复变函数教案第五章

复变函数与积分变换 教案 复变函数 第五 章 29 章节名称 第五章 留数 学时安排 6 学时 教学要求 理解孤立奇点的概念并掌握判别孤立奇点类别的方法 理解留数的 定义 熟练掌握计算留数的方法 理解留数基本定理 熟练掌握用留数理论计 算积分 教学内容 1 理解孤立奇点的概念 掌握判别孤立奇点类别的方法 2 了解解 析函数在其孤立奇点邻域内的性质 3 理解留数的定义 4 熟练掌握计算留 数的方法 5 理解留数基本定理 熟练掌握用留数理论计算积分 教学重点 留数的定义 留数的计算 教学难点 用留数理论计算积分 教学手段 课堂讲授 教学过程 第五章 留数 1 孤立奇点 1 相关定义 定义 1 设点 为函数 的奇点 若 在点 的某个去心邻域a zf zfa 内解析 则称点 为函数 的孤立奇点 Raz 0 定义 2 设点 为函数 的孤立奇点 zf 若 在点 的罗朗级数的主要部分为零 则称点 为 的可去奇点 zf a zf 若 在点 的罗朗级数的主要部分有有限多项 设为 fa 0 11 mmmcazazcz 则称点 为 的 级 阶 极点 a f 若 在点 的罗朗级数的主要部分有无限多项 则称点 为 的本 z a zf 性奇点 例 依定义 点 为 的可去奇点 点 为 的二级极点 点0 zzsin0 z2e z 为 的本性奇点 1 z sin 2 函数在孤立奇点的去心邻域内的性质 函数在可去奇点的去心邻域内的性质 定理 1 若点 为 的孤立奇点 则下列三个条件是等价的 a zf 复变函数与积分变换 教案 复变函数 第五 章 30 点 为 的可去奇点 a zf lim cz 函数 在点 的某个去心邻域内有界 f 函数在极点的去心邻域内的性质 定理 2 若点 为 的孤立奇点 则下列三个条件是等价的 a zf 点 为 的 级极点 fm 在点 的某个去心邻域 内可表示为z Raz 0mhf 其中的 在点 的邻域 内解析 且 zhaaz 0 a 点 为 的 级零点 可去奇点视作解析点时 1fm 定理 3 点 为函数 的极点的充分必要条件是a zf lizfaz 函数在本性奇点的去心邻域内的性质 定理 4 点 为函数 的本性奇点的充分必要条件是 不存在 即当a f limzfaz 时 既不趋于有限值 也不趋于 z zf 定理 5 若点 为 的本性奇点 且 在点 的充分小的邻域内不为零 a zf zf 则点 必为 的本性奇点 a 1zf 例 设 试求 在复平面上的奇点 并判定其类别 1 e5 z zf 解 首先 求 的奇点 的奇点出自方程 f 0e1 z 的解 解方程得 Ln z 复变函数与积分变换 教案 复变函数 第五 章 31 21 0 i 12 kk 若设 则易知 为 的孤立奇点 另外 1 0 i 12 kzk kz f 因 0 e e kk zz 所以 由零点的定义知 为 的一级零点 从而知 均k1 21 为 的一级极点 zf 2 留数 1 定义 3 设 为函数 的孤立奇点 为圆周 若 a zfc az 在 上解析 则称 zf 0 czf d i 21 为 在点 的留数 或残数 记作 或 即 zfa Resaf es czffdi 21 2 留数计算规则 规则 1 如果 为 的一级极点 那么 0z f lim Res000zfzfz 规则 2 如果 为 的 级极点 那么m li 1 Res 0100 zfzdzf mmz 规则 3 设 及 在 解析 如果 zQPf 0 0 P0 Q 那么 为 的一级极点 而0 z0f Res0 0zQf 例 1 设 求 1 25 zf f 解法 1 由定义 复变函数与积分变换 教案 复变函数 第五 章 32 41d 25i 2 0 Reszzf 41izz 0 25 z 注意 这里的积分路径的半径并非只能取 只须使半径小于 1 即可满足41 定义的条件 解法 2 因点 为 的孤立奇点 所以 在 内有0 z zf 30 zNz 1 25 0 n 032nz 由此得 依 7 2 式得 21 c Resf 解法 3 因点 为 的一级极点 则按规则 10z zf 25lim0 es zfz 解法 4 因点 为 的一级极点 则按规则 30 z 1 25 zf 0 0 Res zf 2 3 定义 4 设 为函数 的孤立奇点 为圆周 若 在 z zfc zf 内解析 则称 zR R 复变函数与积分变换 教案 复变函数 第五 章 33 czf d i 21 为函数 在点 的留数 或残数 记作 或 即 zf Res f es czffdi 21 Res 规则 4 0 Reszfzf 例 2 设 求 z e12 s f 解 取圆周 由 7 6 式得 zc czfde1i 2 Res2 czi 2 0 4 定理 6 设区域 是由围线 的内部构成 如图 若函数 在 内除含Gc zfG 有限个奇点 外解析 且在 上除点 外连续 na 21 cG na 21 则 njjc fzf1 Resi 2 d 5 定理 7 如果函数 在扩充复平面内只有有限个孤立奇点 那么 在所 zf zf 有各奇点 包括 点 的留数的总和必等于零 例 3 计算积分 1 d2i1 azz 解 首先 弄清被积函数在积分路径内部有无奇点 由 求出被12 az a1 c1 a2 c2 a3 c3 an cn G c 复变函数与积分变换 教案 复变函数 第五 章 34 积函数的奇点有 与 121 az 122 az 因 所以 又因 故 即在积分路径内部只有被1 a2 2 z1 积函数的一个奇点 1z 其次 经检验 得 12i Resi 2di12 zazzaz i2 lim111 zzz 2 a 3 留数在定积分计算上的应用 1 形如 的积分 20d sin coR 通过一定的转化 可得 1 20 d sin coRzdf 例 计算 dpcos 1 202 pI 2 形如 的积分 xR d 通过一定的转化 可得 nj jzQPxzQPx1 Resi 2d d 例 4 计算积分 x124 解 经验证 此积分可用公式一计算 首先 求出 在上半平面的全部奇点 令 24 zQP0124 z 即 22424 zz 1z 复变函数与积分变换 教案 复变函数 第五 章 35 1 22 zz 0 于是 在上半平面的全部奇点只有两个 zQP 与 i231 i231 且知道 与 均为 的一级极点 zQP 其次 算留数 有 lim Res 2 zzzz i341 li Res 2 zzzzQP i341 最后 将所得留数代入公式得 Res es i 2d124 zQPzxx 3 3 形如 的积分 0 d x eai xQPRR nj jzkxkP1ii e si 2 例 5 计算积分 0 de2i ax 解 经验证 该积分可用公式二计算 首先 求出辅助函数 在上半平面的全部奇点 2 ie azf 复变函数与积分变换 教案 复变函数 第五 章 36 由 解得 与 为 的奇点 而 所以 在02 aziazi zf0 a zf 上半平面只有一个奇点 且 为 的一级极点 其次 计算留数 有 i ie i lim e Rs i2i azazaz ie 最后 由公式得 i e Rsi 2de2i2i azxa a 于是容易得到 与 axe dcos2 0dsin2 x 练习 P 185 13 6 教学小结 1 理解孤立奇点的概念 掌握判别孤立奇点类别的方法 熟练掌握将函数在孤 立奇点 无穷远点除外 展成罗朗级数的方法 2 了解解析函数在其孤立奇点邻域内的性质 3 理解留数 也叫残数 的定义 4 熟练掌握计算留数的方法 5 理解留数基本定理 熟练掌握用留数理论计算积分 作业布置 第五章习题 P 183 1 3 8 1 3 5 13 1 3 5 预习 第一章 FOURIER 变换