重庆中考数学24题专题

重庆中考几何 一 有关几何的基本量 线段 角度 全等 面积 四边形性质 1 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 E 为 AB 延长线上一点 连接 ED 与 BC 交于点 H 过 E 作 CD 的垂线 垂足为 CD 上的一点 F 并与 BC 交于点 G 已知 G 为 CH 的中点 且 BEH HEG 1 若 HE HG 求证 EBH GFC 2 若 CD 4 BH 1 求 AD 的长 1 证明 HE HG HEG HGE HGE FGC BEH HEG BEH FGC G 是 HC 的中点 HG GC HE GC HBE CFG 90 EBH GFC 2 解 过点 H 作 HI EG 于 I G 为 CH 的中点 HG GC EF DC HI EF HIG GFC 90 FGC HGI GIH GFC EBH EIH AAS FC HI BH 1 AD 4 1 3 2 已知 Rt ABC 中 ACB 90 CAB 30 分别以 AB AC 为边 向形外作等边 ABD 和等边 ACE 1 如图 1 连接线段 BE CD 求证 BE CD 2 如图 2 连接 DE 交 AB 于点 F 求证 F 为 DE 中点 证明 1 ABD 和 ACE 是等边三角形 AB AD AC AE DAB EAC 60 DAB BAC EAC BAC 即 DAC BAE 在 DAC 和 BAE 中 AC AE DAC BAE AD AB DAC BAE SAS DC BE 2 如图 作 DG AE 交 AB 于点 G 由 EAC 60 CAB 30 得 FAE EAC CAB 90 DGF FAE 90 又 ACB 90 CAB 30 ABC 60 又 ABD 为等边三角形 DBG 60 DB AB DBG ABC 60 在 DGB 和 ACB 中 DGB ACB DBG ABC DB AB DGB ACB AAS DG AC 又 AEC 为等边三角形 AE AC DG AE 在 DGF 和 EAF 中 DGF EAF DFG EFA DG EA DGF EAF AAS DF EF 即 F 为 DE 中点 3 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD DC AB DC AB BC AD 与 BC 延长线交于点 F G 是 DC 延长线上一点 AG BC 于 E 1 求证 CF CG 2 连接 DE 若 BE 4CE CD 2 求 DE 的长 解答 1 证明 连接 AC DC AB AB BC 1 CAB CAB 2 1 2 ADC AEC 90 AC AC ADC AEC CD CE FDC GEC 90 3 4 FDC GEC CF CG 2 解 由 1 知 CE CD 2 BE 4CE 8 AB BC CE BE 10 在 Rt ABE 中 AE AB 2 BE2 6 在 Rt ACE 中 AC AE 2 CE2 10 由 1 知 ADC AEC CD CE AD AE C A 分别是 DE 垂直平分线上的点 DE AC DE 2EH 8 分 在 Rt AEC 中 S AEC AE CE AC EH 21 EH ACE 06 53 DE 2EH 2 1 4 如图 AC 是正方形 ABCD 的对角线 点 O 是 AC 的中点 点 Q 是 AB 上一点 连接 CQ DP CQ 于点 E 交 BC 于点 P 连接 OP OQ 求证 1 BCQ CDP 2 OP OQ 证明 四边形 ABCD 是正方形 B PCD 90 BC CD 2 3 90 又 DP CQ 2 1 90 1 3 在 BCQ 和 CDP 中 B PCD BC CD 1 3 BCQ CDP 2 连接 OB 由 1 BCQ CDP 可知 BQ PC 四边形 ABCD 是正方形 ABC 90 AB BC 而点 O 是 AC 中点 BO AC CO 4 ABC 45 PCO 221 在 BCQ 和 CDP 中 BQ CP 4 PCO BO CO BOQ COP OQ OP 5 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB AD CD ABC 60 延长 AD 到 E 使 DE AD 延长 DC 到 F 使 DC CF 连接 BE BF 和 EF 求证 ABE CFB 如果 AD 6 tan EBC 的值 解 1 证明 连结 CE 在 BAE 与 FCB 中 BA FC A BCF AE BC BAE FCB 2 延长 BC 交 EF 于点 G 作 AH BG 于 H 作 AM BG BAE FCB AEB FBG BE BF BEF 为等腰三角形 又 AE BC AEB EBG EBG FBG BG EF AMG EGM AEG 90 四边形 AMGE 为矩形 AM EG 在 Rt ABM 中 AM AB sin60 6 EG AM 233 BG BM MG 6 2 6 cos60 15 tan EBC 51 BGE 6 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC C 90 E 为 CD 的中点 EF AB 交 BC 于点 F 1 求证 BF AD CF 2 当 AD 1 BC 7 且 BE 平分 ABC 时 求 EF 的长 1 证明 如图 1 延长 AD 交 FE 的延长线于 N NDE FCE 90 DEN FEC DE EC NDE FCE DN CF AB FN A B D E C F AN BF 四边形 ABFN 是平行四边形 BF AD DN AD FC 2 解 AB EF ABN EFC 即 1 2 3 又 2 BEF 3 1 BEF BF EF 1 2 BEF 2 EF BF 又 BC AD 7 1 BF CF AD 8 而由 1 知 CF AD BF BF BF 8 2BF 8 BF 4 BF EF 4 7 已知 AC 是矩形 ABCD 的对角线 延长 CB 至 E 使 CE CA F 是 AE 的中点 连接 DF CF 分别交 AB 于 G H 点 1 求证 FG FH 2 若 E 60 且 AE 8 时 求梯形 AECD 的面积 1 证明 连接 BF ABCD 为矩形 AB BC AB AD AD BC ABE 为直角三角形 F 是 AE 的中点 AF BF BE FAB FBA DAF CBF AD BC DAF CBF AF BF DAF CBF ADF BCF FDC FCD FGH FHG FG FH 2 解 AC CE E 60 ACE 为等边三角形 CE AE 8 AB BC BC BE 4CE21 根据勾股定理 AB 34 梯形 AECD 的面积 AD CE CD 4 8 21342 8 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC BCD 90 且 CD 2AD tan ABC 2 过点 D 作 DE AB 交 BCD 的平分线于点 E 连接 BE 1 求证 BC CD 2 将 BCE 绕点 C 顺时针旋转 90 得到 DCG 连接 EG 求证 CD 垂直平分 EG 3 延长 BE 交 CD 于点 P 求证 P 是 CD 的中点 证明 1 延长 DE 交 BC 于 F AD BC AB DF AD BF ABC DFC 在 Rt DCF 中 tan DFC tan ABC 2 2 CFD 即 CD 2CF CD 2AD 2BF BF CF BC BF CF CD CD CD 21 即 BC CD 2 CE 平分 BCD BCE DCE 由 1 知 BC CD CE CE BCE DCE BE DE 由图形旋转的性质知 CE CG BE DG DE DG C D 都在 EG 的垂直平分线上 CD 垂直平分 EG 3 连接 BD 由 2 知 BE DE 1 2 AB DE 3 2 1 3 AD BC 4 DBC 由 1 知 BC CD DBC BDC 4 BDP 又 BD BD BAD BPD ASA DP AD AD CD DP CD P 是 CD 的中点 2121 9 2011 南岸二诊 如图 已知点 是正方形 的对角线 上一点 过点 作 ABCDPEF 交 于点 交 于点 交 的延长线于点 连接 DF DPABECGF 1 若 求 的长 3 FD 2 求证 10 如图 正方形 CGEF 的对角线 CE 在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上 CG BC M 是线段 AE 的中点 DM 的延长线交 CE 于 N 1 线段 AD 与 NE 相等吗 请说明理由 2 探究 线段 MD MF 的关系 并加以证明 11 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB DC 10cm AC 交 BD 于 G 且 AGD 60 E F 分别为 CG AB 的中点 1 求证 AGD 为正三角形 2 求 EF 的长度 解答 1 证明 连接 BE 梯形 ABCD 中 AB DC AC BD 可证 ABC DCB GCB GBC 又 BGC AGD 60 AGD 为等边三角形 2 解 BE 为 BCG 的中线 BE AC 在 Rt ABE 中 EF 为斜边 AB 上的中线 G24图P FE DCBA EF AB 5cm 12 如图 梯形 ABCD 中 AD BC DE EC EF AB 交 BC 于点 F EF EC 连接 DF 1 试说明梯形 ABCD 是等腰梯形 2 若 AD 1 BC 3 DC 试判断 DCF 的形状 3 在条件 2 下 射线 BC 上是否存在一点 P 使 PCD 是等腰三角形 若存在 请直接 写出 PB 的长 若不存在 请说明理由 解答 解 1 证明 EF EC EFC ECF EF AB B EFC B ECF 梯形 ABCD 是等腰梯形 2 DCF 是等腰直角三角形 证明 DE EC EF EC EF CD CDF 是直角三角形 如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是 直角三角形 梯形 ABCD 是等腰梯形 CF BC AD 1 DC 由勾股定理得 DF 1 DCF 是等腰直角三角形 3 共四种情况 DF BC 当 PF CF 时 PCD 是等腰三角形 即 PF 1 PB 1 当 P 与 F 重合时 PCD 是等腰三角形 PB 2 当 PC CD P 在点 C 的左侧 时 PCD 是等腰三角形 PB 3 当 PC CD P 在点 C 的右侧 时 PCD 是等腰三角形 PB 3 故共四种情况 PB 1 PB 2 PB 3 PB 3 每个 1 分 13 在梯形 ABCD 中 AD BC AB CD 且 DE AD 于 D EBC CDE ECB 45 求证 AB BE 延长 BE 交 CD 于 F 若 CE tan CD E 求 BF 的长 23 13 证明 延长 DE 交 BC 于 G DE AD 于 D ADE 90 又 AD BC DGC BGE ADE 90 而 ECB 45 EGC 是等腰直角三角形 EG CG 在 BEG 和 DCG 中 EBGCD BEG DCG AAS BE CD AB 连结 BD EBC CDE EBC BCD CDE BCD 90 即 BFC 90 CE EG CG 1 又 tan CDE DG 3231CGD BEG DCG BG DG 3 210BE CD BE 0 法一 12BCDSGCDF A A43102BF A6105 法二 经探索得 BEG BFC BE 14 如图 直角梯形 中 的垂直平分线A 90 45 ABCA 交 于 交 的延长线于 求证 1 2 EGBCFD GGF D 证明 1 ABEF 45 9045 CFG 90ADBC CG 2 连接 AF EF 是 AB 的中垂线 E 45 BFE 90 AFBDCB CADF DC AB CDE F G 由 1 知 即 CGF CGDFB DB 二 有关 截长补短 题型 1 在 中 对角线 延长线上一点且 为等边三角形 ABCD BCGD 为 ABG 的平分线相交于点 连接 连接 EAF交 于 E 1 若 的面积为 求 的长 93 2 求证 AEB 2 如图 在正方形 ABCD 中 F 是 CD 的中点 E 是 BC 边上的一点 且 AF 平分 DAE 1 若正方形 ABCD 的边长为 4 BE 3 求 EF 的长 2 求证 AE EC CD 2 解 1 4 分5212 CFE 2 证明 过 F 作 FH AE 于 H AF 平分 DAE D 90 FH AE DAF EAF FH FD 在 AHF 与 ADF 中 AF 为公共边 DAF EAF FH FD AHF ADF HL AH AD HF DF 又 DF FC FH FE 为公共边 FHE FCE HE CE AE AH HE AH AD CD HE CE 3 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC B 90 D 45 1 若 AB 6cm 求梯形 ABCD 的面积 A B C D F E 2 若 E F G H 分别是梯形 ABCD 的边 AB BC CD DA 上一点 且满足 EF GH EFH FHG 求证 HD BE BF 分析 1 连 AC 过 C 作 CM AD 于 M 在 Rt ABC 中 利用三角函数求出 BC 在 Rt CDM 中 D 45 利用等腰直角三角形的性质得到 DM CM AB 6 则 AD 6 8 14 然后 根据梯形的面积公式计算即可 2 过 G 作 GN AD 则 DN GN 由 AD BC 得 BFH FHN 而 EFH FHG 得到 BFE GHN 易证 Rt BEF Rt NGH 则 BE GN BF HN 经过代换即可得到结论 解答 解 1 连 AC 过 C 作 CM AD 于 M 如图 在 Rt ABC 中 AB 6 sin ACB AC 10 BC 8 在 Rt CDM 中 D 45 DM CM AB 6 AD 6 8 14 梯形 ABCD 的面积 8 14 6 66 cm 2 2 证明 过 G 作 GN AD 如图 D 45 DNG 为等腰直角三角形 DN GN 又 AD BC BFH FHN 而 EFH FHG BFE GHN EF GH Rt BEF Rt NGH BE GN BF HN DH HN DN HN NG BF BE 4 如上图 梯形 ABCD 中 AB CD AD DC BC DAB 60 E 是对角线 AC 延长线上一 点 F 是 AD 延长线上的一点 且 EB AB EF AF 1 当 CE 1 时 求 BCE 的面积 2 求证 BD EF CE 考点 梯形 全等三角形的判定与性质 勾股定理 专题 计算题 分析 1 先证明 BCE 90 CBE 30 BCE 为直角三角形 又 CE 1 继而求出 BE 的 长 再根据三角形的面积公式求解即可 2 过 E 点作 EM DB 于点 M 四边形 FDME 是矩形 FE DM BME BCE 90 BEC MBE 60 BME ECB BM CE 继而可证明 BD DM BM EF CE 解答 1 解 AD CD DAC DCA DC AB DCA CAB DC AB AD BC DAB CBA 60 ACB 180 CAB CBA 90 BCE 180 ACB 90 BE AB ABE 90 CBE ABE ABC 30 在 Rt BCE 中 BE 2CE 2 5 分 2 证明 过 E 点作 EM DB 于点 M 四边形 FDME 是矩形 FE DM BME BCE 90 BEC MBE 60 BME ECB BM CE BD DM BM EF CE 10 分 5 已知 如图 点 E 是 AB 上的点 连 90 ADBCABC 45ECD 接 ED 过 D 作 于 F 1 若 求梯形 ABCD 的周长 75 3E 2 求证 5 解 90BA 45DCEGEBFC 15460ECBDF 在 中 Rt 60 3FC 3 由题得 四边形 ABFD 是矩形 33693ABCDABDFCF 梯 形 延长 EB 至 G 使 BG CF 连接 CG 12 290 90FF 6 如图 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O 点 E 是线段 DO 上一点 连结 CE 点 F 是 OCE 的平分线上一点 且 BF CF 与 CO 相交于点 M 点 G 是线段 CE 上一点 且 CO CG 1 若 OF 4 求 FG 的长 2 求证 BF OG CF 6 1 解 CF 平分 OCE OCF ECF 1 分 又 OC CG CF CF A B D C O E F G M 24 题图 OCF GCF 3 分 FG OF 4 即 FG 的长为 4 4 分 2 证明 在 BF 上截取 BH CF 连结 OH 5 分 正方形 ABCD 已知 AC BD DBC 45 BOC 90 OCB 180 BOC DBC 45 OCB DBC OB OC 6 分 BF CF BFC 90 OBH 180 BOC OMB 90 OMB OCF 180 BFC FMC 90 FMC 且 OMB FMC OBH OCF 7 分 OBH OCF OH OF BOH COF 8 分 BOH HOM BOC 90 COF HOM 90 即 HOF 90 OHF OFH 180 HOF 45 21 OFC OFH BFC 135 OCF GCF A B C D E G F M O H 24 题答图 G H F E D CB A GFC OFC 135 OFG 360 GFC OFC 90 FGO FOG 180 OFG 45 21 GOF OFH HOF OFG OG FH OH FG 四边形 OHFG 是平行四边形 OG FH 9 分 BF FH BH BF OG CF 7 如图 在正方形 中 点 是 的中点 连接 过点 作ABCDPABDPB 交 的延长线于点 连接 过点 作 交BEP EAFE 于点 连接 F 1 若 求 的长 2 F 2 求证 8 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 DG BC 于 G BH DC 于 H CH DH 点 E 在 AB 上 点 F 在 BC 上 并且 EF DC 1 若 AD 3 CG 2 求 CD 2 若 CF AD BF 求证 EF CD 21 8 1 解 连接 BD 1 分 AD BC ABC 90 DG BC 四边形 ABGD 是矩形 E F D C A B G E F D C A B AB DG BG AD 3 BC 3 2 5 BH DC CH DH BD BC 5 在 Rt ABD 中 AB DG 44352 在 Rt CDG 中 CD 5 分42 2 证明 延长 FE DA 相交于 M 6 分 EF DC AD CF 四边形 CDMF 是平行四边形 CF MD CF AD BF MD AD AM AM BF AM BF M BFE 又 AEM BEF AEM BEF 8 分 ME EF MF21 四边形 CDMF 是平行四边形 MF CD EF CD21 9 正方形 ABCD 中 点 E 在 CD 延长线上 点 F 在 BC 延长线上 EAF 45 o 请问现在 EF DE BF 又有什么数量关系 变形 a 解 简单思路 解 数量关系为 EF BF DE 理由如下 在 BC 上截取 BG 使得 BG DF 连接 AG 由四边形 ABCD 是正方形得 ADE ABG 90 AD AB o 又 DE BG ADE ABG SAS EAD GAB AE AG 由四边形 ABCD 是正方形 得 DAB 90 DAG GAB DAG EAD GAEo GAF GAE EAF 90 45 45oo GAF EAF 45 又 AG AE AF AF EAF GAF SAS EF GF BF BG BF DE 10 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AD BC AB CD BG CD 于点 G 1 若点 P 在 BC 上 过点 P 作 PE AB 于 E PF CD 于 F 求证 PE PF BG 2 若 AD 4 BC 6 AB 2 求 BG 的长 解 1 作 PM BG 于 M BG CD PF CD PM BG 四边形 PMGF 为矩形 PF MG ABCD 是等腰梯形 E F D C A B ABC C PM BG CD BG PM CD MPB C EBP 又 BEP PMB 90 BP PB BEP PMB PE BM PE PF BM MG BG 2 过点 D 作 DN AB 交 BC 于点 N 则 ABND 是平行四边形 DN AB DC 4 BC 6 AD 4 NC 4 DNC 是等边三角形 C 60 BG BC sin60 6 32 33 11 正方形 ABCD 中 点 E 在 DC 延长线上 点 F 在 CB 延长线上 EAF 45 o 请问现在 EF DE BF 又有什么数量关系 12 已知梯形 ABCD 中 AD BC AB BC DC 点 E F 分别在 AD AB 上 且 FCE 1 2 BCD 1 求证 BF EF ED 2 连接 AC 若 B 80 DEC 70 求 ACF 的度数 1 证明 FC F C EC EC ECF BCF DCE ECF FCE F CE EF EF DF ED BF EF ED 2 解 AB BC B 80 ACB 50 由 1 得 FEC DEC 70 ECB 70 而 B BCD 80 DCE 10 BCF 30 ACF BCA BCF 20 13 如图 P 为正方形 ABCD 边 BC 上任一点 BG AP 于点 G 在 AP 的延长线 上取点 E 使 AG GE 连接 BE CE 1 求证 BE BC 2 CBE 的平分线交 AE 于 N 点 连接 DN 求证 3 若正方形的边长为 2 当 P 点为 BC 的中点时 请直接写出 CE 的长为 1 证明 BG AP AG GE BG 垂直平分线段 AE AB BE 在正方 形 ABCD 中 AB BC BE BC 2 证明 AB BE BAG BEG BG AP ABC 90 BAG PBG BEG BN 为 CBE 的平分线 EBN CBN PBG CBN EBN BEG 即 BNG NGB 45 BNG 是等腰直角三角形 BN GN 连接 CN AC 则 CNE 2 EBN BEG 90 又 ADC 90 A D C N 四点共圆 CND CAD 45 AND 45 过 D 作 DM AE 于点 M 则 DNM 为等腰直角三角形 DN DM DAM ADM 90 DAM BAG 90 ADM BAG 在 ABG 和 DAM 中 ABG DAM AAS AG DM BN DN GN AG GN AG AN 3 根据勾股定理 AP BG BP PC BGP CNP 90 BPG CNP AAS O E D BA C CN BG CE CN 14 正方形 ABCD 中 对角线 AC 与 BD 交于 O 点 E 在 BD 上 AE 平分 DAC 求证 AC 2 AD EO 2 解 简单思路 O E B D A C G 过 E 作 EG AD 于 G 四边形 ABCD 是正方形 ADC 90 BD 平分 o ADC AC BD ADB ADC 2 45 o AE 平分 DAC EO AC EG AD EAO EAG DGE AOE AGE 90 又 AE AE AEO AEG AAS AG AO EO EG 又 ADB 45 DGE 90 DGE 为等腰直角三角形oo DG EG EO AD DG AD EO AG AO AC 2 15 如图 正方形 ABCD 中 点 M 是边 BC 上一点 异于点 B C AM 的垂直平分线分别交 AB CD BD 于 E F K 连 AK MK 1 若 M 是 BC 的中点 且 BC 4 求 EF 的长 2 求证 AE DF BM 16 正方形 ABCD 中 M 在 CD 上 N 在 DA 延长线上 CM AN 点 E 在 BD 上 NE 平分 DNM 请问 MN AD EF 有什么数量关系 F E D C A B F E M B D C A N P F E M B D C A N G Q 2 加强版解 简单思路 MN 2 AD EF 过 E 作 EG AD 于 G 作 EQ AB 于 Q 过 B 做 BP MN 于 P 按照 2 的解法 可求证 GNE FNE AAS DGE 为等腰直角三角形 AG AD DG AD EF 四边形 ABCD 为正方形 ABC GAQ BCM 90 BD 平分 ABC BC BA o ABD ABC 2 45 又 EQB 90 EQB 为等腰 Rt 三角形 BEQ 45 oo o GAQ EGA EQA 90 四边形 AGEQ 为矩形 EQ AG AD EF EQ AG QEN ENG 又 ENG ENF QEN ENF 由 BC BA BCM BAN 90 CM AN o BCM BAN SAS BM BN CBM ABN ABC 90 ABM CBM ABM ABN MBN 又 BM BNo MBN 为等腰 Rt 三角形 又 BP 斜边 MN 于 P NPB 为等腰 Rt 三角形 BP MN 2 PNB 45 BNE ENF PNB BEN QEN QEB o 又 QEN ENF PNB QEB 45 BNE BEN BN BE o 又 PNB QEB 45 NBP EBQ BEQ BNP SAS EQ BP EQ AG AD EF BP MN 2 AD EF MN 2 17 正方形 ABCD 中 点 E 在 CD 上 点 F 在 BC 上 EAD 15 FAB 30 AD 求oo3 AEF 的面 积 变形 d 解 简单思路 延长 CD 到点 G 使得 DG BF 连接 AG 过 E 作 EH AG 前面如 1 所证 ADG ABF EAG EAF GAD FAB 30 S EAG S EAF o 在 Rt ADG 中 GAD 30 AD AGD 60 AG 2 o3 o 设 EH x 在 Rt EGH 中和 Rt EHA 中 AGD 60 HAE 45 HG x AH x o3 AG 2 HG AH x x EH x 3 S EAF S EAG EH AG 2 3 3