 EH HF 当点 E 运动到什么位置时 以 A E F H 为顶点的四边形是矩形 求出此时点 E H 的坐标 在 的前提下 以点 E 为圆心 EH 长为半径作圆 点 M 为 E 上一动点 求 AM CM 它的最小值 39 抛物线 y ax2 bx 3 经过点 A 1 0 和点 B 5 0 1 求该抛物线所对应的函数解析式 2 该抛物线与直线 y x 3 相交于 C D 两点 点 P 是抛物线上的动点且 位于 x 轴下方 直线 PM y 轴 分别与 x 轴和直线 CD 交于点 M N 连结 PC PD 如图 1 在点 P 运动过程中 PCD 的面积是否存在最大 值 若存在 求出这个最大值 若不存在 说明理由 连结 PB 过点 C 作 CQ PM 垂足为点 Q 如图 2 是否存在点 P 使得 CNQ 与 PBM 相似 若存在 求出满足条件的点 P 的坐标 若不存在 说明理由 40 函数的图象与性质 拓展学习片段展示 问题 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y a x 2 2 经过原点 O 与 x 轴的另一个交点为 A 则 a 操作 将图 中抛物线在 x 轴下方的部分沿 x 轴折叠到 x 轴上方 将这部 分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为 G 如图 直接写出 图象 G 对应的函数解析式 探究 在图 中 过点 B 0 1 作直线 l 平行于 x 轴 与图象 G 的交点 从左至右依次为点 C D E F 如图 求图象 G 在直线 l 上方的部分对 应的函数 y 随 x 增大而增大时 x 的取值范围 应用 P 是图 中图象 G 上一点 其横坐标为 m 连接 PD PE 直接写 出 PDE 的面积不小于 1 时 m 的取值范围 1 如图 1 经过原点 O 的抛物线 y ax2 bx a 0 与 x 轴交于另一点 A 0 在第一象限内与直线 y x 交于点 B 2 t 1 求这条抛物线的表达式 2 在第四象限内的抛物线上有一点 C 满足以 B O C 为顶点的三角形 的面积为 2 求点 C 的坐标 3 如图 2 若点 M 在这条抛物线上 且 MBO ABO 在 2 的条件 下 是否存在点 P 使得 POC MOB 若存在 求出点 P 的坐标 若不 存在 请说明理由 2 如图 在平面直角坐标系中 二次函数 y x2 bx c 的图象与坐标轴 交于 A B C 三点 其中点 A 的坐标为 3 0 点 B 的坐标为 4 0 连接 AC BC 动点 P 从点 A 出发 在线段 AC 上以每秒 1 个单位长度的速 度向点 C 作匀速运动 同时 动点 Q 从点 O 出发 在线段 OB 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 B 作匀速运动 当其中一点到达终点时 另一点随 之停止运动 设运动时间为 t 秒 连接 PQ 1 填空 b c 2 在点 P Q 运动过程中 APQ 可能是直角三角形吗 请说明理由 3 在 x 轴下方 该二次函数的图象上是否存在点 M 使 PQM 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形 若存在 请求出运动时间 t 若不存在 请 说明理由 4 如图 点 N 的坐标为 0 线段 PQ 的中点为 H 连接 NH 当 点 Q 关于直线 NH 的对称点 Q 恰好落在线段 BC 上时 请直接写出点 Q 的坐 标 3 定义 对于给定的两个函数 任取自变量 x 的一个值 当 x 0 时 它们 对应的函数值互为相反数 当 x 0 时 它们对应的函数值相等 我们称这 样的两个函数互为相关函数 例如 一次函数 y x 1 它的相关函数为 y 1 已知点 A 5 8 在一次函数 y ax 3 的相关函数的图象上 求 a 的值 2 已知二次函数 y x2 4x 当点 B m 在这个函数的相关函数 的图象上时 求 m 的值 当 3 x 3 时 求函数 y x2 4x 的相关函数的最大值和最小值 3 在平面直角坐标系中 点 M N 的坐标分别为 1 1 连 结 MN 直接写出线段 MN 与二次函数 y x2 4x n 的相关函数的图象有两个 公共点时 n 的取值范围 4 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 已知 A B 两点的坐标分别为 4 0 4 0 C m 0 是线段 A B 上一点 与 A B 点不重合 抛物线 L1 y ax 2 b1x c1 a 0 经过点 A C 顶点为 D 抛物线 L2 y ax 2 b2x c2 a 0 经过点 C B 顶点为 E AD BE 的延长线相交于 点 F 1 若 a m 1 求抛物线 L1 L 2 的解析式 2 若 a 1 AF BF 求 m 的值 3 是否存在这样的实数 a a 0 无论 m 取何值 直线 AF 与 BF 都不 可能互相垂直 若存在 请直接写出 a 的两个不同的值 若不存在 请说明 理由 5 如图 已知抛物线 y ax2 2 ax 9a 与坐标轴交于 A B C 三点 其中 C 0 3 BAC 的平分线 AE 交 y 轴于点 D 交 BC 于点 E 过点 D 的直线 l 与射线 AC AB 分别交于点 M N 1 直接写出 a 的值 点 A 的坐标及抛物线的对称轴 2 点 P 为抛物线的对称轴上一动点 若 PAD 为等腰三角形 求出点 P 的坐标 3 证明 当直线 l 绕点 D 旋转时 均为定值 并求出该定值 6 如图 1 矩形 OABC 的顶点 A C 的坐标分别为 4 0 0 6 直线 AD 交 B C 于点 D tan OAD 2 抛物线 M1 y ax 2 bx a 0 过 A D 两 点 1 求点 D 的坐标和抛物线 M1 的表达式 2 点 P 是抛物线 M1 对称轴上一动点 当 CPA 90 时 求所有符合条件 的点 P 的坐标 3 如图 2 点 E 0 4 连接 AE 将抛物线 M1 的图象向下平移 m m 0 个单位得到抛物线 M2 设点 D 平移后的对应点为点 D 当点 D 恰好在直线 AE 上时 求 m 的值 当 1 x m m 1 时 若抛物线 M2 与直线 AE 有两个交点 求 m 的取 值范围 7 如图 已知抛物线 y ax2 2x c 与 y 轴交于点 A 0 6 与 x 轴交于点 B 6 0 点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点 1 求这条抛物线的表达式及其顶点坐标 2 当点 P 移动到抛物线的什么位置时 使得 PAB 75 求出此时点 P 的坐标 3 当点 P 从 A 点出发沿线段 AB 上方的抛物线向终点 B 移动 在移动中 点 P 的横坐标以每秒 1 个单位长度的速度变动 与此同时点 M 以每秒 1 个 单位长度的速度沿 AO 向终点 O 移动 点 P M 移动到各自终点时停止 当 两个动点移动 t 秒时 求四边形 PAMB 的面积 S 关于 t 的函数表达式 并求 t 为何值时 S 有最大值 最大值是多少 8 如图 直线 y x 分别与 x 轴 y 轴交于 B C 两点 点 A 在 x 轴上 ACB 90 抛物线 y ax2 bx 经过 A B 两点 1 求 A B 两点的坐标 2 求抛物线的解析式 3 点 M 是直线 BC 上方抛物线上的一点 过点 M 作 MH BC 于点 H 作 MD y 轴交 BC 于点 D 求 DMH 周长的最大值 9 如图 抛物线 y ax2 bx 2 的对称轴是直线 x 1 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 点 A 的坐标为 2 0 点 P 为抛物线上的一个动点 过 点 P 作 PD x 轴于点 D 交直线 BC 于点 E 1 求抛物线解析式 2 若点 P 在第一象限内 当 OD 4PE 时 求四边形 POBE 的面积 3 在 2 的条件下 若点 M 为直线 BC 上一点 点 N 为平面直角坐标 系内一点 是否存在这样的点 M 和点 N 使得以点 B D M N 为顶点的 四边形是菱形 若存在 直接写出点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 温馨提示 考生可以根据题意 在备用图中补充图形 以便探究 10 如图 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴分别交于 A 1 0 B 5 0 两点 1 求抛物线的解析式 2 在第二象限内取一点 C 作 CD 垂直 X 轴于点 D 链接 AC 且 AD 5 CD 8 将 Rt ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位 当点 C 落在抛物线上 时 求 m 的值 3 在 2 的条件下 当点 C 第一次落在抛物线上记为点 E 点 P 是抛物 线对称轴上一点 试探究 在抛物线上是否存在点 Q 使以点 B E P Q 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 请出点 Q 的坐标 若不存在 请 说明理由 11 如图 已知抛物线 y ax2 bx c 过点 A 1 0 B 3 0 C 0 3 点 M N 为抛物线上的动点 过点 M 作 MD y 轴 交直线 BC 于点 D 交 x 轴于点 E 1 求二次函数 y ax2 bx c 的表达式 2 过点 N 作 NF x 轴 垂足为点 F 若四边形 MNFE 为正方形 此处限 定点 M 在对称轴的右侧 求该正方形的面积 3 若 DMN 90 MD MN 求点 M 的横坐标 12 如图 1 已知二次函数 y ax2 bx c a b c 为常数 a 0 的图象过 点 O 0 0 和点 A 4 0 函数图象最低点 M 的纵坐标为 直线 l 的 解析式为 y x 1 求二次函数的解析式 2 直线 l 沿 x 轴向右平移 得直线 l l 与线段 OA 相交于点 B 与 x 轴下 方的抛物线相交于点 C 过点 C 作 CE x 轴于点 E 把 BCE 沿直线 l 折叠 当点 E 恰好落在抛物线上点 E 时 图 2 求直线 l 的解析式 3 在 2 的条件下 l 与 y 轴交于点 N 把 BON 绕点 O 逆时针旋转 135 得到 B ON P 为 l 上的动点 当 PB N 为等腰三角形时 求符合条件 的点 P 的坐标 13 如图 矩形 OABC 的两边在坐标轴上 点 A 的坐标为 10 0 抛物线 y ax2 bx 4 过点 B C 两点 且与 x 轴的一个交点为 D 2 0 点 P 是线 段 CB 上的动点 设 CP t 0 t 10 1 请直接写出 B C 两点的坐标及抛物线的解析式 2 过点 P 作 PE BC 交抛物线于点 E 连接 BE 当 t 为何值时 PBE OCD 3 点 Q 是 x 轴上的动点 过点 P 作 PM BQ 交 CQ 于点 M 作 PN CQ 交 BQ 于点 N 当四边形 PMQN 为正方形时 请求出 t 的值 14 如图所示 在平面直角坐标系中 C 经过坐标原点 O 且与 x 轴 y 轴分别相交于 M 4 0 N 0 3 两点 已知抛物线开口向上 与 C 交于 N H P 三点 P 为抛物线的顶点 抛物线的对称轴经过点 C 且垂直 x 轴于点 D 1 求线段 CD 的长及顶点 P 的坐标 2 求抛物线的函数表达式 3 设抛物线交 x 轴于 A B 两点 在抛物线上是否存在点 Q 使得 S 四边形 OPMN 8S QAB 且 QAB OBN 成立 若存在 请求出 Q 点的坐标 若不 存在 请说明理由 15 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y ax2 bx c a 0 与 y 轴交与点 C 0 3 与 x 轴交于 A B 两点 点 B 坐标为 4 0 抛物线的对称轴 方程为 x 1 1 求抛物线的解析式 2 点 M 从 A 点出发 在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运 动 同时点 N 从 B 点出发 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点 运动 其中一个点到达终点时 另一个点也停止运动 设 MBN 的面积为 S 点 M 运动时间为 t 试求 S 与 t 的函数关系 并求 S 的最大值 3 在点 M 运动过程中 是否存在某一时刻 t 使 MBN 为直角三角形 若存在 求出 t 值 若不存在 请说明理由 16 已知抛物线 y ax2 bx c 其中 2a b 0 c 且 a b c 0 1 直接写出关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 0 的一个根 2 证明 抛物线 y ax2 bx c 的顶点 A 在第三象限 3 直线 y x m 与 x y 轴分别相交于 B C 两点 与抛物线 y ax2 bx c 相 交于 A D 两点 设抛物线 y ax2 bx c 的对称轴与 x 轴相交于 E 如果在对 称轴左侧的抛物线上存在点 F 使得 ADF 与 BOC 相似 并且 S ADF S ADE 求此时抛物线的表达式 17 已知二次函数 y x2 bx c 1 当 b 1 时 求这个二次函数的对称轴的方程 若 c b2 2b 问 b 为何值时 二次函数的图象与 x 轴相切 若二次函数的图象与 x 轴交于点 A x 1 0 B x 2 0 且 x1 x2 b 0 与 y 轴的正半轴交于点 M 以 AB 为直径的半圆恰好过点 M 二次函数的对称轴 l 与 x 轴 直线 BM 直线 AM 分别交于点 D E F 且满足 求二次函数的表达式 18 如图 1 点 A 坐标为 2 0 以 OA 为边在第一象限内作等边 OAB 点 C 为 x 轴上一动点 且在点 A 右侧 连接 BC 以 BC 为边在第一象限内作 等边 BCD 连接 AD 交 BC 于 E 1 直接回答 OBC 与 ABD 全等吗 试说明 无论点 C 如何移动 AD 始终与 OB 平行 2 当点 C 运动到使 AC2 AE AD 时 如图 2 经过 O B C 三点的抛物线 为 y1 试问 y 1 上是否存在动点 P 使 BEP 为直角三角形且 BE 为直角边 若存在 求出点 P 坐标 若不存在 说明理由 3 在 2 的条件下 将 y1 沿 x 轴翻折得 y2 设 y1 与 y2 组成的图形为 M 函数 y x m 的图象 l 与 M 有公共点 试写出 l 与 M 的公共点为 3 个时 m 的取值 19 抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A 1 0 B m 0 与 y 轴交于 C 1 若 m 3 求抛物线的解析式 并写出抛物线的对称轴 2 如图 1 在 1 的条件下 设抛物线的对称轴交 x 轴于 D 在对称轴 左侧的抛物线上有一点 E 使 S ACE S ACD 求点 E 的坐标 3 如图 2 设 F 1 4 FG y 于 G 在线段 OG 上是否存在点 P 使 OBP FPG 若存在 求 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 20 在平面直角坐标系 xOy 中 规定 抛物线 y a x h 2 k 的伴随直线为 y a x h k 例如 抛物线 y 2 x 1 2 3 的伴随直线为 y 2 x 1 3 即 y 2x 1 1 在上面规定下 抛物线 y x 1 2 4 的顶点坐标为 伴随直线 为 抛物线 y x 1 2 4 与其伴随直线的交点坐标为 和 2 如图 顶点在第一象限的抛物线 y m x 1 2 4m 与其伴随直线相交于 点 A B 点 A 在点 B 的左侧 与 x 轴交于点 C D 若 CAB 90 求 m 的值 如果点 P x y 是直线 BC 上方抛物线上的一个动点 PBC 的面积记 为 S 当 S 取得最大值 时 求 m 的值 21 我们知道 经过原点的抛物线可以用 y ax2 bx a 0 表示 对于这样 的抛物线 1 当抛物线经过点 2 0 和 1 3 时 求抛物线的表达式 2 当抛物线的顶点在直线 y 2x 上时 求 b 的值 3 如图 现有一组这样的抛物线 它们的顶点 A1 A 2 A n 在直线 y 2x 上 横坐标依次为 1 2 3 n n 为正整数 且 n 12 分别过 每个顶点作 x 轴的垂线 垂足记为 B1 B 2 B n 以线段 AnBn 为边向左作 正方形 AnBnCnDn 如果这组抛物线中的某一条经过点 Dn 求此时满足条件 的正方形 AnBnCnDn 的边长 22 如图 抛物线 y a x 1 x 3 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴的正半 轴交于点 C 其顶点为 D 1 写出 C D 两点的坐标 用含 a 的式子表示 2 设 S BCD S ABD k 求 k 的值 3 当 BCD 是直角三角形时 求对应抛物线的解析式 23 如图所示 顶点为 的抛物线 y ax2 bx c 过点 M 2 0 1 求抛物线的解析式 2 点 A 是抛物线与 x 轴的交点 不与点 M 重合 点 B 是抛物线与 y 轴 的交点 点 C 是直线 y x 1 上一点 处于 x 轴下方 点 D 是反比例函数 y k 0 图象上一点 若以点 A B C D 为顶点的四边形是菱形 求 k 的值 24 如图 抛物线 y ax2 bx 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 已 知 A 3 0 且 M 1 是抛物线上另一点 1 求 a b 的值 2 连结 AC 设点 P 是 y 轴上任一点 若以 P A C 三点为顶点的三角形 是等腰三角形 求 P 点的坐标 3 若点 N 是 x 轴正半轴上且在抛物线内的一动点 不与 O A 重合 过 点 N 作 NH AC 交抛物线的对称轴于 H 点 设 ON t ONH 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系式 25 如图 1 在平面直角坐标系中 已知抛物线 y ax2 bx 5 与 x 轴交于 A 1 0 B 5 0 两点 与 y 轴交于点 C 1 求抛物线的函数表达式 2 若点 D 是 y 轴上的一点 且以 B C D 为顶点的三角形与 ABC 相似 求点 D 的坐标 3 如图 2 CE x 轴与抛物线相交于点 E 点 H 是直线 CE 下方抛物线上 的动点 过点 H 且与 y 轴平行的直线与 BC CE 分别相交于点 F G 试探 究当点 H 运动到何处时 四边形 CHEF 的面积最大 求点 H 的坐标及最大面 积 4 若点 K 为抛物线的顶点 点 M 4 m 是该抛物线上的一点 在 x 轴 y 轴上分别找点 P Q 使四边形 PQKM 的周长最小 求出点 P Q 的坐标 26 如图 抛物线 y x2 bx c 经过点 B 3 0 C 0 2 直线 l y x 交 y 轴于点 E 且与抛物线交于 A D 两点 P 为抛物线上一动点 不与 A D 重合 1 求抛物线的解析式 2 当点 P 在直线 l 下方时 过点 P 作 PM x 轴交 l 于点 M PN y 轴交 l 于点 N 求 PM PN 的最大值 3 设 F 为直线 l 上的点 以 E C P F 为顶点的四边形能否构成平行四 边形 若能 求出点 F 的坐标 若不能 请说明理由 27 如图 M 的圆心 M 1 2 M 经过坐标原点 O 与 y 轴交于点 A 经过点 A 的一条直线 l 解析式为 y x 4 与 x 轴交于点 B 以 M 为顶 点的抛物线经过 x 轴上点 D 2 0 和点 C 4 0 1 求抛物线的解析式 2 求证 直线 l 是 M 的切线 3 点 P 为抛物线上一动点 且 PE 与直线 l 垂直 垂足为 E PF y 轴 交直线 l 于点 F 是否存在这样的点 P 使 PEF 的面积最小 若存在 请求 出此时点 P 的坐标及 PEF 面积的最小值 若不存在 请说明理由 28 如图 在平面直角坐标系中 矩形 OABC 的边 OA OC 分别在 x 轴 y 轴上 点 B 坐标为 4 t t 0 二次函数 y x2 bx b 0 的图象经过 点 B 顶点为点 D 1 当 t 12 时 顶点 D 到 x 轴的距离等于 2 点 E 是二次函数 y x2 bx b 0 的图象与 x 轴的一个公共点 点 E 与 点 O 不重合 求 OE EA 的最大值及取得最大值时的二次函数表达式 3 矩形 OABC 的对角线 OB AC 交于点 F 直线 l 平行于 x 轴 交二次函 数 y x2 bx b 0 的图象于点 M N 连接 DM DN 当 DMN FOC 时 求 t 的值 29 如图甲 直线 y x 3 与 x 轴 y 轴分别交于点 B 点 C 经过 B C 两点 的抛物线 y x2 bx c 与 x 轴的另一个交点为 A 顶点为 P 1 求该抛物线的解析式 2 在该抛物线的对称轴上是否存在点 M 使以 C P M 为顶点的三角 形为等腰三角形 若存在 请直接写出所符合条件的点 M 的坐标 若不存 在 请说明理由 3 当 0 x 3 时 在抛物线上求一点 E 使 CBE 的面积有最大值 图 乙 丙供画图探究 30 如图 抛物线 y ax2 bx c a 0 与直线 y x 1 相交于 A 1 0 B 4 m 两点 且抛物线经过点 C 5 0 1 求抛物线的解析式 2 点 P 是抛物线上的一个动点 不与点 A 点 B 重合 过点 P 作直线 PD x 轴于点 D 交直线 AB 于点 E 当 PE 2ED 时 求 P 点坐标 是否存在点 P 使 BEC 为等腰三角形 若存在请直接写出点 P 的坐标 若 不存在 请说明理由 1 如图 直线 y x c 与 x 轴交于点 A 3 0 与 y 轴交于点 B 抛物线 y x2 bx c 经过点 A B 1 求点 B 的坐标和抛物线的解析式 2 M m 0 为 x 轴上一动点 过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P N 点 M 在线段 OA 上运动 若以 B P N 为顶点的三角形与 APM 相似 求点 M 的坐标 点 M 在 x 轴上自由运动 若三个点 M P N 中恰有一点是其它两点所连 线段的中点 三点重合除外 则称 M P N 三点为 共谐点 请直接写出 使得 M P N 三点成为 共谐点 的 m 的值 分析 1 把 A 点坐标代入直线解析式可求得 c 则可求得 B 点坐标 由 A B 的坐标 利用待定系数法可求得抛物线解析式 2 由 M 点坐标可表示 P N 的坐标 从而可表示出 MA MP PN PB 的长 分 NBP 90 和 BNP 90 两种情况 分别利用相似三角形的性质可 得到关于 m 的方程 可求得 m 的值 用 m 可表示出 M P N 的坐标 由题意可知有 P 为线段 MN 的中点 M 为线段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点 可分别得到关于 m 的方程 可求 得 m 的值 解答 解 1 y x c 与 x 轴交于点 A 3 0 与 y 轴交于点 B 0 2 c 解得 c 2 B 0 2 抛物线 y x2 bx c 经过点 A B 解得 抛物线解析式为 y x2 x 2 2 由 1 可知直线解析式为 y x 2 M m 0 为 x 轴上一动点 过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及 抛物线分别交于点 P N P m m 2 N m m2 m 2 PM m 2 AM 3 m PN m2 m 2 m 2 m2 4m BPN 和 APM 相似 且 BPN APM BNP AMP 90 或 NBP AMP 90 当 BNP 90 时 则有 BN MN N 点的纵坐标为 2 m2 m 2 2 解得 m 0 舍去 或 m 2 5 M 2 5 0 当 NBP 90 时 过点 N 作 NC y 轴于点 C 则 NBC BNC 90 NC m BC m2 m 2 2 m2 m NBP 90 NBC ABO 90 ABO NBC Rt NCB Rt BOA 解得 m 0 舍去 或 m M 0 综上可知当以 B P N 为顶点的三角形与 APM 相似时 点 M 的坐标为 2 5 0 或 0 由 可知 M m 0 P m m 2 N m m2 m 2 M P N 三点为 共谐点 有 P 为线段 MN 的中点 M 为线段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点 当 P 为线段 MN 的中点时 则有 2 m 2 m2 m 2 解得 m 3 三 点重合 舍去 或 m 当 M 为线段 PN 的中点时 则有 m 2 m2 m 2 0 解得 m 3 舍去 或 m 1 当 N 为线段 PM 的中点时 则有 m 2 2 m2 m 2 解得 m 3 舍 去 或 m 综上可知当 M P N 三点成为 共谐点 时 m 的值为 或 1 或 点评 本题为二次函数的综合应用 涉及待定系数法 函数图象的交点 相似三角形的判定和性质 勾股定理 线段的中点 方程思想及分类讨论 思想等知识 在 1 中注意待定系数法的应用 在 2 中利用相似三 角形的性质得到关于 m 的方程是解题的关键 注意分两种情况 在 2 中利用 共谐点 的定义得到 m 的方程是解题的关键 注意分情况讨论 本 题考查知识点较多 综合性较强 分情况讨论比较多 难度较大 2 如图 1 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 C y ax 2 bx c 与 x 轴相交于 A B 两点 顶点为 D 0 4 AB 4 设点 F m 0 是 x 轴的正半轴 上一点 将抛物线 C 绕点 F 旋转 180 得到新的抛物线 C 1 求抛物线 C 的函数表达式 2 若抛物线 C 与抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的公共点 求 m 的取 值范围 3 如图 2 P 是第一象限内抛物线 C 上一点 它到两坐标轴的距离相等 点 P 在抛物线 C 上的对应点 P 设 M 是 C 上的动点 N 是 C 上的动点 试 探究四边形 PMP N 能否成为正方形 若能 求出 m 的值 若不能 请说明 理由 分析 1 由题意抛物线的顶点 D 0 4 A 2 0 设抛物线的解 析式为 y ax2 4 把 A 2 0 代入可得 a 由此即可解决问题 2 由题意抛物线 C 的顶点坐标为 2m 4 设抛物线 C 的解析式为 y x 2m 2 4 由 消去 y 得到 x2 2mx 2m2 8 0 由题意 抛物线 C 与抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的公共点 则有 解不等式组即可解决问题 3 情形 1 四边形 PMP N 能成为正方形 作 PE x 轴于 E MH x 轴于 H 由题意易知 P 2 2 当 PFM 是等腰直角三角形时 四边形 PMP N 是正方形 推