《机械优化设计》试卷及答案

机械优化设计 复习题及答案 一 填空题 1 用最速下降法求 f X 100 x2 x12 2 1 x1 2 的最优解时 设 X 0 0 5 0 5 T 第 一步迭代的搜索方向为 47 50 2 机械优化设计采用数学规划法 其核心一是建立搜索方向 二是计算最佳步长因子 3 当优化问题是 凸规划 的情况下 任何局部最优解就是全域最优解 4 应用进退法来确定搜索区间时 最后得到的三点 即为搜索区间的始点 中间点和 终点 它们的函数值形成 高 低 高 趋势 5 包含 n 个设计变量的优化问题 称为 n 维优化问题 6 函数 的梯度为 HX B CXBHTT 21 7 设 G 为 n n 对称正定矩阵 若 n 维空间中有两个非零向量 d0 d 1 满足 d 0 TGd1 0 则 d0 d 1 之间存在 共轭 关系 8 设计变量 约束条件 目标函数 是优化 设计问题数学模型的基本要素 9 对于无约束二元函数 若在 点处取得极小值 其必要条件是 21xf 2010 x 梯度为零 充分条件是 海塞矩阵正定 10 库恩 塔克 条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起 作用的各约束函数梯度的非负线性组合 11 用黄金分割法求一元函数 的极小点 初始搜索区间3610 2 xxf 经第一次区间消去后得到的新区间为 2 36 2 36 10 ba 12 优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量 约束条件 目标函数 13 牛顿法的搜索方向 dk 其计算量 大 且要求初始点在极小点 逼近 位置 14 将函数 f X x12 x22 x1x2 10 x1 4x2 60 表示成 的形式 CXBHTT 21 15 存在矩阵 H 向量 d1 向量 d2 当满足 d1 TGd2 0 向量 d1 和向量 d2 是关于 H 共轭 16 采用外点法求解约束优化问题时 将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚 因子 r 数列 具有 由小到大趋于无穷 特点 17 采用数学规划法求解多元函数极值点时 根据迭代公式需要进行一维搜索 即求 二 选择题 1 下面 方法需要求海赛矩阵 A 最速下降法 B 共轭梯度法 C 牛顿型法 D DFP 法 2 对于约束问题 21212132min4 g0 fXxx 根据目标函数等值线和约束曲线 判断 为 为 1 TX 251 TX A 内点 内点 B 外点 外点 C 内点 外点 D 外点 内点 3 内点惩罚函数法可用于求解 优化问题 A 无约束优化问题 B 只含有不等式约束的优化问题 C 只含有等式的优化问题 D 含有不等式和等式约束的优化问题 4 对于一维搜索 搜索区间为 a b 中间插入两个点 a1 b 1 a 1 b1 计算出 f a1 f b1 则缩短后的搜索区间为 A a1 b 1 B b1 b C a1 b D a b 1 5 不是优化设计问题数学模型的基本要素 A 设计变量 B 约束条件 C 目标函数 D 最佳步长 6 变尺度法的迭代公式为 xk 1 xk kHk f x k 下列不属于 Hk 必须满足的条件的是 A Hk 之间有简单的迭代形式 B 拟牛顿条件 C 与海塞矩阵正交 D 对称正定 7 函数 在某点的梯度方向为函数在该点的 Xf A 最速上升方向 B 上升方向 C 最速下降方向 D 下降方向 8 下面四种无约束优化方法中 在构成搜索方向时没有使用到目标函数的 一阶或二阶导数 A 梯度法 B 牛顿法 C 变尺度法 D 坐标轮换法 9 设 为定义在凸集 R 上且具有连续二阶导数的函数 则 在 R 上为凸函数 Xf Xf 的充分必要条件是海塞矩阵 G X 在 R 上处处 A 正定 B 半正定 C 负定 D 半负定 10 下列关于最常用的一维搜索试探方法 黄金分割法的叙述 错误的是 假设要求在区间 a b 插入两点 1 2 且 1 2 A 其缩短率为 0 618 B 1 b b a C 1 a b a D 在该方法中缩短搜索区间采用的是外推法 11 与梯度成锐角的方向为函数值 上升 方向 与负梯度成锐角的方向为函数值 下降 方向 与梯度成直角的方向为函数值 不变 方向 A 上升 B 下降 C 不变 D 为零 12 二维目标函数的无约束极小点就是 A 等值线族的一个共同中心 B 梯度为 0 的点 C 全局最优解 D 海塞矩阵正定的点 13 最速下降法相邻两搜索方向 dk 和 dk 1 必为 向量 A 相切 B 正交 C 成锐角 D 共轭 14 下列关于内点惩罚函数法的叙述 错误的是 A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题 B 惩罚因子是不断递减的正值 C 初始点应选择一个离约束边界较远的点 D 初始点必须在可行域内 15 通常情况下 下面四种算法中收敛速度最慢的是 A 牛顿法 B 梯度法 C 共轭梯度法 D 变尺度法 16 一维搜索试探方法 黄金分割法比二次插值法的收敛速度 A 慢 B 快 C 一样 D 不确定 17 下列关于共轭梯度法的叙述 错误的是 A 需要求海赛矩阵 B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度 C 共轭梯度法具有 二次收敛性 D 第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度 三 问答题 1 试述两种一维搜索方法的原理 它们之间有何区 答 搜索的原理是 区间消去法原理 区别 1 试探法 给定的规定来确定插入点的位置 此点的位置确定仅仅按照区 间的缩短如何加快 而不顾及函数值的分布关系 如黄金分割法 2 插值法 没有函数表达式 可以根据这些点处的函数值 利用插值方法建立函 数的某种近似表达式 近而求出函数的极小点 并用它作为原来函数的近似值 这种 方法称为插值法 又叫函数逼近法 2 惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么 答 基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后 和原目标函 数结合形成新的目标函数 惩罚函数 求解该新目标函数的无约束极值 以期得到原 问题的约束最优解 3 试述数值解法求最佳步长因子的基本思路 答 主要用数值解法 利用计算机通过反复迭代计算求得最 佳步长因子的近似值 4 试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点 答 最速下降法此法优点是直接 简单 头几步下降速度快 缺点是收敛速度慢 越到后面收敛越慢 牛顿法优点是收敛比较快 对二次函数具有二次收敛性 缺点是 每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵 维数高时及数量比较大 5 写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式 并说明公式中各变量的意义 并说明迭代公式的意义 四 解答题 1 试用梯度法求目标函数 f X 1 5x12 0 5x22 x1x2 2x1 的最优解 设初始点 x 0 2 4 T 选代精度 0 02 迭代一步 2 试用牛顿法求 f X x1 2 2 x1 2x2 2 的最优解 设初始点 x 0 2 1 T 3 设有函数 f X x12 2x22 2x1x2 4x1 试利用极值条件求其极值点和极值 4 求目标函数 f X x12 x1x2 2x22 4x1 6x2 10 的极值和极值点 5 试证明函数 f X 2x12 5x22 x32 2x3x2 2x3x1 6x2 3 在点 1 1 2 T 处具有极小值 6 给定约束优化问题 min f X x1 3 2 x2 2 2 s t g1 X x 12 x 22 5 0 g 2 X x 1 2x 2 4 0 g3 X x1 0 g4 X x2 0 验证在点 Kuhn Tucker 条件成立 TX 7 设非线性规划问题 01 2 min213211 xXgtsf 用 K T 条件验证 为其约束最优点 T 10 如图 有一块边长为 6m 的正方形铝板 四角截去相等的边长为 x 的方块并折转 造一个无盖的箱子 问如何截法 x 取何值 才能获得最大容器的箱子 试写出这一优 化问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序 11 某厂生产一个容积为 8000cm3 的平底无盖的圆柱形容器 要求设计此容器消耗原 材料最少 试写出这一优化问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序 12 一根长 l 的铅丝截成两段 一段弯成圆圈 另一段弯折成方形 问应以怎样的比例 截断铅丝 才能使圆和方形的面积之和为最大 试写出这一优化设计问题的数学模型 以及用 MATLAB 软件求解的程序 13 求表面积为 300m2 的体积最大的圆柱体体积 试写出这一优化设计问题的数学模 型以及用 MATLAB 软件求解的程序 14 薄铁板宽 20cm 折成梯形槽 求梯形侧边多长及底角多大 才会使槽的断面 积最大 写出这一优化设计问题的数学模型 并用 matlab 软件的优化工具箱求解 写 出 M 文件和求解命令 判断题 1 二元函数等值线密集的区域函数值变化慢 x 2 海塞矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式大于零 x 3 当迭代点接近极小点时 步长变得很小 越走越慢 v 4 二元函数等值线疏密程度变化 5 变尺度法不需海塞矩阵 v 6 梯度法两次的梯度相互垂直 v